F'M — FM

Nous connaissons actuellement la somme et la différence des deux rayons vecteurs, donc

F'M = a-f— , FM=a — — • a a

Portant cette valeur de F'M dans la première relation, il vient, réductions faites,

a2 c2 est une quantité positive que l’on peut désigner par b"^, et alors on a :

C’est l’équation de l’ellipse dont a et ô sont les deux demiaxes.

On voit que l’ellipse est une ligne courbe du second degré. C’est aussi une des trois sections coniques ; on l’obtient en coupant un cône à base circulaire par un plan qui rencontre toutes les génératrices du cône. Une ellipse peut également être considérée comme la projection d'un cercle. Chacune de ces diverses manières d’obtenir l’ellipse peut servir à la discuter et à en reconnaître les propriétés.

L’ellipse est symétrique par rapport à ses axes, mais elle possède aussi une infinité de systèmes de diamètres conjugués obliques, tels que si on les prend pour axes des coordonnées, son équation conserve la forme

Chacun de ces diamètres divise en deux parties égales les cordes^ parallèles à 1 autre. Les diamètres conjugués jouissent d un grand nombre de propriétés ; nous nous bornerons à citer les suivantes qui sont dues à Apollonius ; La somme des carres de deux diamètres conjugués quelconques est égale a la somme des carrés des axes; le parallélogramme formé sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle des axes.

On appelle cordes supplémentaires éiQS cordes HN, H'N, {fig. 9 1 0) qui, partant des extrémités d’un diamètre HH', se rencontrent en un point N de l’ellip.se. Menons par le centre un diamètre CG' parallèle à HN. Son conjugué DD' devra diviser HN en deux parties égales; passant par le milieu de HN et le milieu de HH', il est parallèle à H'N. Ou

Pig. 906. — Ellipse.

ÊLO