GKAVITE (CËMRE DE

du périmètre ou de la surface d'un polygone régulier est en son centre;

de la surface ou du volume d'une sphère ou d'un polyèdre régulier est en son centçe ;

du périmètre et de la surface d'un rectangle ou d'un parallélogramme est à l'intersection des diagonales;

de la surface et du volume d'un parallélipipède est à l'intersection des diagonales.

Ces mêmes propriétés permettent de reconnaître que :

Le centre de gravité de la surface d'un triangle est à l'intersection de ses trois médianes, qui sont trois axes de symétrie; on démontre qu'il est au tiers de chacune d'elles à partir de la base ;

Le centre de gravité du volume d'un tétraèdre est à l'interseclion des quatre plans passant par chacune des arêtes et le milieu de l'arête opposée. On trans- . forme aisément cet énoncé et l'on reconnaît que le centre de gravité est au milieu des droites qui joignent les milieux de deux arêtes opposées; ou encore sur chacune des droites qui joignent les sommets au centre de gravité de la face opposée et au quart de cette ligne à partir de la face.

Ces deux théorèmes sont très-importants parce qu'ils permettent de déterminer le centre de gravite d'un polyg(jne quelconque, celui de la surface et celui du volume d'un polyèdre quelconque.

On reconnaît aisément encore que, lorsque le corps a été décomposé en parties et que les centres de gravité partiels sont dans un même plan ou sur une même droite, le centre de gravité du corps est dans ce plan ou sur cette droite.

L'application de cette remarque conduit aux énoncés suivants, qui sont simples également :

Le centre d-î gravité de la surface ou du volume d'un prisme ou d'un cylindre est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases ;

Le centre de gravité de la surlace ou du volume d'une pyramide ou d'un cône est sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base et au quart de cette ligne à partir de la base.

Il existe en outre quelques règles et quelques formules qui permettent de déterminer le centre de gravité pour certaines figures géométriques, mais il serait sans intérêt de nous y arrêter.

On peut considérer le centre de gravité d'un système articulé, d'un système composé de pièces mobiles les unes par rapport aux autres; pour une position donnée du système, le centre de gravité a une position déterminée; mais ce point n'est pas invariable dans le corps et se déplace lorsque le système articulé subit des déformations. Il est intéressant, dans certains cas oii ces déformations se manifestent périodiquement, de déterminer la courbe constituée par l'ensemble des positions de ce centre de gravité, la trajectoire de ce point; le lait peut se présenter, par exemple, par une machine à vapeur. Ce cas d'un système articulé est celui des animaux et de l'homme dont le centre de gravité n'est par conséquent pas fixe par rapport aux diverses paities du corps; nous reviendrons sur ce point.

On peut même considérer le centre de gravité d'un système quelconque de corps complètement indépendants les uns des autres ; il est clair que, dans ce cas, comme nous l'avons indiqué phis haut, ce centre de gravité n'est que le point d'application d'une résultante fictive. La notion que l'on en a, dans divers cas, est même tout ù fait indépendante de l'idée de pesanteur, de gravité : c'est le point d'app//

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cation de la résultante des forces parallèles appliquées à ces corps proportionnellement à leurs masses.

II. La connaissance du centre de gravité d'un corps est nécessaire pour la resolution d'un certain nombre de questions de mécanique et d'abord pour celles qui se rapportent à l'équilibre.

Comme nous l'avons déjà dit, un corps qui a un point lise, qui est suspendu ou posé sur une pointe, est en équilibre lorsque le centre do gravité se trouve sur la verticale qui passe par le point fixe ; mais la position du centre de gravité sur cette droite par rapport au point fixe détermine la nature de l'équililjre; l'équilibre en effet est stable, indifférent ou instable, suivant que le centre de gravité est au-dessous du point fixe, qu'il coïncide avec lui, ou qii'il est situe au-dessus du point fixe.

On arrive à des résultats tout analogues, et il n'y a pas lieu d'insister, pour les corps qui ont un axe fixe non vertical.

Il faut également considérer le cas où le corps pesant repose sur une surface ; il faut d'ailleurs établir une distinction suivant que le contact se fait par un point seulement ou par une surface. Mais dans tous les cas l'équilibre ne peut exister que si la surface qui sert de support est liorizontale, c'est-à-dire que ce duit être un plan horizontal ou bien que le plan tangent au }ioint considéré est horizontal .

Si le contact a lieu par un point, la condition d'équilibre est la même dans tous les cas; l'équilibre correspond au cas où la verticale du centre de gravité est sur la verticale du point d'appui.

