OU
l et /', s, et s' étant respectivement les longueurs et les sections des conducteurs
considérés.
Mais cette relation simple ne suffit plus, si les conducteurs dont on cherche à
déterminer l'équivalence ne sont pas de même nature ; pour qu'il y ait équiva-
II' lence, il faut que les quantités -et -,, au lieu d'être égales, soient dans un rap-
port qui reste le même tant qu'il s'agit des mêmes substances, mais qui varie, si
k' l'on prend des substances de nature différente ; si -r représente la valeur de ce
rapport pour les substances considérées, il faudra donc que l'on ait :
l-L—K kl l£
Les coefticients k et k' ne sont pas déterminés, puisque seulement la valeur
de leur rapport est donnée ; mais on peut concevoir que l'on convienne que
pour une certaine substance on adopte pour le coefticient correspondant une
valeur égale à l'unité : alors la valeur de tous les coefticients analogues se trouve
As déterminée. La valeur -j détermine donc alors absolument un conducteur donné
au point de vue du courant : c'est ce que l'on appelle absolument la résistance de ce conducteur. Le coefficient k représente ce que l'on appelle la résistance
spécifique du corps considère; on comprend pourquoi on a choisi ce nom en remarquant que la résistance augmente et diminue avec k^.
52. On peut concevoir qu'on remplace un conducteur quelconque déterminé par les valeurs k, l, s, par un conducteur équivalent ayant une conductibilité éoale à i et ayant une section égale à l'unité de surface ; soit >. la longueur de ce conducteur, elle sera déterminée par la condition générale dans laquelle il faudra remplacer k', V et s', respectivement par 1 , > et 1 . On aura donc :
kl
\ est ce qu'on appelle la longueur réduite du conducteur ; on voit qu'elle a la mènie valeur que ce que nous avons appelé la résistance de ce conducteur : aussi ces deux expressions s'emploient-elles indifféremment. Nous verrons que cette donnée est très-fréquemment usitée.
11 y a quelquefois utilité à remplacer un conducteur k, l, s par un conducteur équivalent ayant une conductibilité égale à 1 et une longueur égale à 1 ; soit w la section de ce conducteur, elle sera déterminée par la condition générale dans laquelle il faudra remplacer k',ieis' respectivement par 1, 1 et w. On aura donc :
1 kl s
- = — ou uz=z y
w S fil
w est ce que l'on appelle la section réduite du conducteur. On remarquera que M et X ont des valeurs inverses l'une de l'autre, que l'on a :
ul^ l ou w = r
ou.
55. Résistance d'un conducteur complexe. Supposons que l'on ait à la suite divers conducteurs déterminés respectivement par les données k, L s; k', ï, s', etc. Chacun d'eux peut être remplacé par les longueurs X, X', etc., d'un fil de conductibilité 1 et de section 1, X, X', etc., étant les longueurs réduites définies comme nous l'avons indiqué. 11 est évident que la série des conducteurs donnés produira le même effet qu'un fil de conductibilité 1, de section 1, et qui aurait pour longueur la somme ^ + ),' -f- X" -f- ... C'est cette somme qui mesurera la résistance du conducteur complexe que nous considérons ; si nous la désignons par A, nous aurons donc :
kl k'I' k"l"
valeur que l'on pourra aisément calculer dans tous les cas.
54. Supposons, au contraire, que les divers conducteurs, au lieu d'être placés à la suite, soient placés à côté les uns des autres de manière que leurs extré-
* Quelquefois, au lieu de prendre le coefficient k, on prend son inverse « •= -r-La condition
II' d'équivalence devient — = -r-,' La quantité a est ce qu'on appelle la conductibilité des as as ^
corps considérés.
mités viennent aboutir aux deux mêmes points: quelle sera la résistance du système ainsi constitué?
