VALEURS EXTREMES

0,07 0,L7 0,51 3,53 lu, 58

Il importe de signaler que les indications que nous venons de donner se rapportent au cas oà la force qui agit est appliquée lentement, sans secousses ; les phénomènes sont plus complexes, si, au contraire, l'action est brusque. En particulier, une cbargc inférieure même de beaucoup à la charge de rupture peut amener la rupture, si elle agit brusquement, par un choc. Cette remarque a des applications diverses et explique nombre de phénomènes sur lesquels nous n'avons pas à insister.

Nous sommes entré dans quelques détails en ce qui concerne la flexion : il nous sera dès lors possible d'être plus bref pour les autres déformations simples.

7. Compression. Imaginons un cylindre ou prisme posé verticalement sur sa base et au sommet duquel nous plaçons un poids ; sous cette influence, il y aura diminution de longueur du cylindre, raccourcissement et en même temps augmentation de section.

Tant que l'on n'a pas dépassé les limites d'élasticité, le raccourcissement élastique p est donné par la formule :

FL

dans laquelle les lettres conservent la même signification que ci-dessus; le coefficient d'élasticité E a aussi la même valeur que pour la traction. Naturellement les énoncés des lois sont aussi les mêmes.

L'augmentation de section ne compense pas le raccourcissement et l'expérience montre que le volume diminue par la compression.

Lorsque le poids dépasse celui qui correspond à la limite d'élasticité, il y a raccourcissement permanent; si la charge est assez forte, il y a écrasement. Voici évalués en kilogrammes par millimètre carré les poids qui produisent lécrasement pour quelques substances :

Bonne brique 15q

Rois divers 200 à 550

Basalte 2000

Plomb ■ 'g(jQ

«^lain 5QQ

Fer IGOO

(^ui^re 2500

Fonte 4000 à 11000

On n'a, en réalité, aucun renseignement pre'cis sur les charges qui produisent le raccourcissement permanent.

Comme pour la traction, une action brusque produit un effet beaucoup plus conside'rable que celui que produirait le même poids agissant progressivement.

L'écrasement ne se produit en réalité que lorsque le cylindre considéré a une section relativement grande, dont le diamètre soit au moins 1/20*' de la hauteur. Quand cette limite n'est pas atteinte, surtout s'il s'agit d'un corps qui n'est pas absolument homogène ou s'il n'est pas rigoureusement recliligne, le phénomène observé est autre : la tige s'incurve et il se produit une flexion qui peut amener la rupture dont nous indiquons plus loin les conditions. C'est ce qui explique qu'il n'y a jamais écrasement des os longs qui se brisent en fléchissant, tandis qu'on observe l'écrasement des os courts, des vertèbres, du calcanéum, etc.

8. Flexion. Les déformations que nous avons étudiées se produisent parallèlement à l'axe du cylindre, du prisme, de la lame, considérés; la flexion correspond à des déformations perpendiculaires à la longueur du corps considéré, corps qui, le plus ordinairement, est une lame à section rectangulaire. Nous admettrons pour simplifier que la force qui agit est perpendiculaire à la lame, ce qui est le cas le plus fréquent d'ailleurs.

La flexion peut se présenter dans des circonstances différentes :

La lame considérée peut être posée sur deux appuis, la force agissant entre les deux points d'appui, au milieu, par exemple. Les points situés entre les points d'appui seront tous abaissés (eu supposant la lame horizontale pour fixer les idées) et il se produira une flèche qui sera mesurée par l'abaissement maximum, celui du point milieu. En même temps les parties situées en dehors des points d'appui seront relevées au-dessus de leur position d'équilibre.

La base peut être encastrée à ses deux extrémités, pincée d'une manière invariable comme dans un étau : il y aura abaissement de tous les points, production d'une flèche, mais l'abaissement sera moindre que dans le cas précédent, la différence sera surtout très-grande dans les points voisins de l'encastrement.

Si la barre est encastrée d'un côté et appuyée à l'autre extrémité, on observera deux effets se rapprochant des cas précédents.

