ifl -I- 20 xy -f 5 y2 32 xi— 15 1/2 -f

On remarque d'abord qu'à l'une de ces équations on peut toujoius substituer une de leurs combinaisons ; par exemple, on éliminera a;^, cequi donne Wxy -f- 65i/^ — 420=0; d'où

liy

Cette valeur étant portée dans l'équation (2), il vient pour équation finale eu y.

yi 40y5-f 144 = 0

Cette dernière fait connaître quatre valeurs do y qui, mises successivement dans (3), fourniront les quatre valeurs correspondantes de x. Ici l'équation (4) se résout facilement, car elle est bicarrée et a pour racines

il en résulte pour x les v.ileurs

Ces quatre systèmes de valeurs satisfont seuls aux équations proposées.

On opérera de la même manière toutes les fois que l'on saura résoudre l'une des équations par rapport à une inconnue, car il sera facile alors d'éliminer cette inconnue. Lorsque cette résolution n'est pas possible, ou emploie un procédé connu sous le nom de méthode du plus grand commun diviseur. En voici le principe : Si, pour une valeur donnée à x, deux équations acquièrent un conmiun diviseur en y, cette valeur de x appartient â l'un des systèmes de solutions communes aux deux équations (voyez les Traités d'alqèlife,Ql l'article ÉQUA- Tlo^s M Ml rioiES \Rcsolulion des]). E. R.

ll.lXli; M.iiière médicale). — Ce mot vient-il, comme le prn .. m i|iirli|ues-uus, du verbe grec alexei'i, aoriste ni'iy'n l'/niuncn, conjurer un mal, ou du latin cligere, choisir? On appelle ainsi certaines teintures alcooliques ou étliérées, plus ou moins composées et chargées de principes végétaux et même minéraux, qui jouissent de propriétés très-difl'ércnles. Ensuite, par un abus de mots, on a donné le mémo nom à des préparations qui ne contiennent ni alcool ni étiier. Voici quelques-uns dos élixii'S qu'on emploie le plus sonvcLit :

1° B. antiasihmatww; de Hoèrlinave ; c'en an alcoo'at d'anis, de camphre, d iris, de racine d'asarct, de calamus aromaticus, de réglisse, d'année. Son nom indique son usage (25 à 30 gouttes dans du thé).

ELL

ELL

2» E.a)ilirjoulteux,deViUelte;pTép:iré;ivec(]ainqmn!i, fleurs decoqiielicot, sassafras, digéiTS pendant qiniizejours dans le rhum ; on ajoute de la résine de gaîac et du sirop de salsepareille. Une on deux cuille- rées par jour.

3° E . imiéncains on deCourcelles ; racines d'aimée, de canne à sucre, d'aristoloche, de canne de Provence, fleurs de millepertuis et de surean, feuilles d'avocatier, de croton balsaniiferum, baies de genévrier, feuilles et fleurs d'oranger, fleurs de tilleul, feuilles de romarin, racine d'asaret, opium, le tout digéré dans de l'alcool. Administré contre la chlorose, l'anémie ; vanté aussi comme antilaiteux ; mais ici il doit être employé avec réserve (voyez Anti-laiteux).

'i°E . anti-odontalgique ;a\ec\ebo\s. àe gaïac, la racine de pyrèihre, muscade, girolle, macérés dans l'alcool pendant six jours; on passe, et on ajoute des huiles de romarin et de bergamotte. Une cuillerée à café dans nn verre d'eau pour se rincer la bouche.

S° E. de Garus; c'est une teinture alcoolique de myrrhe, d'aloès, de cannelle, de muscade, à laquelle on ajoute un sirop, et que l'on colore avec du caramel. Il sert quelquefois de liqueur de table.

6° E. de longue vie ; il est composé d'aloès succotrin, de racine de gentiane, de rhubarbe, de zédoaire, d'agaric blanc, de safi'an, de thériaque et de sucre pulvérisé qu'on fait digérer dans l'alcool pendant plusieurs jours; employé comme stomachique et légèrement purgatif.

