AF. A

342 CATOPTRIQUE

Mais AI = SPet Ar = S'P', les seconds nombres de ces deux équations sont donc identiques et nous avons:

PF AF ÂF — P'F

d'où, en remplaçant AF par la valeur <f,

PFxP'F = y»

Désignant PA par p et P'A par p', et procédant comme à la page 338, on tire facilement de cette équation :

Les pieds P, P' des perpendiculaires à l'axe principal, abaissées du point lumineux S et du foyer correspondant S', satisfont donc aux formules géiiéndes des foyers conjugués.

Mais, en tenant compte de l'égalité AI' =S'P', les triangles rectangles semblables FI'A, FSP donnent :

SP ^PF

Pour déterminer la position du foyer S', nous avons donc les deux groupes de relations suivants :

La position du point lumineux S étant donnée, les distances PF, p, SP sont nécessairement connues ; la position du foyer S' est donc déterminée parles équations (5) qui fournissent des valeurs correspondantes des distances P'F, p', S'P'.

Dans la figure i8, le point lumineux S et le foyer S' sont l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe principal. Ces deux points étant situés sur un même axe secondaire, leur position relative reste évidemment la même dans tous les cas où le centre de courbure C, c'est-à-dire le point d'entre-croisement de cet axe secondaire et de l'axe principal, se trouve compris dans l'intervalle qui sépare le point lumineux du foyer des rayons réfléchis.

Les équations (o) montrent qu'à tout point lumineux situé sur la perpendiculaire SP correspond nécessairement un fojei' placé sur la perpendiculaire S't^'. En raison de la parfaite symétrie des surfaces spbériques, à une série de points lumineux situés sur un plan perpendiculaire à l'axe principal mené par le point P correspondrait nécessairement une série de foyers placés sur un plan perpendiculaire à l'axe principal mené par le point P'; de plus, ces points lumineux et ces foyers seraient seniblablenient distribués sur ces deux plans.

11 résulte de cette dernière considération que si SP (fig. 18) est un objet plan et perpendiculaire à l'axe principal, le miroir en fournit par réflexion, en S'P', une image semblable, plane et perpendiculaire à l'axe principal. — Dès lors, les positions relatives de l'objet SP et de son image S'P' sont déterminées par le premier groupe des équations (3) ; le second groupe de ces mêmes équations donne évidemment, sous deux formes différentes, l'expression du rapport de leurs dimensions linéaires.

PFxP'F=y^

S'P' y SP ~PF

SP -p-«

CATOPTRIQUE. 343

La discussion des équations (3) permet de déterminer, dans tous les cas, les rapports de position et de grandeur d'un objet et de son image ; ces mêmes rapports peuvent être mis en évidence par des considéralions géométriques très-simples.

1" L'objet est situé au delà du foyer principal du miroir. Lorsque l'objet est placé à Yinfini, son image est réelle, au foyer principal du miroir, renversée eL infiniment petite par rapport à l'objet. Dans ce cas, en effet, les rayons émanés de chacun des points de l'objet sont parallèles entre eux ; par conséquent, les rayons réfléchis correspoirdants se croisent tous en un même point du plan focal.

L'objet SP (fig. 19) est au delà du centre de courbure C et à une distance ^me. L'image du point S est nécessairement en S', au point d'intersection de l'axe se-

Fig. 19.

condaire SG et du rayon réfléchi IFR correspondant au rayon incident SI parallèle à l'axe principal. S'P' est donc l'image de l'objet SP. — L'objet se rapproche du centre C et se transporte en sp ; le rayon parallèle à l'axe principal parti du point s est toujours SI, et par suite IR est toujours le rayon réfléchi correspondant. L'image du point s est donc en s' , point d'intersection de IR et de l'axe secondaire sg, et s'p' est l'image de sp. — Quelle que soit la position de l'objet au delà du centi'e C, la construction géomélrique montre que son image est situé entre le foyer principal F et le centre C. Cette image est réelle, renversée et plus petite que l'objet ; à mesure que l'objet se rapproche du centre C, l'image grandit et se rapproche aussi du centre.

L'objet se est au centre de courbure (fig. 20). Du point S partent deux rayons, l'un SI parallèle à l'axe principal, l'autre SFI' qui passe par le foyer principal. Le

Fig.

premier se réfléchit suivant IFS', le second suivant l'S' parallèle à l'axeprincipal. L'image du point S est donc en S' au point d'intersection de ces deux rayons réfléchis ; et, comme GF est égal à FA, nécessairement l'image S'G de l'objet SC est

344 GATOPTRKJIJE.

aussi au centre de courbure, réelle, renversée, et de même dimension que l'objet.