Enfin, il peut arriver que la barre soit encastrée à une extrémité, libre à l'autre, et que ce soit à cette autre extrémité que soit appliquée la force : il y aura abaissement de cette extrémité et de tous les points intermédiaires et la lame fléchie présentera la forme d'une courbe ayant sa convexité dirigée du côté de la position d'équilibre; c'est le seul cas que nous nous proposons d'étudier rapidement,

Ajoutons que pour la flexion comme pour les autres déformations il y a une flexion élastique, une limite d'élasticité et une charge de rupture; nous nous occuperons seulement de la flexion élastique.

9. Nous, n'indiquerons pas toutes les lois de la flexion qui sont sans utilité au point de vue où nous avons à nous placer; nous en signalerons une seule eu y joignant quelques remarques très-importantes ^

* Les lois de la flexion sont comprises dans ta formule:

dans laquelle o est la flèche, déplacement de l'exlrémité, F la force qui y est appliquée, l la longueui' de la tige, E le coefficient d'élasticité et I le moment d'inertie de la section.

La flèche est proportionnelle au poids fléchissant ; elle n'est pas en relation simple avec les autres éléments (longueur, largeur, épaisseur); de plus, pour une même section, elle n'a pas toujours la même valeur; elle dépend de la répartition de la matière dans la section, plus spécialement de la distance des parties matérielles au plan médian perpendiculaire à la direction de la flexion, la flèche diminuant au fur et à mesure que cette distance augmente.

C'est ce qui explique pourquoi une lame de ressort qui fléchit facilement dans une direction est presque infléchissable dans une direction perpendiculaire; pourquoi on emploie dans les constructions des poutres ayant la section d'un T ou surtout d'un double T ; pourquoi encore deux tiges cylindriques de même longueur et de même poids, mais dont l'une a une section pleine et l'autre une section annulaire, fléchissent très-diversement, la tige creuse fléchissant moins, et d'autant moins que, toujours à poids égal, son diamètre extérieur sera plus grand. Cette disposition est celle qui se rencontre dans les os, dans les plumes des oiseaux, etc.

Naturellement les conditions qui diminuent la flexion sont aussi celles qui s'opposent à la rupture par flexion, lors même que le corps, n'étant pas rectihgne, mais courbe, est soumis à des forces agissant à ses extrémités suivant la corde de la courbe, tendant par suite à augmenter la courbure, à produire la flexion, par conséquent. Ce cas se présente fréquemment pour les os, pour les os de la cuisse et de la jambe notamment.

10. Torsion. Considérons une tige cylindrique invariablement fixée à une extrémité; à l'autre extrémité appliquons un couple constitué par deux forces parallèles, égales et de sens contraire. Sous l'induence de ce couple, il se produit une toi'sion, déformation du corps que l'on peut caractériser nettement comme il suit : si l'on avait marqué sur le cylindre une série de points rangés sur une même génératrice avant l'action du couple, on observe que, pendant que le couple agit, les points sont rangés sur une hélice : le point inférieur de cette génératrice a décrit depuis sa position d'équilibre un angle qui est ce que l'on appelle Yangle de torsion ou plus simplement la torsion. Cette torsion est liée aux éléments de l'expéiience par les lois simples suivantes :

L'angle de torsion pour une température donnée est : 1° proportionnelle au couple de torsion ; 2° proportionnelle à la longueur de la tige ; 5° en raison inverse du carré de la section, et 4" dépendante de la nature du corps.

Le fait de la proportionnalité de l'angle de torsion au couple est intéressant, il a été utilisé dans divers cas pour effectuer des mesures de couples ou de forces (balance de Coulomb) ; cette application peut conduire à des mesures de forces très-petites qui peuvent cependant donner des angles de torsion appréciables, à la condition d'employer des fils fins et longs.

Bien entendu, il y a à considérer, pour la tension, comme dans les cas précédents, une limite d'élasticité et une valeur du couple capable d'amener la rupture du corps considéré.

11. Nous allons indiquer maintenant quelques résultats intéressants se rapportant à des cas oîi l'élasticité intervient, mais où il ne s'agit pas d'une déformation simple.

