partie déterminée de l’unité, ainsi | représente 9 fois la
le partie de l’unité, j, 7 fois le tiers de l’unité, etc. Ordinairement un nombre supérieur à l’unité, exprimé de cette façon, s’appelle nombre fractionnaire.
Toutes les propriétés essentielles des fractions ou des nombres fractionnaires se déduisent de la manière même de les exprimer. Ainsi, par exemple, il est évident que si on multiplie le numérateur d’une fraction par un certain nombre entier n, on obtient une fraction n fois plus grande; de même, si on multiplie le dénominateur par le nombre n, on obtient une fraction n fois plus petite. De là résulte que si l’on multiplie simultanément les deux termes d’une fraction par le même nombre, on ne change pas la valeur de cette fraction. Il y a donc une infinité de manières d’exprimer dans la numération fractionnelle une même quantité. Ainsi les quantités
l-, IJ, etc., sont égales entre elles. Il peut être
utile, quand on a une expression fractionnaire dont les termes sont considérables, de lui substituer une fraction plus simple qui ait la môme valeur. Il suffit pour cela de diviser les deux termes successivement, et autant de fois que cela est possible, par 2,3, 5..., etc. Lorsqu’il n’existe plus aucun nombre qui puisse diviser à la fois le numérateur et le dénominateur d’une fraction, celle-ci est dite
irréductible ; ieWe?, sont les fractions y, g, etc.
Lorsque deux fractions irréductibles sont égales elles ont nécessairement le même numérateur et le même déi nominal eur.
] Réduction au même dénominateur. — En profitant de I la propriété précédente^ on peut facilement réduire diverses fractions à avoir le môme dénominateur, chose souvent fort utile; il suffit pour cela de imiltiplier les deux termes de chacune d’elles par un nombre convenable. Ainsi les fractions sont respectivement
égales aux fractions |J, que l’on obtient en
multipliant les deux termes de chacune d’elles par les nombres 20, t5, 12 et 30.
Addition et soustraction des fractions. — Pour ajouter dos fractions entre elles ou pour les retrancher l’une de l’autre, il suffit évidemment de les réduire au même dénominateur, et de faire ensuite l’addition ou la soustraction des numérateurs. Ainsi, par exemple,
De môme
Multiplication et division des fractions. — Pour multiplier une fraction par une fraction, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Ainsi
Quand on a un grand nombre de fractions à multiplier les unes par les autres, il peut arriver que le même nombre se trouve une ou plusieurs fois au numérateur et au dénominateur; on peut alors le supprimer le môme nombre de fois dans les deux termes. Ainsi :
-X-XgXrXg — ^^gX3X7X5~7
La manière dont s’effectue la division dos fractions est indiquée au mot Dn ision.
FR A
FR A
Le mode de numération fractionnelle permet de se rendre compte des propriétés suivantes, qui sont souvent utiles.
I. Si Von ajoute un même nombre aux deux termes d'une fraction, on en augmente la valeur; cette valeur d iminuerait si Von retranchait un même nombre des deux
termes. Si l’on considère, en effet, la fraction elle dif-
fère de Tunité de En ajoutant .2 aux deux termeSj,on a 7 . 9
qui diffère de l’unité de ^ , quantité plus petite que
ÿ est donc plus grand que ce qui démontre la dou-
ble propriété énoncée. Il est à remarquer que si la fraction était plus grande que Tunité, ce serait le résultat
inverse que l’on obtiendrait. Ainsi g est plus grand
que