Mais, en ce qui concerne la nature de l'équilibre, il faut examiner séparément les divers cas : quand le corps repose sur la surf;ice par une pointe comme le sommet d'un cône, par exemple, l'équilibre est toujours instable. Mais, si le corps pose par un point d'une surface arrondie, la règle est toute différente des cas précédents parce que l'on écarte le corps de la position d'équilibre, le point de contact change sur les deux surfaces à la fois. Il n'y a pas alors à donner d'autres indications que la règle générale : l'équilibre est stable lorsque par le déplacement le centre de gravité s'élève; il est instable lorsque le centre de gravité s'abaisse par le déplacement; il est indifférent, si le centre de gravité se meut horizontalement par suite du déplacement subi par le corps.

Dans le cas où le corps repose sur un plan horizontal par une surface ou iiar plusieurs points, trois au moins, on appelle base de sustentation l'aire convexe (c'est-à-dire ne présentant pas de parties rentrantes) limitée par le périmètre de cette aire complétée par des droites joignant les points extrêmes ou tauf^entes au périmètre de manière que l'aire convexe ainsi formée ne laisse aucun point de contact en dehors.

Pour l'équilibre (et abstraction faite de la résistance du plan que nous supposons suffisante) , il faut et il suffit que la verticale du centre de gravité tombe à l'intérieur de la base de sustentation.

Dans ce cas, la stabilité n'est pas définie avec la même netteté que lorsqu'il n'y a qu'un point fixe, et l'on considère surtout des variations dans la grandeur de la stabilité. On reconnaît que la stabilité pour un mouvement qui tend à se produire autour d'un des côtés de la base de sustentation est d'autant plus grande que la verticale du centre de gravité est plus éloignée de ce côté.

Au point de vue dynamique, le centre de gravité joue également un rôle important. Lorsqu'une force est appliquée en un point quelconque d'un corps, on peut la remplacer par une force appliquée au cenire de gravité et par un couple

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convenablement choisi. Si on a un nombre quelconque de forces appliquées au corps, on pourra toujours les remplacer par une force résultante appliquée au centre de gravité et un couple ; dans certains cas particuliers la force ou le couple pourrait manquer.

En développant les conséquences de ces résultats importants, on reconnaît que l'on parvient à définir le mouvement d'un corps soumis à des forces en déterminant le mouvement de son centre de gravité, d'une part, et le mouvement du corps autour de son centre de gravité d'autre part. Le mouvement du centre de gravité est le même que si la force unique qui y est appliquée, la résultante de translation, agissait sur la masse entière du corps concentrée en ce point; le mouvement de rotation est celui que produirait le couple agissant sur le corps, si le centre de gravité était en repos.

Si l'on considère un système articulé quelconque qui ne soit soumis à aucune orce extérieure, mais seulement aux actions et réactions qui s'exercent entre les diverses parties mobiles, la position du centre de gravité dans l'espace est indépendante absolument des modifications de formes qui se manifesteraient. Si, au début, le centre de gravité était au repos, il y resterait indéfiniment ; si, au début, le centre de gravité était animé d'une certaine vitesse, il continuerait à se mouvoir d'un même mouvement rectiligne et uniforme, quelles que fussent les déformations du système. Enfin même, si le système était soumis à l'action de forces comme la pesanteur, le mouvement que prendrait le centre de gravité serait le même, que le système restât iiidéformé ou qu'il subit des déformations compatibles avec sa construction.

Le cas d'un système articulé dont le centre de gravité serait immobile dans l'espace ne se présente pas; lorsqu'un système articulé est immobile, il est en contact avec d'autres corps, il est porté ou suspendu et, aux points de contact, il existe de la part de ces corps des actions qui constituent des forces extérieures et dont l'effet est de produire le mouvement du centre de gravité du système. S'il s'agit d'un système mobile, il se présente des conditions analogues dans la pratique, et il faut tenir compte des actions extérieures provenant de la résistance de l'air, par exemple. Les mêmes résultats doivent être signalés, si l'on considère, non pas un système articulé proprement dit, mais un ensemble de corps distincts entre lesquels existent des forces réciproques, action et réaction : le repos ou le mouvement du centre de gravité du système ne dépendent en rien de l'action de ces forces intérieures. Si. par exemple, on considère la trajectoire parcourue par le centre de gravité d'une bombe, cette trajectoire ne sera en rien modifiée, si la bombe vient à éclater, et le centre de gravité de l'ensemble des fragments, point fictif, continuera à décrire la même courbe que si, la bombe n'ayant pas éclaté, les forces intérieures n'avaient pas été mises en jeu. III. Le rôle important que joue le centre de gravité, surtout dans les conditions d'équilibre, rend utile la connaissance de sa position chez les êtres vivants pour l'étude des questions de mécanique animale se rapportant à la station et à la locomotion.