Tel est, par exemple, le cas d'un vase creux que l'on soumet à l'action d'une pression intérieure : les parois vont se distendre ou changer de forme. Si, par exemple, le corps estsphérique, il y aura seulement distension, phénomène qui se rattache évidemment à la traction. On démontre que, si v est l'augmentation

d'une sphère de volume V et fh pression par unité de surface, on a la relation :

E étant le coefficient d'élasticité.

De même pour la compression d'une sphère soumise à une action en tous les points de sa surface.

Il V a lieu évidemment de tenir compte dans certains cas de la pression limite qui pourrait amener l'écrasement ou la rupture; on a notamment obtenu quelques chiffres pour la rupture de divers vaisseaux.

12. Parmi les corps qui subissent une déformation complexe, nous signalerons particulièrement les ressorts à boudin constitués par des fds métalliques enroulés en hélice; lorsque les spires ne sont pas serrées, le ressort peut, suivant les forces qui agissent, se raccourcir ou s'allonger; si, comme il arrive souvent, les spires sont en contact, il pourra seulement y avoir allongement. Dans l'un et l'autre cas, la déformation est complexe ; si l'on considère seulement une spire, on reconnaît qu'il se produit à la fois une flexion et une torsion. Mais il n'est pas nécessaire d'entrer dans le détail et ce qui est seulement intéressant à signaler, c'est que, si l'on prend l'allongement ou le raccourcissement du ressort, c'est-à-dire la quantité dont varie la distance des spires extrêmes, le ressort dans son ensemble se comporte comme un corps élastique, les variations de longueur, dans de certaines limites, étant proportionnelles aux forces qui agissent sur lui. On a utilisé les ressorts à boudin dans un grand nombre de circonstances, soit qu'ils agissent par tension, soit qu'ils agissent par compression, mais dans quelques cas on les a utilisés comme moyen de mesure : c'est ainsi que l'on a construit des pesons à ressort assez commodes, mais ne présentant pas une grande exactitude.

lo. Pour déformer un corps, il faut dépenser une certaine quantité d'énergie; si le corps est définitivement déformé, si c'est un corps mou, l'énergie est entièrement absorbée. Mais si, le corps étant élastique, on n'a pas dépassé la limite d'électricité, l'énergie est seulement emmagasinée, accumulée, et peut être rendue libre lorsque le corps revient à sa position primitive.

Les corps élastiques sont fréquemment employés pour utiliser cette propriété, pour accumuler l'énergie qui est ensuite dépensée à volonté. C'est ce qui se présente, par exemple, dans les mouvements d'horlogerie où un ressort enroulé en spirale est fixé dans un barillet; on bande le ressort en montant le rouage, et. en se débandant, celui-ci restitue peu à peu l'énergie accumulée. Dans d'autres cas le ressort moins flexible a une forme sensiblement rectiligne, comme dans le staphylotome, par exemple ; il ne peut alors être déformé que d'une petite quantité, mais, lorsqu'on l'abandonne à lui-même, il revient à sa position primitive très-rapidement en rendant en un temps très -court l'énergie emmagasinée.

Il est de nombreux autres exemples dans lesquels les corps élastiques sont utilisés pour emmagasiner de l'énergie.

La propriété que possèdent les corps élastiques de rendre l'énergie qu'ils ont reçue lorsqu'ils ont été déformés est particulièrement intéressante en ce que, quelque brusque que soit l'action qui a produit cette déformation, le corps élastique ne rend l'énergie que progressivement. Or, dans la plupart des cas, les

li ELASTICITE.

actions continues, progressives, sont plus favorables que les actions brusques, les chocs qui éteignent une partie de la force vive.

Une ingénieuse expérience de M. Marey montre nettement cette influence do l'élasticité, influence qui intervient dans un assez grand nombre de cas et notamment dans les actions musculaires.