Nous savons que chaque conducteur peut être remplacé par un fil de conductibilité 1, de longueur 1, et ayant pour section la section réduite w calculée suivant la formule. On admet, et tout semble vérifier qu'il en est bien ainsi, que divers fils de même nature et de même longueur ayant les mêmes extrémités produisent le même effet qu'un fil de même nature et de même longueur dont la section serait la somme des sections des fila donnés. Un fil de conductibililé 1 et de longueur 1 produirait donc le même effet que les fils donnés, s'il avait une section il donnée par la relation :
Mais c'est la résistance du système et non sa section réduite que l'on cherche; cette résistance ou longueur réduite A se déterminera aisément, car on a Ai2= 1, donc :
^ ' — f II *
Si enfin on remplace les sections réduites en fonctions des données qui caractérisent les conducteurs, on aura :
"* il il Td~^k'r~^k"t"'
Quelle que soit la disposition des conducteurs entre deux points déterminés, il sera donc toujours facile de calculer la résistance du système que parcourt le courant.
Pour simplifier l'écriture, nous supposerons que chaque conducteur est donné directement par sa longueur réduite )., valeur que l'on calcule aisément par la
formule >= — .
55. Lois de Ohm; mesure de la résistance. Considérons un conducteur dont la résistance est A calculée conformément aux indications précédentes et désignons par s la différence de potentiel que l'on maintient entre ses deux extrémités. En faisant varier successivement ces deux éléments, on arrive à vérifier les lois suivantes connues sous le nom de lois de Ohm :
L'intensité d'un courant circulant entre deux points est proportionnelle à la différence de potentiel existant entre ces points et inversement proportionnelle à la résistance du conducteur qui unit ces deux points.
Si donc nous désignons par I l'intensité du courant, on peut écrire :
à la condition d'avoir fait un choix convenable d'unités; comme on a déjà défini les unités d'intensité et de potentiel, cette relation définit l'unité de résistance : il faut en effet que l'on ait A= 1 , si l'on a à la fois \=z\ et c ^= 1, c'està-dire que l'unité de résistance est la résistance d'un conducteur dans lequel se
produit un courant d'intensité égale à l'unité lorsque ses deux extrémités sont maintenues à une différence de potentiel égale à l'unité.
Il y a une unité absolue G. G. S. qui est trop petite : on a fait choix d'une unité pratique correspondant aux autres unités pratiques que nous avons définies : c'tst Vohm.
L'ohm, c'est la résistance d'un conducteur dans lequel une différence de potentiel de 1 volt produit un courant de 1 ampère.
L'ohm vaut 10^ unités absolues G. G. S.
La résistance est un élément qui peut se représenter matériellement; on a construit des étalons ayant exactement la résistance de 1 ohm. D'après les dernières évaluations, cette résistance est celle qu'oppose au passage d'un courant à la température de 0 degré, une colonne de mercure de 1 millimètre carré de section et de 1",06 de longueur.
Il peut être intéressant de savoir que cette même résistance est aussi celle :
D'un fil de cuivre de 1 millimètre carré de section et de 48 mètres de longueur.
D'un fil de fer (fil de télégraphe) de 4 millimètres de diamètre et de 100 mètres de longueur.
56. La connaissance de la résistance spécifique du corps est nécessaire pour calculer la résistance des conducteurs, leur longueur réduite; nous donnons ici quelques-uns des nombres les plus usuels.
La résistance spécifique, d'après la formule >=- —, c'est la résistance d'un
conducteur ayant une longueur égale à l'unité, 1 centimètre et une section égale à l'unité, 1 centimètre carré, car on a ), = A." si l'on v fait /= 1 et s = l. Dans les calculs, il faudra avoir soin d'employer ces unités. La valeur de la résistance spécifique est souvent donnée en millionièmes d'ohms ou microhms.
Argent recuit 1,521 microhms.
Cuivre 1,616 —
Platine 9,158 —
Maillechort 21,17 —
Mercure 99.74 —
Antimoine 33,90 —
Bismuth 135,7 —
Dissolution à li degrés de sulfate de cuivre
(8 pour 100) 45,7 ohms.