L'inspection de la figure 19 montre qu'en raison de la complète réciprocité des phénomènes de la réflexion, quand l'objet est placé entre le centre G et le foyer principal F, son image est au delà du centre G. — Dans ce cas, l'image est réelle, renversée et plus grande que l'objet. D'ailleurs, à mesure que l'objet s'éloigne du centre G et se rapproche du foyer principal F, l'image grandit, s'éloigne du centre C et marche vers Vinfini.

Quand l'objet est au foyer principal, son image est nécessairement à l'infini, léelle, renversée et infiniment granAe par rapport à l'objet. Dans ce cas, en effet, l'objet étant tout entier dans le plan focal, les rayons incidents fournis par chacun de ses points sont transformés par la réflexion en un faisceau de rayons parallèles entre eux.

2° L'objet est entre le foyer principal et le miroir. Soit SP (fig. 21) un objet -iliié entre le miroir et son foyer principal F. L'image du point S se trouve à la

fois sur l'axe secondaire GSG et sur IR , rayon réfléchi parallèle à l'axe principal et correspondant au rayon incident SI, dont la direction est la même que s'il émanait du foyer principal F. Évidemment GG et IR sont divergents ; leurs prolongements géométriques seuls se rencontrent derrière le miroir au point S', qui est l'image virtuelle du point S. Dès lors S'P' est l'image de l'objet SP; cette image est mrtuelle, droite et plus grande que l'objet. — A mesure que l'objet SP s'éloigne du iniroiret se rapproche du foyer principal, son image S'P', toujours virtuelle et droite, grandit, s'éloigne du miroir et marche \ers. l'infini.

Supposons que S'P' (fig. 21) soit une image réelle formée par réflexion ou par réfraction, et que nous interceptions le faisceau lumineux au moyen du miroir MN. Évidemment l'image S'P' ne se forme plus ; mais comme la direction des rayons lumineux qui la formaient n'est pas changée, elle joue le rôle d'un objet virtuel par rapport au miroir MN qui en donne évidemment une image réelle, droite et plus petite en SP, entre le miroir et son foyer principal F. En effet, le rayon incident RIS', parallèle à l'axe principal, se réfléchit suivant IF, et le rayon incident GGS', qui passe par le centre G, se réfléchit sur lui-même ; l'image de S' l'st en S, au point de croisement des deux rayons réfléchis IF et GG, et SP est l'imnge réelle, droite et pins petite de l'objet virtuel S'P'. — Dans ce cas, l'objet et l'image se rapprochent et s'éloignent ensemble du miroir UN.

En résumé : tant que l'objet est au delà du foyer principal, son image est toujours réelle et renversée ; plus petite que l'objet et située entre le foyer principal et le centre de courbure, quand l'objet est au delà du centre; plus qrande que l'objet et située au delà du centre de courbure, quand l'objet est entre le foyer

CATOPTRIQUE. 345

principal et le centre de courbure. — Quand l'objet estentre le foyer principal et le miroir, son image est toujours virtuelle, droite et plus grande que l'objet.

Ajoutons enfin que la loi générale des rapports de position de l'objet et de son image est la même que celle des foyers conjugués. Qu'on les rapporte au sommet A du miroir, au foyer piincipal F ou au centre de courbure G, dans tous les cas l'objet et son image marchent en sens contraires.

b. Miroirs convexes. Toutes les questions examinées à propos des miroirs concaves se présentent dans l'étude des propriétés des miroirs convexes ; les mêmes raisonnements appliqués à des constructions analogues nous en donneront la solution.

Soit MN (fig. 22) un miroir convexe et SI un rayon incident quelconque parallèle à l'axe piincipal XX'. Le rayon réfléchi correspondant à IR fait avec la normale ce un angle de réflexion RIC égal à l'angle d'incidence SIC. Le rayon réfléchi IPi est évidemment divergent, et c'est seulement son prolongement géométrique

Fig. 2-2.

qui rencontre l'axe principal en F derrière le miroir. Les angles RIC, GIF sont égaux comme opposés par le sommet ; les angles SIG', FGl sont égaux comme ayant leurs côtés parallèles et l'ouverture dirigée dans le môme sens ; donc le triangle IGF est isocèle et les côtés GF, IF, opposés aux angles égaux, sont égaux. Mais, en raison de la très-faible amplitude du miroir, IF est sensiblement égal à .\F; donc AF = GF et le point F est situé à égale distance du centre de courbure C et du sommet A du miroir. — La même construction et les mêmes raisonnements pouvant s'appliquer à tout autre rayon incident parallèle à l'axe principal et au rayon réfléchi correspondant, il en résulte que les prolongements géométriques de tous les rayons réfléchis se croisent en ce même point F, derrière le miroir, lorsque les rayons incidents sont parallèles à l'axe principal XX'.

