PF CF^ GF ~ P'F

D'oii l'on tire, en tenant compte de la relation GF = AF =: tf,

FF X P'F = y».

Dans cette équation, la distance focale f est une quantité constante; la distance P'F ne dépend donc que de PF et conserve la même valeur, quelle que soit l'inclinaison sur l'axe principal du rayon incident émané du point P. Tous les rayons envoyés au miroir par un point lumineux P situé sur l'axe principal viennent donc après leur réflexion, se croiser en un même point, ou foyer, P' situé aussi sur l'axe principal.

Par raison de réciprocité, si le point lumineux était en P', le foyer des rayons réfléchis serait nécessairement eu P. — Ces deux points, P,P', réciproques l'un de l'autre, prennent la dénomination de foyers conjugués.

Désignons parles lettres /, /' les distances PF, P'F du foyer principal F du miroir au point lumineux P et à son foyer P', nous aurons pour formule générale des foyers conjugués, l'expression très-simple :

Dans cette formule (1) toutes les distances sont comptées à partir du foyer principal F; habituellement on compte ces distances à partir du sommet A du miroir, et la formule générale des foyers conjugués prend une autre forme, facile à déduire de l'équation précédente. En effet; appelons jj,p' les distances AP, AP' du sommet A du miroir au point lumineux P et à son foyer P', nous aurons :

/ ^ PF = AP — AF = p — ^ l' =: P'F = AP' - AF = p' — y

CATOPTRIQUE. 559

Lu substitution de ces valeurs de l et de l' dans l'équation (1) donne

D'où

P? -f- P'? = pp' Et, en divisant tous les termes de cette dernière équation par le produit jjo'œ,

Telle est la formule classique des foyers conjugués dans le cas du miroir con-

cave.

Il est facile de voir que, dans l'équation (2) comme dans l'équation (1), la position du foyer P' dépend uniquement de la position du point lumineux P.

La discussion de l'une quelconque de ces deux formules nous ferait connaître la loi générale des déplacements relatifs des foyers conjugués P,P' ; cette loi peut être mise en évidence par des considérations géométriques bien simples.

Lorsque (fig. 16) le point lumineux est sur l'axe principal à une distance infinie du miroir, un rayon incident quelconque SI est parallèle à cet axe et se réfléchit

suivant IF. Un faisceau lumineux composé de rayons parallèles entre eux et à l'axe principal, est donc transformé par la réflexion en un faisceau de rayons convergents qui se croisent tous au foyer principal F du miroir.

Quand le point lumineux P est sur l'axe principal, à une dislance finie du miroir et au delà du centre de courbure G, le rayon incident PI (ait, avec la normale CI, un angle d'incidence PIC plus petit que SIC ; donc nécessairement le rayon réfléchi correspondant fait avec la normale CI un angle de réflexion P'IC plus petit que Fie et coupe l'axe principal en P'. Tous les rayons réfléchis concourent donc sur l'axe principal en un foyer réel P', situé entre le foyer principal F et le centre de courbure C du miroir. — A mesure que le point lumineux P se rapproche du centre G, l'angle d'incidence PIC diminue; l'angle de réflexion P'IG diminue donc aussi et. le foyer P' des rayons réfléchis se rapproche du centre G et s'éloigne du foyer principal F. Dans ce cas, le point lumineux P et le foyer P' se rapprochent donc ensemble du centre de courbure G.

Si le point lumineux P était au centre de courbure, les rayons incidents sciaient tous perpendiculaires à la surface du miroir, se réfléchiraient sur eux-mêmes et repasseraient par le même point G. Dans ce cas donc, le point lumineux P et le foyer P' des rayons réfléchis coïncideraient et seraient tous les deux au centre de courbure G du miroir.

Continuons à faire glisser le point lumineux le long de l'axe principal et plaçons-le entre le centre de courbure G et le foyer principal F. Cela revient évidemment à pren-

340 CATOPTRIQUE.

dreP' pourpoint lumineux; dès lors, par raison de réciprocité, le foyer des rayons réfléchis sera en P. — Quand le point lumineux est situé sur l'axe principal entre le centre de courbure G et le foyer principal F, tous les rayons réfléchis concourent donc sur l'axe principal en un foyer réel situé au delà de centre du courbure C du miroir. A mesure que le point lumineux s'éloigne du centre de courbure G et se rapproche du foyer principal F, le foyer des rayons réfléchis s'éloigne du centre de courbure G et s'avance vers Vinfini. — Dans ce cas, le point lumineux et le foyer des rayons réfléchis s'éloignent ensemble du centre de courbure G du miroir.