Idem (-28 pour 100) 24,7 —
Acide sulfurique {densité, 1,10) 0,88 —
Idem (densité, 1,70) 4,67 —
Acide nitrique (densité, l,56i 1,43 —
Eau distillée (?; 0320 -
57. Mesure de la capacité. La capacité d'un conducteur est définie dans le système de mesures électro-magnétiques comme dans le système électro-statique ; on a, en appelant G la capacité :
Q=Cr.
Ce qui définit l'unité de capacité , car il faut comme toujours que l'on ait G = 1 pour Q = 1 et £ ^ l . Donc :
Un corps a une capacité égale à l'unité lorsque son potentiel varie de I unité quand on fait varier sa charge de 1 unité de quantité d'électricité.
Comme pour les autres grandeurs on a fait choix d'une unité pratique à laquelle on a donné le nom de farad.
Un coi'ps a une capacité égale au farad, si son potentiel varie de 1 volt lorsqu'on fait varier sa charge de 1 coulomb.
Le farad vaut 10-^ unités absolues C. G. S,
Les diverses unités pratiques sont nécessaires lorsque l'on applique l'électricité aux sciences médicales ; la moins indispensuble est le farad, au moins jusqu'à présent; cependant dans l'application de l'électricité à certaines recherches physiologiques cette donnée est nécessaire. En tout cas le farad est au point de vue des applications une quantité trop grande : aussi les étalons qui servent à effectuer les mesures relatives à cette grandeur ne correspondent-ils qu'à une subdivision du farad. Ils représentent la millionième partie (0,000 001) du farad; c'est ce que l'on appelle un microfarad. On emploie aussi des étalons moindres représentant la moitié, le tiers d'un microfarad.
58. Répartition du ■potentiel dans un conducteur traversé par un courant. Considérons on conducteur AB dont les points soient à une différence de potentiel e; si à l'aide d'un électromètre on étudie le potentiel aux divers points du conducteur, on reconnaît qu'il varie d'un point à l'autre ; si le conducteur est de forme et de nature quelconques, on ne distingue d'abord aucune loi qui préside à cette variation. Mais on reconnaît au contraire une loi simple, s'il s'agit d'un conducteur homogène présentant partout la même section; on voit que dans ce cas les variations de potentiel sont proportionnelles aux distances qui séparent les points considérés.
La loi apparaît également simple dans le cas de conducteurs quelconques, si on évalue la résistance de chaque partie et que ce soit cette résistance que l'on compare aux variations de potentiel. On arrive alors à la loi suivante :
Dans des conducteurs quelconques traversés successivement par un courant, les différences de potentiel entre divers points sont proportionnelles aux résistances des parties qui séparent ces différents points.
Il est évident que cette loi renferme en particulier le cas du fvl homogène que nous considérions tout à l'heure, parce que, alors, les résistances sont proportionnelles aux longueurs.
Si A est la résistance du conducteur AB, ¥„ et Vj sont les potentiels aux deux extrémités. Si nous désignons par Y le potentiel d'un point C tel que la résistance de AG soit égale à ), l'application de la loi donne immédiatement :
Vo-Y 1
Yo-V,-A'
équation d'oii l'on tire la valeur de V, s'il est nécessaire ; mais le plus souvent il suffit de considérer les différences de potentiels. On peut remarquer que cette équation s'écrit aussi :
On aurait pu partir de cette remarque expérimentale pour arriver à la notion de la résistance des conducteurs.
59. Courant dans un circuit : force électromotrice. Dans ce qui précède et pour étudier plus simplement les lois que nous avions à exposer, nous avons admis que nous considérions un conducteur dont les deux extrémités sont mainenues à une différence de potentiel invariable, sans nous arrêter à la manière
dont ce résultat peut être obtenu. Il est nécessaire d'examiner maintenant comment les choses se passent dans la réalité.
