IF' ~~ F'N

ce qui revient à :

AV™;; k'a'¥"a'

Aa^aF ^^ Aa ~F'N"

équations qui donnent la grandeur et la position de l'image lorsque l'on connaît la grandeur et la position de l'objet ^

47. Le cas où l'image est égale à l'objet est particulièrement intéressant à étudier. Pour que l'on ait k'a' = ka, il faut que a¥' = F"N", et l'on en conclut que ¥"a' = F'N' ; il y a deux manières d'arriver à ces résultats :

1» Portons à gauche de F' dans le cas d'un système convergent (à droite, si le système est divergent) une longueur F'E' = F"N" et d'autre part, en sens contraire, F"E" = F'iN', et menons par les points ainsi déterminés des plans perpendiculaires à l'axe. Lorsqu'un objet est placé dans le plan E', son image, égale, renversée et de même nature, est placée dans le plan E"; pour cette raison, ces deux plans (qui sont conjugués) sont di^Tj^eïéi plans principaux inverses on plans antiprincipaux (24) .

2*» Portons à droite de F' dans le cas d'un système convergent (à gauche, si le système est divergent) une longueur F'G' = F"N" et d'autre part, en sens contraire, F"G" = F'N', et menons par les points ainsi déterminés des plans perpendiculaires à l'axe. Lorsqu'un objet est placé dans le plan G', son image, qui lui est égale et qui est de même sens, est dans le plan G" ; pour cette raison ces deux plans, qui sont conjugués, sont appelés plans principaux.

La considération de ces plans principaux, combinée avec la règle générale donnée ci-dessus, permet de discuter aisément et rapidement les divers cas qui peuvent se présenter. Nous n'insisterons pas sur cette discussion qui serait trèssemblable à celle que nous aurons à signaler pour le cas des lentilles, aussi bien dans le cas d'un système convergent que dans celui d'un système divergent. Cette discussion rappelle également celle que nous avons faite pour le cas d'un dioptre : on peut considérer le cas du dioptre comme celui d'un système centré général dans lequel les deux plans principaux G' et G" se seraient réunis pour donner un plan analogue à la surface réfringente du dioptre.

Mais, outre qu'il y a dans le cas général à considérer une zone correspondant

• Il est nécessaire d'indiquer les formules qui se rapportent au cas général des systèmes centrés : nous conserverons les notations et les conventions précédemment adoptées : nous appellerons 1" distance focale l'abscisse du 1*"^ point nodai prise à partir du 1°' loyer, et '1' distance focale l'abscisse du 2= point nodai prise à partir du 2' foyer. Nous aurons donc :

D = ka, l=ra, /" = — F'N'

I = — A'fl', r = — F"a', f" = F"N".

Les équations précédemment trouvées donnent alors :

— ' et —

ce qui se réduit à :

L — L — et II' — f'f"

0~ l ~~ f u—ff.

Comme on connaît une relation entre les deux distances focales, on pourrait exprimer ces équations en fonction d'une seule d'entre elles.

Ces équations se prêtent très-bien à la discussion et à la solution des divers problèmes qui peuvent se présenter sur les systèmes centrés. Elles sont identiques à celles que nous avons trouvées dans le cas d'un dioptre (20, note).

DICT. ENC. XXIX. 35

à l'intervalle compris entre ces deux plans G' et G", il importe de remarquer, comme nous l'avons de'jà dit, qu'il ttiudrait également examiner deux zones particulières : l'une comprise entre la première surface réfringente et le plan principal G', zone dans laquelle l'objet devient virtuel; et une autre comprise entre le plan G" et la dernière surface réfringente et dans laquelle l'image est encore virtuelle. Ces trois cas ne présentent souvent que fort peu d'intérêt; il était cependant nécessaire de les signaler.

48. Les propriétés qui ont servi à déterminer les plans principaux permettent de les caractériser d'une autre façon.

Dire qu'un objet situé dans le premier plan principal inverse a une image qui lui est égale située dans le deuxième plan principal inverse, c'est dire qu'un faisceau homocentrique émané d'un point situé dans ce premier plan principal inverse est remplacé par un autre faisceau dont le sommet est dans le deuxième plan principal inverse, à la même distance de l'axe, mais de l'autre côté, c'est à-dire encore que tout rayon S^' (fig. 34) qui perce le premier plan principal

El——- —

Fig. 54.

inverse à une certaine hauteur rencontre le deuxième plan principal à la même hauteur de l'autre côté de l'axe (ou bien que ces deux points d'intersection e',e" sont en ligne droite avec le point central 0 situé à moitié distance de N'N").

