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■ AjIIq -f- - AjjUo i

Ainsi le sixième terme de la série qui a été prise pour j exemple est égal à

JTs

4° Réciproquement , on peut exprimer une différence ji d’un ordre quelconque au moyen des nombres proposés « sans passer par les différences intermédiaires. En effet, ! l’expression, facile à trouver, des différences seconde et | troisième au moyen de ces nombres et une induction légi- i time conduisent encore à une loi générale représentée ! par la formule suivante :

«jw — 1)., n(n — l)(w-2),^

... =b Uo

le dernier terme ayant le signe -+ si « est pair, le si- j gne — si w est impair. Ainsi, étant donnés les six nom- : bres 1, 9, 21, 43, 72, 120 et w = 4, on trouve

AlUq — 72 — 4 » 3 “1“ — — • 21 ~ • 9 *4“ ^ — ““ ^

trouvé plus haut par un calcul de proche en proche.

5“ Imaginons maintenant deux grandeurs variables y ; et X, liées entre elles de telle sorte que, pour les valeurs successives de la variable indépendante x

la variable dépendante y prenne les valeurs

Vq Vi 2/2 ... Vn

y est ce que l’on appelle une fonction de x. Le calcul des différences de la fonction y a pour objet de former ces différences au moyen des différences de la variable x. Or, la première formule est de la forme

(1) = 2/0 + • • • + Vo

La seconde est de la forme.

1" Pour former ce tableau, on retranche chaque nombre de celui qui est placé au-dessous de lui et on écrit la diflérence à droite du premier. La première colonne verticale renferme les nombres; la seconde, les différences premières Ai;la troisième, les différences secondes A2, etc. Dans chaque colonne, il y a une différence de moins, jusqu’à la dernière qui ne renferme qu’une différence cinquième.

2“ Réciproquement, si l’on donne le premier nombre 1 et ses cinq différences successives 8, 4, 6 — 9, 24, c’està-dire la première ligne horizontale, on peut refaire le tableau et retrouver les autres nombres 9, 21,43, 72, 120, en remarquant que chaque nombre du tableau s’obtient en faisant la somme du nombre qui est placé au-dessus de lui et du nombre qui est à la droite de celui-ci.

3® On fait ainsi le calcul de proche en proche ; mais il est possible de retrouver un de ces nombres proposés au moyen du premier et de ses différences, sans avoir besoin de former tous les nombres intermédiaires. Car 9 égale le premier nombre 1 augmenté de sa différence première 8 ; 21 est une somme composée du premier nombre 1 de deux fois la différence première 8 et de la différence seconde 4; le nombre 43 est une somme composée du premier nombre 1, de trois fois la diflérence première 8, de trois fois la différence seconde 4 et de la différence troisième G ; c’est-à-dire que les nombres qui muitiplient les différences sont précisément ceux qui entrent comme multiplicateur dans les différentes parties du carré et du cube d’une somme de deux nombres. Par une induction évidente, facile d’ailleurs à confirmer, on formera chaque nombre de la série absolument de la

(2) ...Anî/0 = 2/n - ^t/n-l + ' ^ ^ 2/n-2+-=*= 2/n

La supposition la plus simple que l’on puisse faire est que la variables croît par intervalles égaux, de sorte que, si h est la différence constante, les valeurs consécutives de X sont :

Si T expression dey est entière, c’est-à-dire ne renferme pas de dénominateur et est du degré m, la différence de Tordre m de cette fonction entière est un nombre constant qui ne dépend que du premier terme. En désignant par A le coefficient du premier terme, cette différence est égale à l.2.3...(m — l).m.A.A°* et toutes les différences des ordres suivants sont milles. Si A = l, h—\, la différence de l’ordre m se réduit à 1. 2. 3 m. Si h est

suffisamment petit, les différences décroissent très-rapidement.

Applications. — 1° La propriété précédente permet d’obtenir par de simples additions , toutes les valeurs d’une fonction entière pour des valeurs équidistantes de la variable, quand on a calculé directement un nombre de ces valeurs égal au degré de la fonction. C’est ainsi qu’on peut former rapidement des tables des puissances des nombres entiers consécutifs. Soit, par exemple, à calculer la suite des cubes des nombres entiers ; dans ce cas y = x^; puisque le degré delà fonction est trois, on calcule rapidement trois valeurs de y, c’est-à-dire trois cubes ^ consécutifs seulement, et, pour plus de simplicité, on I prend ceux des nombres 0, 1 , 2 qui sont 0, 1 , 8 ; on en dé-

DIF

DIF

duit les deux différences premières 1 et 7, puis, de ces deux différences, la différence deuxième 6. Quant à la différence troisième^ elle est constante et égale à 1.2.3. c’est-à-dire 6.

Par additions successives de ce dernier nombre, on forme la suite des différences deuxièmes, puis, avec cellesci, toujours par addition, on obtient la suite des différences premières, et enfin avec ces dernières la suite des cubes demandés.