Ce point F est le foyer principal du miroir ; il est virtuel et situé sur l'axe principal à égale distance du centre de courbure et du sommet du miroir.

lia longueur AF est la distance focale du miroir; nous la désiguerons par la

lettre y. En appelant r le rayon de courbure AG du miroir, nous avons y=z:— ;

celle expression détermine la véritable iposilioa du foyer principal F, en arrière et sur l'axe principal XX' du miroir.

Eu raison de la réciprocité des phénomènes de la réflexion, il est évident que si un point lumineux virtuel est placé au loyer principal F, c'est-à-dire si le faisceau lumineux incident est composé de rayons convergents dont les prolongements géométriques se croisent en F, les rayons réfléchis correspondants sont tous parallèles à l'axe principal XX'.

Appelons p/an/bca/ un plan TT' (fig. 2ô) perpendiculaire à l'axe principal XX'

546 GATOPTRIQUE.

et mené par le point F. Les portions de ces plans rapprochés de F jouissent de propriétés importantes.

1° Soit SI un rayon incident quelconque et CG un axe secondaire parallèle à SI. En raison de là très-faible amplitude du miroir, BG est sensiblement égal à AF; par conséquent, l'axe secondaire CG et le point B où il perce le plan focal jouent, par rapport au rayon incident SI et à tous les rayons parallèles à SI, les rôles

Fig. 25.

d'un axe principal et d'un foyer principal. Il en résulte que le prolongement géométrique du rayon réflrclù IR, correspondant à SI, passe nécessairement par le point B, et que tout rayon incident parallèle à SI est réfléchi suivant une droite menée par le point d'incidence et ce point B.

Donc le foyer d'un faisceau de rayons incidents parallèles entre eux est virtuel, et situé sur le plan focal TT', au point B où ce plan focal est percé par l'axe secondaire CG parallèle aux rayons incidents. — Dans le cas particulier où les rayons incidents sont parallèles à l'axe principal, le foyer virtuel de ces rayons l'étléchis est en F.

2° Réciproquement, tout rayon incident RI, dont le prolongement géométrique perce le plan focal en un point B, se réfléchit suivant IS parallèle à l'axe secondaire CG mené par ce point B.

Donc, quand un point lumineux virtuel est situé en un point B du plan focal, c'est-à-dire quand le faisceau lumineux incident est composé de rayons convergents dont les prolongements géométriques se croisent tous en ce point B, tous les rayons réfléchis sont parallèles à l'axe secondaire CG , mené par ce point de croisement B. — Dans le cas particulier où le point lumineux virtuel est au foyer principal F, les rayons réfléchis sont tous parallèles à l'axe principal XX'.

Ces deux propriétés du plan focal permettent de construire géométriquement le rayon réfléchi IR correspondant à un rayon incident quelconque SI. Ces deux rayons, en effet, doivent satisfaire aux deux conditions suivantes : 1» le prolongementgéométrique du rayon réfléchi IR passe par le point B où le planfocal est percé par l'axe secondaire CG parallèle au rayon incident SI ; 2° le rayon incident SI pouvant être considéré comme aboutissant à un point lumineux virtuel situé sur le plan focal au point H où ce plan est percé parle prolongement géométrique de SI, le rayon réfléchi IR est nécessairement parallèle à l'axe secondaire CK mené par ce point H. — Le qundrilatèie CHIB formé par les prolongements géométriques des rayons incident et réfléchi et par ces deux axes secondaires est donc un parallélogramme.

Soit P (fig. 24) un point lumineux situé sur l'axe principal XX' ; PI un rayon incident quelconque émané de ce point lumineux et dont le prolongement géomé-

CATOPTRIQUE.

trique perce en H le plan focal TT'. Nous savons que le rayon réfléchi correspondant à IR esl parallèle à CH, et que son prolongement géométrique passe par le point B où le plan focal est percé par la droite CB parallMe au rayon incident PI.

Fig. '24.

Le prolongement géométrique de ce rayon réfléchi ainsi déterminé coupe l'axe piincipal^en P'.

Les deux triangles rectangles PHF, CBF sont semblables et donnent :