'" E .viscérn/ d'Ho/f'iiitinn ; c'est uneinfusion d'absinthe, de chardon bénit, de petite centaurée, de gentiane, d'écorce d'orange dans du vin de Hongrie ou de Malaga. Il est amer et stomachique, à la dose de 4 à 8 grammes. Les bornes qui nous sont imposées nous obligent à citer seulement les suivants : E . antipesHlen1iel,àe Spina ; E. antùcrofuieuj:, de Peyrilhe; E. unlùeptique, d'Huxham; E. antiseplii-jue, de Chaussier; E. fétide: E. stomachique, de Stoughton ; Ë. de propriété, de Paracelse; E. vitriolique, de Myiisicht, etc. F — n.

ELONGATION (Astronomie). — C'est !a distance angulaire d'une planète au soleil, vue de la terre. Pour les planètes inférieures, il y a une élongation maxima tandis que pour la lune et les autres planètes l'élongation peut atteindre 180". La plus grande élongation de Vénus varie de 'lâ" à 48°; celle de Mercure de 18» à 28', à cause de la grande ellipticité de son orbite. Mercure n'étant jamais distant du soleil de plus de 28°, on comprend pourquoi il est si rarement visible à l'œil nu, et se perd d'ordinaire dans les rayons du soleil.

ELLÉBORE ou Helléuore (Botanique) , Helleborus, Lin.; du grec e/e'm, faire périr, et bora, aliment meurtrier. — Genre de plantes Dwolyiédones dialypétales hypogyries, de la famille des Renonculacées, type de la tribu des Heltéborées. Lesellébores, dont on cultive environ une dizaine d'espèces, sont des herbes vivaces. La plus remarquable est VE. à fleurs roses ou E. noir [H. niger. Lin.), appelé aussi liose deNoél, parce qu'il fleurit vers la lin de décembre. Ses feuilles sont toutes radicales, longuement pétiolées, coriaces, à 8-!t seguionts. Ses fleure, ordinairement solitaires k l'extrémité d'une hampe qui n'atteint guère plus de O^W, sont larges et très-ouvertes. Elles produisent d'autant plus d'elTet qu'elles s'épanouissent à une époque où les floraisons sont très-rares. On trouve aux environs de Paris, \'E. fétide [h. fœtidus. Lin.) ou l'ied de griffon, ainsi nommé à cause de la forme de ses fouilles, et qui fleurit dans les lieux pierreux aux premiers jours du printemps; sa tige est glabre, simple inférieurement, rameuse dans la partie supérieure, ses feuilles pétiolées, d'un vert sombre, snnt partagées en huit ou dix digitations allongées, argués, lancéolées, d'un vert blanchâtre. Ses fleurs verdâtres, ijn peu bordées de rouge, sont pédonculées, penchées et disposées plusieurs ensemble en une sorte de pauicule. Elle croit naiurellernint en France, eu Allemagne, en Angleterre. VU. à fU.urs vertes [II. viridis. Lin.), fleurit nu printemps dan» les lii'ux ombragés. Sa hanipo a 2-i fleurs, et des bractéi!S décoiipi'es, palmées. Toute la plante exhale une odeur repoussante, et ses propriétés vénéneuses sont parfois fatales aux bestiaux. Lo suc de cet ellébore est Irts-corrosif et brille la peau. Caractères du genre : calice à .'> sépales; S-10 pétales tubiilés ou en cornet, plus courts que le calice; 31) ù (Ht étamines; 3-10 ovaire»; 3 A U capsules ovales-oblongues c'intenant plusieur» grtiiniH arronelies

L'elléboro a été renommé chez les anciens pour «es propriétés curatives, et particulièrement dans les maladies nerveuses. Sous ce nom, d'ailleurs, les méùuciiu grecs et romains employaient diverses plantes,

mais surtout VE. rfOrient, qui croissait sur les montagnes de Delphes, sur l'Olympe, l'Athos et en Asie Mineure. Cette espèce fournit un purgatif violent. Dans nos contrées, i'E. noir, dont les racines nous viennent de l'Auvergne et de la Suisse, a remplacé l'espèce d'Orient comme purgatif et diurétique très-actif, d'une saveur acre et brûlante à l'état frais; avec le temps, toutes ces propriétés disparaissent complètement. On substitue fort bien à VE. noir, VE. fétide ou l'ied rfe griffon. On administrait ces racines en poudre, en infusion, en teinture, contre les paralysies, les hydropisies atoniques, la chorée, les affections mentales : on ne les einploie presque plus aujourd'hui, et l'on doit peut-être le regretter.