Lorsque le point lumineux est au foyer principal F, un rayon incident quelconque FI se réfléchit suivant IS parallèle à l'axe principal. Dans ce cas, tous les rayons réfléchis sont parallèles à l'axe principal et leur foyerest aussi loin que possible du centre de courbure G, à Vinfini.

Lorsque le point lumineux F (fîg. 17) est entre le foyer principal F et le sommet A du miroir, l'angle d'incidence PIC d'un rayon quelconque émané du point?

ria. 17.

est plus grand que FIC ; par conséquent l'angle de réflexion est aussi plus grand que l'angle SIG formé [lar le rayon de courbure CI et la parallèle SI à l'axo principal. Le rayon réfléchi RI est donc divergent et on ne rencontre l'axe principal qu'en P', derrière le miroir, par son prolongement géométrique. — Le foyer P' des rayons réfléchis est, dans ce cas, le point de croisement des prolongements géométriques de ces rayons; il est virtuel et d'autant plus éloigné du sommet A du miroir quele point lumineux P est lui-même plus rapproché du foyer principal F. — Dans ce cas, le point lumineux P et le foyer virtuel V se rapprochent ensemble du sommet A du miroir.

Par raison de réciprocité, le rayon incident RI se réfléchit suivant IP et vient couper l'axe principal entre le sommet A du mnoir et le foyer principal F. Par conséquent, un faisceau de rayons incidents convergents dont les prolongements géométriques concourent en un même point P' de l'axe principal situé derrière le miroir, est transformé par la réflexion en un faisceau de rayons convergents dont le foyer >-ee/ est situé sur l'axe principal entre le centre défigure A et le foyer prin. cipal F du miroir. — Ce point de croisement F des prolongements géométriques des rayons incidents est un point lumineux virtuel. Il est facile de voir que ce point P' et le foyer P des rayons réfléchis s'éloignent et se rapprochent ensemble du sommet A du miroir.

Ainsi donc :

1* Tant que la distance du point lumineux au sommet A du miroir n'est pas inférieure à la distance focale AF, le foyer des rayons réfléchis est réel : situé entre le centre de courbure G et le foyer principal F, quand le point lumineux est au delà du centre C; situé au delà du centre de courbure C, quand le point lumineux

CATOPTRIQUE.

est entre le centre de courbure G et le foyer principal F ; les deux foyers conjugués sont toujours séparés par le centre de courbine C du miroir.

2° Le foyer des rayons réfléchis est virtuel, situé derrière le miroir, pour toutes les positions du point lumineux comprises entre le foyer principal F et le sommet A du miroir.

3° Le foyer des rayons réfléchis redevient réel, est situé en avant du miroir entre son sommet A et son foyer principal F, quand le faisceau incident est composé de rayons convergents dont les [irolongements géométriques se croisent, derrière le miroir, en un même point de l'axe principal ; c'est-à-dire quand le point lumineux est virtuel. — Dans ce troisième cas, comme dans le second, les deux foyers conjugués sont séparés par la sommet A du miroir.

Dans tous les cas, les deux foyers conjugués (le point d'entre-croisement des rayons incidents et le point d'entre-croisement des rayons réfléchis) marchent en sens contraires le long de l'axe principal XX' du miroir.

Considérons le cas (fig. 18), oii le point lumineux S est placé en dehors et dans le voisinage de l'axe principal XX'. L'axe secondaire SCG mené par le point S joue

évidemment le rôle d'un axe principal par rapport au cône de rayons divergents envoyés par ce point ]\imineux S vers le miroir Mi\. Le foyer des rayons réfléchis est donc situé sur cet axe secondaire SCG. Mais, d'une part, le rayon incident SI parallèle à l'axe principal XX' se réfléchit suivant IR qui passe par le foyer principal F; d'autie part, le jayon incident SF qui passe par F se réfléchit suivant FR' parallèle à l'axe principal XX'. Le foyer des rayons réflécliis est donc en S', au point où ces deux rayons réfléchis se coupent sur l'axe secondaire SG. Évidemment un seul des rayons réfléchis IR, FR' suffit pour déterminer géométriquement la position du foyer S' bur l'axe secondaire SG ; selon les cas, on se sert de celui dont la construction est plus facile.

Des points S, S' abaissons les perpendiculaires SP, S'P' sur l'axe principal. En raison de la très-faible amplitude du miroir, l'arc IF se confond sensiblement avec une perpendiculaire à l'axe principal menée en A.. Dès lors nous pouvons poser Al = SPetAF = S'P'.

Les triangles rectangles FSP, FFA sont semblables et donnent*