L'appareil employé consiste en un fléau de balance muni d'ini cliquet qui glisse sur une roue à rocliet et qui empêche le mouvement de bascule dans un sens, tandis qu'il le laisse libre dans l'autre. Â une extrémité est attaché un fil assez long terminé par une petite sphère d'un faible poids ; à l'extrémité opposée est suspendue une masse pesante par l'intermédiaire d'un fil inextensible ou d'un ressort à boudin. Malgré le poids de cette masse, le fléau reste horizontal à cause de la roue a rochet et du cliquet. On laisse tomber la petite sphère d'une certaine hauteur, toujours la même; arrivée au bas de sa chute, elle produit un choc brusque sur le fil qui l'arrête. Si la masse pesante eut suspendue par le fil inextensible, l'appareil entier est ébranlé, secoué, mais le fléau ne varie pas de position; si l'on élabht la suspension par l'intermédiaire du ressort et qu'on recommence l'expérience, on voit le fléau s'incliner sans secousse. Dans les deux cas, la force vive communiquée à l'appareil est la même ; mais, dans le premier cas, elle est dépensée à produire des secousses, tandis que dans le second elle est employée à produire un travail utile.

14. Lorsqu'un corps élastique a été écarté de sa position d'équilibre, puis abandonné à lui-même, il revient à cette position ; mais, y arrivant avec une certaine vitesse due à l'action accélératrice des forces moléculaires, il la dépasse et s'en écarte de l'autre côté. Les forces moléculaires interviennent alors pour diminuer progressivement la vitesse qui s'annule pour une position que l'on démontre être symétrique de la position initiale, celle que le corps occupait au début du mouvement; les conditions se retrouvent donc les mêmes qu'à cet instant, et l'on conçoit que les mêmes faits vont se reproduire. Le corps va donc exécuter des oscillations de part et d'autre de sa position d'équilibre, et, s'il n'existe aucune cause extérieure de perturbation, les oscillations se continuent indéfiniment sans modifications. En réalité, il n'en sera jamais ainsi, et l'amplitude des oscillations décroîtra progressivement jusqu'à ce que le corps soit réduit au repos.

Il est à remarquer que, dans tous les cas que nous avons examinés de déformation simple, il y a proportionnalité entre la grandeur de la déformation, du déplacement, et la force qui produit cette déformation, c'est-à-dire que les conditions sont les mêmes que celles d'un pendule exécutant de petites oscillations. La nature du mouvement que prend un point quelconque du corps vibrant est donc nécessairement de même nature que le mouvement d'un pendule exécutant de très-petites oscillations : c'est ce que l'on appelle un mouvement pendulaire ^.

II est très-important de remarquer que, le mouvement des corps élastiques

* On peut se rendi'e compte aisément de la nature de ce mouvement de la manière suivante :

Considérons un mobile 31 qui se meut uniformément sur une circonférence et projetons à chaque instant ce mobile en m sur un diamètre fixe AB : le mouvement de cette projection est un mouvement pendulaire.

On arrive aisément à trouver l'équation du mouvement pendulaire, c'est-à-dire la relation qui lie la distance d'un point fixe pris comme origine à la position du mobile pour un

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vibrants étant un mouvement pendulaire, la loi de l'isochronisme des petites oscillations lui est applicable ; que, par conséquent, la durée des oscillations d'un corps vibrant est indépendante de l'amplitude. On vérifie le fait en faisant vibrer un corps susceptible de rendre un son; nous avons dit, et l'on observe aisément, que les oscillations diminuent progressivement d'amplitude jusqu'à s'éteindre complètement ; malgré cette variation, on vérifie que le son conserve la même hauteur tant qu'il peut être perçu, c'est-à-dire que la durée des oscillations reste invariable {voy. Acoustique).

15. Dans les observations que nous venons de faire sur le mouvement vibratoire nous n'avons rien précisé sur le mode de déformation du corps parce que, en effet, ces observations s'appliquent également à toutes les formes d'oscillation. Les formes simples d'oscillation sont au nombre de trois :

Les oscillations ou vibrations longitudinales dans lesquelles les déplacements des corps vibrants, tiges ou cordes, ont lieu parallèlement à leur longueur ; ces oscillations mettent en jeu l'électricité de traction et de compression alternativement.

Les oscillations ou vibrations transversales dans lesquelles les déplacements ont lieu perpendiculairement à la longueur du corps vibrant, oscillations qui mettent en jeu l'élasticité de llexion.