Il importe toutefois de remarquer que les animaux, les hommes en particulier, étant des systèmes articulés, le centre de gravité n'est pas un point fixe, et qu'il change de position par rapport aux diverses parties du tronc, par exemple, lors du déplacement d'un ou de plusieurs membres ou de la tête. La détermination de la position du centre de gravité pour une attitude déterminée n'a donc qu'une importance relative, puisque cette position change avec l'attitude même.

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Cependant, comme première approximation, on peut ne pas tenir compte de ces déplacements relatifs qui ne sont pas très-considérables, parce que la masse des membres est notablement moins considérable que celle du tronc.

On a pu déterminer expérimentalement la position du centre de gravité de l'homme dans l'attitude de la station droite, les jambes au contact et les bras pendant le long du corps ; on peut d'abord admettre que le corps est symétrique par rapport au plan médian antéro-postérieur ; il n'en est pas tout à fait ainsi cependant à cause de l'existence des organes impairs situés dans l'abdomen ou le thorax, mais la différence doit être faible. Le centre de gravité doit être d'autre part dans le plan vertical qui passe par l'axe de rotation du bassin sur les têtes fémorales. Enfin, on trouve un autre plan qui doit contenir le centre de gravité à l'aide d'une expérience faite d'abord par Borelli et répétée par AVeber : on fait étendre un homme sur une planche horizontale posée sur un couteau dirigé transversalement et que l'on déplace jusqu'à obtenir l'équilibre; le centre de gravité est alors dans le plan vertical qui passe par Tarêle du couteau, ainsi que nous l'avons indiqué plus haut. Le centre de gravité se trouve à l'intersection des trois i)lans ainsi déterminés, et Weber a conclu que, pour un homme dans l'altitude du repos d'une taille de 1'", 009. le centre de gravité est à 8'""', 7 au-dessus du promontoire.

Ed. Weber a fiiit une autre détermination qui n'est pas sans intérêt : sur le même cadavre dont il avait séparé les membres inférieurs, il trouva que le centre de gravité remontait jusqu'au niveau de l'extrémité inférieure du sternum. Cette détermination serait insuffisante pour une étude complète de la mécanique humaine, elle peut suffire pour l'étude de la marche, en admettant que pendant ce mode de progression la tête et les bras ne changent pas de position.

Dans la station, il faut que !a verticale du centre de gravité tombe à l'intérieur de la base de sustentation, ce qui est la condition normale même lorsque les pieds posés sur le sol sont placés parallèlement au contact. Même dans ce cas, le plus défavorable, on ne peut dire comme on le fait quelquefois que l'équilibre est instable; la stabilité ou l'instabilité ne se rapportent en réalité qu'au cas où le corps présente un point ou un axe fixe et non pas où le corps pesant pose par une surface. Bien que le centre de gravité soit au-dessus de la base d'appui, l'équilibre restera stable tant que la verticale du centre de gravité ne tombera pas en dehors de la base de sustentation. Le corps pourra donc s'écarter de la position normale d'autant plus que la base sera plus étendue. C'est pourquoi l'équilibre est plus difficile à conserver lorsque l'on se tient sur un pied seulement, plus difficile encore lorsque l'on porte seulement sur la pointe du pied; il est plus facile à conserver, si l'on écarte les pointes des pieds, maintenant les talons au contact; il est plus facile encore, si l'on écarte complètement les pieds.

11 va sans dire que, si le corps quitte la position droite, s'il s'incline, si l'on déplace les bras ou la tête, le centre de gravité se déplace d;ms le corps, et c'est la verticale de ce nouveau centre de gravité qui doit passer à l'intérieur de la base de sustentation. 11 en est de même évidemment aussi dans le cas où riiommo porte un fardeau ; il faut alors considérer le centre de gravité du système complexe formé par le corps et le fardeau.

Pendant la marche, la course, le centre de gravité ne se trouve plus que pendant de courts instants verticalement au-dessus de la base de sustentation. Mais c'est qu'il n'est plus question d'équilibre; nous n'avons pas du reste à traiter ici ce sujet.