Sans insister sur sa nature, pile ou machine, nous admettons que nous possédons un générateur d'électricité qui jouit de la propriété que, lorsqu'il fonctionne, il amène deux points déterminés, pôles de la pile ou bornes de la machine, à une cerlaine différence de potentiel ; il reproduit instantanément cette différence de potentiel lorsque par un contact plus ou moins prolongé on a amené ces points à des états électriques différents en les mettant en communication soit entre eux, soit avec le sol. Cette propriété est due à des causes diverses suivant la nature de l'appareil employé, mais, pour éviter d'avoir à tenir compte du phénomène quelconque qui intervient comme cause spéciale dans cliaque cas, action chimique, calorifique ou mécanique, on a imaginé que la différence de potentiel observée est due à l'action d'une force particulière qu'on appelle la force électro-motrice K
La force électro-motrice ne se manifestant que par la production d'une différence de potentiel, il était naturel de mesurer la première par la seconde ; en un mot, on n'a pas fait choix d'une unité nouvelle et l'on dit une force électro-motrice de 1, 2, 3 volts, pour définir une force électro-motrice capable de produire et de maintenir une différence de 1, 2, 5 volts entre deux points déterminés. Ces points, oii nous observons la différence de potentiel et que nous appellerons pôles d'une manière générale, ne sont pas ceux où siège la force électro-motrice, ceux où se produit effectivement la différence de potentiel (nous signalerons aux mots Piless et bDUCTio> (machines) le siège de la force électro-motrice) : ils sont seulement en communication avec ces derniers par des conducteurs.
60. Si nous venons à réunir les pôles par un conducteur, un courant s'établira dans ce conducteur, et il importe de bien comprendre ce qui se passe alors. En réalité le courant part de l'intérieur de l'appareil du point où siège la force électro-motrice et où le potentiel est le plus élevé, traverse une partie de l'appareil, arrive au pôle positif, traverse le conducteur interpolaire, et parvenu au pôle négatif, pénètre dans l'appareil qu'il parcourt en partie pour revenir au point où siège la force électro-motrice, ayant aijisi parcouru un circuit entièrement fermé. Mais alors dans les divers points du circuit il y a des potentiels différents, comme nous l'avons dit précédemment ; notamment les pôles qui étaient d'abord au même potentiel que les points où se produit la rupture électrique, où siège la force électro-motrice, lorsque le circuit n'était pas fermé, les pôles parviennent à des potentiels dont la différence est moindre, leur différence de potentiel diminue et cette diminution que l'on peut déterminer expérimentalement ou calculer comme nous allons le dire dépend de la résistance du conducteur interpolaire.
61. Une comparaison analogue à celles que nous avons déjà faites permet de se rendre compte aisément de ce qui se passe dans ce cas. Imaginons une machine élévatoire mue d'une façon quelconque et capable de produire et de maintenir une différence de niveau déterminée dans deux réservoirs A et B : à chacun de ces réservoirs est adapté un tuyau d'une longueur quelconque ka et
* Il va sans dire que dans ce cas, comme pour les forces en général en mécanique, il ne s'agit là que d'une abstraction, et que la force électro-motrice, qui n'explique rien en réalité, n'est qu'un intermédiaire, commode il est vrai, que nous introduisons arbitrairement entre le phénomène initial, quel qu'il soit, véritable cause, et le phénomène électrique qui est l'effet.
B6, puis à l'extrémité de ces tuyaux et séparés par des robinets aboutit une conduite qui ferme ainsi un circuit que pourra parcourir le liquide; enfin en a et b se trouvent deux tubes piézoraétriques, manomètres permettant de mesurer la pression en ces points.
