MT

dy''

La différentielle d’une fonction composée est la somme des différentielles calculées, en considérant successivement comme variable chacune des lettres dont elle dépend, et toutes les autres comme constantes. Ainsi, par exemple, la différentielle d’une somme de quantités est la somme des différentielles de ces quantités.

Différentielles successives. — De même qu’on peut prendre les dérivées successives y', d’une fonction

yz=f(x); on peut aussi prendre la différentielle d’une diflérentielle. On l’appelle la différentielle seconde ; celleci donne une différentielle troisième, et ainsi de suite. De sorte que chacune des variables possède une suite de différentielles, qu’on écrit comme il suit :

dx d^x d^x

dy d^y d^y

Il existe des relations faciles à apercevoir entre les différentielles et les dérivées du môme ordre. Ces dernières sont les quotients des différentielles du môme ordre de la fonction et de la môme puissance de la différentielle de la variable; on a donc :

dy d^y d^y

etc.

Fonctions de plusieurs variables indépendantes. — Lorsqu’une fonction dépend de deux ou plusieurs variables indépendantes, on en peut calculer la différentielle par rapport à chacune de ces variables, toutes les autres étant traitées comme des constantes ; on les appelle les différentielles partielles de la fonction. Quant à la différentielle totale de la fonction, elle est, par définition, la somme de ses différentielles partielles. La différentielle totale d’une fonction u — f{xyz...) sera donc :

du du

du = -Jx + -^dy + ...

Maintenant que nous savons calculer les diflérentielles des diverses fonctions, nous allons indiquer rapidement l’usage que Ton en peut faire.

De la méthode infinitésimale. — L’emploi du calcul différentiel, dans les questions d’analyse ou de géométrie, peut être présenté de diverses manières. Celle qui conduit le plus rapidement aux résultats est la méthode infinitésimale, qui contient comme cas particulier celle qu’on désigne sons le même nom en géométrie élémentaire, et où l’on considère une courbe comme un polygone formé d’un nombre infini de côtés infiniment petits.

Rapportons la courbe y = f{x) {fg. 393) à des axes rectangulaires, et prenons sur cette courbe deux points M et m infiniment voisins; l’arc qui les joint pourra être confondu avec une droite qui n’est autre chose que la tangente MM'. Si Ton mène MQ parallèle à Oat, MmQ est le triangle différentiel ou infinitésimal, dans lequel

MQ = PP' = da; et mQ^ — dy.

Appelons s Taxe compté sur la courbe à partir d’un certain point fixe. Mm sera l’accroissement infiniment petit de 5, c’est-à-dire sa différentielle ds. On a donc

Toutes les questions relatives à la tangente ou à la normale peuvent être résolues à l’aide de ce triangle. Ainsi le coefficient angulaire de la tangente, ou la tangente trigonométrique de l’angle MTæ est égal à tang twMQ = 1^. Celui de la normale est —

En le comparant au triangle MPN, on a de môme

ds dy