Les oscillations circulaires qui mettent en jeu l'élasticité de torsion et dans lesquelles, une partie de la tige ou de la corde étant fixe, un point lié à l'extrémité décrit une portion plus ou moins étendue de circonférence alternativement dans l'un et l'autre sens.

Les deux premières formes d'oscillations se rencontrent très-fréquemment dans les corps sonores : aussi devons-nous renvoyer au mot Acoustique pour tout ce qui se rapporte aux lois des corps vibrants. La troisième forme d'oscillation n'a pas été utilisée pratiquement jusqu'à présent.

jj'élasticitc intervient également dans la transmission des vibrations à travers les corps; on trouvera également au mot Acoustique un exemple de ce genre; quoiqu'il se rapporte à la propagation dans une colonne gazeuse, il s'appliquerait presque sans aucun changement à la propagation dans une tige ou une corde : il n'y a donc pas lieu d'insister.

16. Lorsque deux corps, dont l'un au moins est en mouvement, viennent à se rencontrer, il se produit ce que l'on appelle un choc; le résultat de ce clioc peut être très-varié suivant les circonstances , pour nous en tenir aux cas simples, considérons seulement deux corps sphériques se mouvant sur la ligne qui joint leurs centres et par suite se rencontrant normalement aux surfaces de contact.

Il peut arriver que, par suite de l'action, du choc même, la limite d'élasti-

instant déterminé au temps qui s'est écoulé depuis le commencement du mouvement. Soit z cette distance et t le temps coiTespondant ; l'équation est :

a;=:a sin ti-nr-^

si l'origine des distances est à la position d'équilibre, et :

.T = a cos 2jc -.

si l'origine est à l'une des positions extrêmes, à une de celles qui correspondent à l'amplitude maxima.

Dans ces équations a mesure Vélongation, c'est-à-dire la distance de la position d'équilibre à la position extrême, et T la durée d'une oscillation complète.

cité des corps soit dépassée ou au contraire que cette limite ne soit pas atteinte.

Le premier cas est celui des corps mous, le moindre contact les déforme d'une manière permanente. Dans ce cas, après la rencontre, les deux corps restent unis et prennent un mouvement commun dont la vitesse et le sens dépendent des masses et des vitesses de chacun des corps.

Dans le second cas, les choses se passent tout autrement, à cause de l'existence des forces élastiques moléculaires qui prennent naissance après le choc; les corps se meuvent séparément d'un mouvement propre : le sens et la vitesse de chaque mouvement dépendent des conditions qui précédaient le choc. En particulier, si les masses sont égales, il y a eu échange des vitesses entre les deux corps.

Dans tous les cas, des équations déduites des théorèmes généraux de la mécanique permettent de déterminer la grandeur et le sens des vitesses après le choc.

Nous ne saurions avoir la prétention d'épuiser les questions qui se rattachent à l'élasticité des corps solides et nous nous en tiendrons à ces indications.

II. Liquides. Comme nous l'avons fait remarquer d'une manière générale, pour les liquides comme pour les gaz, l'élasticité ne saurait s'entendre de phénomènes se rapportant à des changements de formes, mais seulement de phénomènes se rapportant à des changements de volume.

17. Comme ces variations doivent être étudiées à température constante, une première question doit se poser pour les liquides : le volume d'un liquide peut-il changer par une simple action mécanique, ou, autrement, les liquides sont-ils compressibles? Le fait a été mis en doute pendant longtemps, mais depuis Canton et Perkins (1761) on sait d'une manière incontestable que les liquides sont compressibles; des recherches faites par diverses méthodes et avec une grande précision dans ce siècle ont même permis d'évaluer cette compression ; nous n'avons pas à insister sur cette question, et nous dirons seulement qu'on ignore les lois précises auxquelles ohéit ce phénomène : on ne sait pas, par exemple, comment pour un même liquide à une température invariable varie la diminution de volume avec la pression.

Mais ce qui paraît certain, ce qui résulte des expériences faites sur les divers liquides qui ont été étudiés, c'est que ces corps sont parfaitement élastiques pour les pressions qui ont été atteintes, c'est-à-dire qu'ils reprennent exactement le volume primitif lorsque la pression cesse. On ne peut dire s'il n'existe pas pour ces corps une limite d'élasticité, mais, jusqu'à présent, rien ne fait prévoir qu'il en soit ainsi.