Suivant les fictions poétiques des Grecs, Mélampe, devin et surtout célèbre médecin, guérit les filles du roi Prœlus devenues folles, en leur faisant boire du lait de chèvivs qui av^iient mangé de l'ellébore, ou plutôt en leur adminl^tr;lnt hii-mfinie cette plante. Cette histoire, racontée avec des circonstances un peu différentes par Dioscoride, Hérodote, -Pausauias, l'iine et une foule d'autres auteurs, témoigne de la grande réputation dont jouissait dans l'antiquité ce médicament. Mais quelle était l'espèce dont se servaient les anciens? C'est une question qui a été beaucoup agitée; il parait en somma qu'ils distinguaient deux espèces bien différentes : 1» VE. blanc qui est le veratrum album de Lin. de la famille des Mélantkacées (voyez Véiiatiie) ; 2" et celui qu'ils appelaient E. noir, et qui, d'après les travaux de Tournefort, est VE. oriental (E. orientalis niger amplissimo folio, Tourn.). En visitant les contrées oii croissait Tf. noir des anciens, c'est-à-dire Anticyre, la Béotie, l'Eubée, le mont Héliron, etc., l'illustre botaniste n'y a trouvé que cette espèce, d'où il conclut que c'est l'É. des anciens. L'usage de ce médicament éiail précédé et accompagné d'une série de procédés et de pratiques qui faisaient de son emploi une des parties les plus essentielles de la thérapeutique des anciens. (Voir l'exposé de ces différentes pratiques à l'article Eli,ébobisme du grand Dictionnaire des sciences médicales.) On y lit : n Sans rien décider sur l'importance et la sagesse des opérations qui précédaient l'administration de ce remède, on ne peut s'empêcher de faire remarquer qu'ils étiient trop bons observateurs, et que nos théories -sont trop incertaines, pour qu'il soit permis de condamner sans examen, dans leur conduite, les choses même qui nouj semblent inutiles ou ridicules. » Les anciens employaient l'ellébore particulièrement contre tontes les maladies connues aujourd'hui sous le nom de névroses des fonctions cérébrales, telles que l'épilepsie, rhypochondrie,et surtout les différentes formes de la manie ; aussi sa réputation est elle devenue proverbiale depuis l'antiquiti-. Horace conseille de donner aux avares une très-grande quantité d'ellébore ({multo maximn pars ellebm i]; ailleurs il dit d'un homme qui avait le cerveau malade, qu'il faut l'envoyer à Anticyre (naviget .ititicyras). Enli i notre immortel fabuliste fait dire par le lièvre à la tortu.: qu'il traite de folle :

Ma commère, il vous fuut purger Avec quatre graius d'ellébure.

L'action purgative était, en effet, celle qui se manifestait tout d'ubord ; mais les anciens ne s'arrêtaient pas à cette seule idée. Pour eux il y avait dans ce moyen thérapeutique une action générale sur l'enseinblide l'organisme, les secousses violentes, les effets varié • qui accompagnaient ou suivaient son usage, autorisaient cette ldél^ Du reste on le proscrivait dans les circonslanc(^s où il y avait trop d'excitation ou trop d'affaiblissement. Ilippocrate défendait de l'administrer à ceux qui crachent du sang, à ceux qui sont débiles e: lymphatiques, il ceux <|ui ont la vue faible, etc., ou ^ ceux qui ont une forte santé.

Ki.i.KiioiiK iii.ANc vIJotanique). — Nom vulgaire d'une espèce di' \'ériUre, le Varaire. G — s et K — N.

EI.Lf;i!OKlîi;S ou llfi.LÉBOKÉF.s (Botanique.— Tribr de plantes do la famille des Henonculucées. Caractérisée par : sépales pétaloides, ii préfloraison imbriquée; pétales nuls ou irréguliers; follicules ou capsules .1 pi isicurs loges coutenmit de nombreuses graines. Genres pjincijiaux : Ellctjure (llcllrhorus, Adans.); irotic (ïiollius. I.in.); Niipdle {Nigrl/(i, Tourn.) ; /lH'o//r(.')(/«i/'','/i(i, Tourn.) ; l'ied d'alnwtte ou l)aiipliiriet/e {Delpliiiiiuin, l'ourn.); Aciinit (.Acnit'lwii, Tourn.); l'opiitage {Cattlin, Lin.).