Des considérations tout analogues montrent qu'un rayon incident quelconque et le rayon émergent correspondant percent respectivement le premier et le deuxième plan principal à des points ^',^" à la même hauteur et d'un même côté de l'axe, c'est-à-dire que ces points sont sur une même parallèle à l'axe.

Cette propriété peut être prise pour définir les plans principaux, c'est elle qui a servi à Gauss à les caractériser. Nous ajouterons, sans qu'il nous paraisse nécessaire d'insister, que ces propriétés peuvent être utilisées aisément pour construire dans un cas quelconque le rayon émergent correspondant à un rayon incident donné quelconque.

Nous dirons également, sans nous y arrêter, que ces propriétés permettent d'établir des liaisons matérielles entre des réglettes mobiles représentant des rayons lumineux, de manière que, pour une combinaison quelconque de surfaces centrées, les positions relatives de ces réglettes représentent les positions d'un rayon incident et du rayon émergent correspondant. C'est là le principe général des appareils schématiques que nous avons construits dès 1874, et dont depuis nous avons simplifié la construction*. Mais nous devons insister encore sur ce que ces constructions donnent la direction à \ émergence, mais ne renseignent pas sur la marche des rayons à l'intérieur du système.

49. Lentilles sphériques. Il est quelques cas dont nous devons nous occuper plus spécialement comme ayant des applications immédiates : c'est d'abord le cas des lentilles sphériques placées dans l'air, comme il arrive le plus

* Voy. Compt. rend, du Congrès de l'Ass. Fr. pour l'Av. des Se. Lille, 1874.

souvent ; c'est ensuite le cas des surfaces centrées qui constituent l'œil, puis le cas des combinaisons de lentilles.

Des lentilles. On peut définir généralement une lentille : une masse réfrino^ente terminée par deux surfaces géométriquement définies dont l'une au moins est courbe.

Les seules surfaces courbes dont on fasse usage, dans la pratique, sont des surfaces sphériques et des surfaces cylindriques. Les surfaces planes peuvent être considérées comme des surfaces sphériques ou cylindriques, dont la courbure a diminué jusqu'à devenir nulle. Grâce à cette remarque, on peut dire qu'on appelle lentilles sphériques celles où l'on n'emploie que des surfaces sphériques, et lentilles cylindriques celles où l'on ne fait usage que de surfaces cylindriques. Dans quelques cas, on peut employer effectivement des lentilles dont une surface est sphérique et l'autre cylindrique (dans certains cas d'astigmatisme), mais il est inutile de nous en occuper spécialement ; on peut, par la pensée, remplacer une lentille de ce genre par la superposition de deux lentilles, l'une plano-sphérique, l'autre piano-cylindrique, superposées par leurs faces planes.

Nous nous occuperons d'abord des lentilles sphériques, qui dérivent immédiatement de tout ce que nous venons de dire et nous admettrons, ce qui est le cas le plus habituel, qu'elles sont placées de telle sorte que leurs deux faces soient en contact avec un même milieu, l'air, par exemple.

Quelques conséquences générales importantes résultent de cette circonstance : d'abord les distances de chaque point nodal au plan focal correspondant sont égales entre elles (43); c'est ce que l'on appelle la distance focale de la lentille.

La construction même des plans principaux directs montre que, dans ce cas, ces plans passent par les points nodaux.

Enfin les plans principaux inverses sont à la même distance des points nodaux , et cette distance est double de la distance focale.

50. Si l'on cherche à classer les lentilles d'après leur forme, il convient de remarquer que chaque face peut être convexe, plane ou concave (on a l'habitude pour les lentilles de déterminer cette forme, non pas par rapport à la direction de la lumière, mais par rapport au milieu extérieur; autrement dit, c'est la forme que présentent les faces pour un observateur qui les regarderait successivement). Le nombre des lentilles est alors nécessairement limité.

Première face

convexe.

Deu

sième

face

convexe

convexe .

plane.

convexe.

concave.

plane.

convexe

plane.

concave

concave.

convexe