Il va sans dire que si, comme les solides, les liquides peuvent être soumis à des compressions, ils ne sauraient dans aucun cas subir des tractions des actions de tension ; leur fluidité s'y oppose. Cependant, il semble que les couches superficielles puissent résister à de légères tensions ; ce sont des phénomènes étudiés avec soin depuis peu et que l'on rattache maintenant aux actions capillaires.

III. Gaz. Comme pour les liquides, l'élasticité pour les gaz ne peut s'entendre que des variations de volume et non des variations de forme. Seulement, il ne saurait y avoir de doute sur la possibilité de changer le volume d'un gaz : on sait que, même sans grands efforts, on peut réduire le volume d'une masse de gaz et que, pour le voir s'accroître, il suffit de lui offrir un plus large espace que son expansibilité lui fera occuper tout entier spontanément.

18. Disons tout d'abord que, bien que l'on ait fait varier entre des limites très-étendues les pressions auxquelles on a soumis les gaz, on n'a jamais atteint

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la limite d'élasticité, et que, la température étant invariable, une masse donnée de gaz reprend toujours le même volume à la même pression ; les gaz sont parfaitement élastiques. Le fait est d'autant plus intéressant à signaler que cette élasticité se manifeste même dans le cas où, sous l'influence d'une augmentation de pression, le gaz est momentanément passé à l'état liquide; ce changement d'état ne modifiera en rien les propriétés qu'il possédait à l'état gazeux et qu'il retrouvera lorsqu'il reprendra cet état.

Tandis que pour les liquides, peu compressibles d'ailleurs, on ne sait rien sur la loi qui lie les variations de volume aux pressions, celte relation a été étudiée avec beaucoup de soin pour les gaz.

On a trouvé que pour tous les corps gazeux, lorsque la pression varie peu, on peut admettre la loi suivante :

A la même température, les volumes d'une même masse de gaz sont en raison inverse des pressions qu'elle supporte (ou qu'elle exerce, car à chaque instant, lors de l'équilibre, le gaz reçoit de la paroi une pression égale à celle qu'il lui fait subir).

Si Vo et V sont les volumes d'une masse de gaz aux pressions P^ et P, on peut donc écrire la relation :

Vo p'

que l'on emploie souvent aussi sous l'une des formes suivantes :

YP VP = VoPo ou Yp- = 1-

C'est là ce qui constitue la loi de Mariotte.

Mais les limites entre lesquelles on peut appliquer cette loi sont très-variables, elles dépendent essentiellement des conditions de l'expérience. Si le gaz est rapproché de son point de liquéfaction, si c'est une vapeur, on ne pourra appliquer cette loi que si P est très-voisin de P,, ; mais au fur et à mesure que le gaz sera plus loin de son point de liquéfaction, la loi sera applicable pour des valeurs de P même très-distantes de P^,, elle pourra être considérée comme représentant la réalité pour les conditions pratiques que l'on rencontre ; c'est ce qui arrive pour les gaz que l'on désignait autrefois sous le nom de gaz permanents, c'est ce qui arrive pour l'air notamment ; mais il va sans dire que la formule ne pourra être utilisée pour des pressions de 200 atmosphères, par exemple, pressions qui amènent le gaz dans le voisinage de sa liquéfaction.

Il résulte d'expériences remarquables faites par Regnault que, en réalité, la loi ne représente jamais qu'une approximation, et que la formule que nous avons écrite devrait être remplacée par :

VP

yp- == 1 + a,

à étant une quantité petite qui varie dans le même sens que P, mais qui n'est jamais nulle (excepté, bien entendu, pour le cas oiî P = P^).

Il n'y a pas lieu de décrire ici les expériences classiques (tube de Mariotte, baromètre à cuvette profonde) qui servent à vérifier approximativement la loi, ni les expériences de Regnault qui ont conduit à des données précises.

Il nous suffit d'avoir rappelé ces expériences et ces recherches.