ELLIliBOKliNEuu IlEi,i.ti)oiiiNE (Botanique), A cause de

ELL

ELL

Ellipse.

l'analogie des leuilles avec celles du Vériîti-e, Varmre ou Ellébore blanc. -^ Nom vulgaire d'un genre de plantes Monocotyléiloncs apérispcrmccs de la famille des Orchidées, tribu des Opiirydee.t, nommé Serujniis par Linné, et dont plusieurs espfeces font partie aujourd'hui du genre Epipadù de L. C. Bicliard (voyez Kpipactide). L't'. en cœur (S. corcligera. Lin.) est une plante tuberculeuse, à feuilles oblongues, lancéolées. Fleuis en épi au nombre de 4-5 grandes, labelle du périanthe d'un rouge lie de vin. Pivs humide^ de l'ouest et dn midi de la France.

ELLIPSE (Géométrie). — L'ellipse est une courbe plane, telle que la somme des distances de chacun de ses points .\ deux points fi\es est constante ; ces deux points fixes s'appellent foyers. Si l'on y att.ache les extrémités d'un fil, puis si l'on tend le fil à l'aide d'un crayon que l'on fait mouvoir en maintenant toujours la tension; la somme des distances MF et MF' {/iy. !)0G) restera égale à la longueur du fil, par conséquent le crayon M décrira une ellipse. C'est ainsi que les jardiniers tracent cette coui-be !\ laquelle on donne quelquefois le nom d'ovale des jardiniers.

An lieu do décrire l'ellipse d'un mouvement continu, on peut la construire par points. Pour cela, à partir du milieu O de FF', on portera de chaque côté deux distances OA, OA', égales à la moitié de la ligne donnée ou de la longueur du fil ; A et A' seront les sommets de la couibe.

Marquons un point quelconque C entre F et F', et de F comme centre avec CA pour rayon, puis de F' avec CA' pour rayon, décrivons des arcs de cercle, ils se couperont en un point M de l'ellipse. Ces arcs se coupent aussi eu dessous de AA', ce qui donne un second point symétrique dn premier. Enfin, on peut échanger les rayons CA, CA', ce qui donnera un point à gauche de Bli'. La courbe est donc symétrique par rapport aux axes AA', BB'. AA' est le grand axe, BB' le petit axe, 0 le centre.

Le point B étant également éloigné de F et F', .sa distance aux loyers est la moitié de AA', ou le demi-grand axe. Représentant OA par a, OB par h, OF par c, nous aurons a^^b^--{-c-. Do là un moyen de trouver les foyers d'une ellipse lorsqu'on connaît ses axes.

Si, a restant le même, c augmente, il faut que i diminue; l'ellipse sera donc d'autant plus allongée que les foyers seront plus voisins des sommets. Au contraire, en rapprochant les foyers du centre, l'ellipse devient de moins en moins allongée. Enfin pour c^O, «=4, et l'on a un cercle : le cercle peut donc être considéré comme une ellipse où les deux foyers sont réunis au centre.

Les droites F.\I,F'Msont les rayons vecteursda pointM. Pour tout point de l'ellipse, la somme des rayons vecteurs est égale au grand axe ■,'«. Pour un point extérieur, celte somme est plus grande que 2a,' pour nn point intérieur, elle est moindre.

On conclut de là les propriétés de la tangente à l'ellipse. La tangente en un point M d'une ellipse (fig. 907) divise en deux parties égales l'angle FMH formé par l'un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre.

Ou peut prouver, en effet, que cette bissectrice n'a que le point M commun avec l'ellipse. Abaissons du foyer sur celte droite une perpendiculaire FI, et prolongeons-la jusqu'à la rencontre de F' M , nous aurons MF = MH, et aussi, pour tout point N de la bissccirice, NF = Kll. Or NF' + NH > MF' -f- Mil ; donc NF' + NF^MF'-f- MF, ou >2a; ce qui prouve que le point N est extéiieur.