Tant que les robinets seront fermés, il n'y aura pas de courant; le niveau du liquide dans le tube piézométrique a sera à la même hauteur que le niveau dans le réservoir A (le potentiel sera le même), d'autre part, le niveau du liquide dans le tube piézométrique b sera à la même hauteur que le niveau dans le réservoir B. La différence de niveau entre les points a cl b sera la même que celle entre les réservoirs A et B, et dépendra seulement de la puissance (force électro-motrice) de la machine élévatoire employée. Mais, si l'on vient à ouvrir les robinets en a et b, le courant s'établira et aussitôt les niveaux piézométriques varieront en a et è; il y aura abaissement en a et élévation en b, la différence de niveau entre ces points sera moindre que celle qui existait précédemment, moindre que celle qui subsiste entre A et B. De plus, cette différence dépendra de la conduite interposée et sera d'autant plus petite que celle-ci sera moins longue et d'une plus grande section.
On le voit, l'analogie est complète.
62. Le courant électrique n'existe pas seulement dans le circuit interpolaire, mais il y a aussi circulation d'électricité dans la pile (comme il y a circulation d'eau entre les deux réservoirs A et B), le courant allant du point où se produit la rupture de l'équilibre électrique, du point où se développe la foixe électromotrice au pôle -+- d'une part, tandis que d'autre part il va dans la pile du pôle — au siège de la force électro-motrice. 11 est donc bien vrai que dans la pile le courant va du pôle — au pôle -+- : cependant, sauf à l'endroit même où se développe la force électro-motrice (sauf dans la machine élévatoire), le courant va toujours du point oiî le potentiel est le plus élevé au point où il est le moins élevé; la force électro-motrice est précisément la cause qui en cet endroit amène l'électricité d'un point à un autre où le potentiel est plus élevé : il faut donc qu'il y ait là un certain travail mécanique développé, et c'est précisément pour fournir ce travail que le générateur de courant doit être un appareil dans lequel se dépense de l'énergie sous une forme quelconque.
On reconnaît par diverses expériences sur lesquelles il nous paraît inutile d'insister que le courant existe bien effectivement dans la pile conformément aux indications que nous venons de donner; on peut même vérifier que, conformément aux lois générales, l'intensité du courant dans la pile est la même que dans le circuit interpolaire.
62. Ceci posé, soit un générateur dont la fores électro-motrice estE, qui, en circuit ouvert, produit et maintient une différence de potentiel E entre ses pôles ; soit TT la résistance de ce générateur et soit A la résistance du conducteur interpolaire. Le courant qui se produit est dû à une différence de potentiel E ; il parcourt un circuit dont la résistance totale est tt -f A : on peut donc calculer son intensité I qui est donnée par la formule :
I a la même valeur dans toute l'étendue du circuit. D'après ce que nous avons dit l'énergie disponible dans ce circuit sera repré-
sentée comme toujoins par le produit W=EI, soit pour ce cas particulier:
Tv-f-A
Il Y aura intérêt à comparer cette énergie avec la cause qui l'aura produite ; c'est ce que nous étudierons ailleurs (voy. Machines D'i>iDncTio>% Piles).
64. Au point de vue des applications, ce qui est plus intéressant, ce sont les effets qui se produisent dans le conducteur inlerpolaire, dans le circuit extérieur. Nous pourrions y appliquer les formules générales, si nous connaissions la différence de potentiel s qui existe aux deux extrémités de ce conducteur, c'est-à-dire la différence de potentiel entre les pôles alors que le courant passe : on peut aisément calculer cette quantité en s'appuyant sur ce que nous savons sur la répartition du potentiel (58). Nous aurons, en effet :
E -/T-hA
D'oiî l'on déduit :
aE
On peut calculer l'intensité dans le conducteur seul d'après la formule générale
1= -, qui donnera :
ou, en remplaçant i par sa valeur :
ce que nous avions déjà déterminé d'ailleurs puisque le courant a la même intensité dans tous les points du circuit et notamment dans l'appareil électromoteur.
Enfin l'énergie disponible dans le conducteur interpolaire w s'évalue aisément et l'on a ;