Do ce théorème se déduit aisément celui-ci : La normale divise en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs. Et encore celui-ci : Le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer d'une ellipse sur ses tançenics est un cercle de même centre et de rayon a.

Si par un point M donné sur l'ellipse on veut lui menir une tangente, ou mènera les denx rayons vecteurs, on prolongera l'un d'eux d'une longueur MU ég;ile à

Tangente à Tellipsc

l'autre, et, joignant FH, on ab.iissera de M sur cette droite une perpendiculaire qui sera la tangente demandée, puisqu'elle divisera en deux parties égales l'angle FMH.

Pour mener la tangente par un point N donné hors de la courbe, il faut préalablement trouver le point du contact M. Or, si de N comme centre avec i\F comme rayon, on décrit un arc de cercle, il ira passer par II. De plus, ce point H est à une distance 2« de F'. On décrira donc de F', conmie centre avec le grand axe pour rayon, un arc de cercle qui coupera le précédent en H. Ce point déterminé, il sufiit de le joindre à F' pour avoir le point de contact. Si l'ellipse n'était pas tracée, on joindrait HF, et du point N on abaisserait une perpendiculaire sur cette droite. Les deux arcs de cercle qui déterminent H se couperont en deux points; il en résulte deux solutions, c'est-à-dire deux tangentes, ainsi qu'on pouvait le pj'éyoir.

Ces diverses propriétés de l'ellipse peuvent s'établir par la géométrie analytique; mais il faut d'abord avoir son équation. Cherchons donc le lieu géométrique drs points dont la somme des distances à deux points fixes est constante. Prenons pour axe des x, la droite qui joint les deux points fixes F et F' {fig. UOS), pour axe des ;/ la perpendiculaire élevée surle.milieu de FF'. Appelons '2c la distance FF', qui est nécessairement moindre que 2o.

M étant un point du lieu cherché, x et y ses coordonnées, on a :

F'iM -*- F.M = 2 a

rTl2=J,2-t-(c-h2)2, ÎTl2 = J,2-(-(c-.r,3.

Retranchant membre à membre, il vient

PTl2— KÛ2=4CX,

et divisant par la première égalité

2 ex F'M— FM= — .

Nous connaissons actuellement la ssmineet la différence des deux raj"ons vecteurs, donc

T'il = a+—, FM=a — — ■

Portant cette valeur de FM dans la première relation, il vient, réductions faites,

a- — c2 est une quantité positive que l'on peut désigner par i^, et alors on a :

flîy2 4-62j;2 = a5P. (1)

C'est Téquaiiou de l'ellipse dont a eti sont les deux demiaxes.

On voit que l'ellipse est une ligne courbe du second degré. C'est aussi une des trois secliofis coniques; on l'obtient en coupant un cûne à base circulaire p.-.r nn plan qui rencontre toutes les génératrices du cône. Vna ellipse peut également être considérée comme 1* /.)-o;>elion d'un cercle. Chacune de ces diverses manières d'obtenir l'ellipse peut servir à la discuter et à en reconnaître les propriétés.

L'ellipse est symétrique par rapport à ses axes, mais elle possède aussi une infinité de systèmes de diamèhes conjugués obliques, tels que si on les prend pour axes des coordonnées, son équation conserve la forme

Chacun dcces diamètres divise en denx parties égales les cordes parallèles à l'autre. Lesdiamètres conjugués jo tissent d'un grand nombre de propriétés ; nous nous bornerons à citer les suivantes qui sont dues à Apollonius : La somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est égale à la somme des carrés des axes; te parallélogramme formé sur deux diamètres conjugues est équivalent au rectangle des axes.

On appelle cordes supilémenlatrc^dcs cordes UN, US, (^(/. S) Kl) qui, partant des extrémités d'un dianièlre II ir, se rencontreutcn un point Nde l'ellipse. Menons par leccniro un diamètre CC parallèleà UN. Son cinijiigué IID' devra diviser IIN en deux parties égales; passant par le milieu de UN et le milieu de UU', il est parallèle à U'IS. Ou

ÉLO