II. Si l'on a plusieurs fractions r, ^... , etc
en
faisant la somme des numérateurs et divisant par la somme des dénominateurs , la fraction ainsi obtenue
a une valeur intermédiaire entre la plus
grande et la plus petite des fractions données. Ainsi, par exemple, si l’on considère les fractions décroissantes
2> 3, -^7 la fraction -j^, obtenue comme il vient d’être
dit, est plus petite que ^ et plus grande que La dé
monstration générale de cette propriété se fait d’ailleurs comme il suit :
Soit I la plus grande des fractions; en désignant sa
valeur propre par la lettre m, nous aurons évidemment Il s relations suivantes :
D’où on déduit
a =■ mb, a' <[ mb', a" < mb"
et, par suite,
a + a* -1- ...^ < rn{b + b' + b'^ ...]
OU, ce qui revient au même,
U “P -j— Cl'^ -p ...
L’expression considérée est donc plus petite que la plus grande des fractions données. On démontrerait tout à fait de même qu’elle est plus grande que la plus petite.
FRACTIOîNS coNTiixuES (Algèbre). — On désigne sous ce nom des expressions de la forme
d -P etc.
dans lesquelles «, b, c,.., sont des nombres entiers et positifs, que l’on appelle les quotients incomplets. Si
l’on prend successivement les expressions a, a -f- ^tj— et qu’on .les rédujse en fractions ordinaires,
on obtient les réduites successives. Or, ces réduites jouissent de la propriété d’être alternativement plus grandes et plus petites que la valeur de la fraction continue, et de s’en rapprocher de plus en plus. Non -seulement chaque réduite est plus rapprochée qu’aucune des réduites précédentes, mais encore plus que toute autre fraction qui aurait un* dénominateur moindre que celui de cette réduite. De là l’usage que l’on fait des fractions continues pour exprimer approximativement, en termes simples, le rapport de deux nombres donnés.
Indiquons comment on convertit une fraction ordinaire
^ en fraction continue. Il suffit d’opérer sur les deux
termes, comme si on en cherchait le plus grand commun diviseur. On arrive ainsi à un reste nul, et les quotients successifs sont les quotients incomplets de la fraction continue.
Exemple : soit le rapport ^ ’
10 ÜUÜ uoo
approchée par défaut du nombre tc. La fraction
qui est une valeur 31415927
10 (Ji'O 000
est approchée par excès ; on fera les calculs suivants :
Nous ne terminons pas l’opération, n’ayant besoin do considérer que les quotients communs qui sont 3, 7, 15, 1, et qui donnent la fraction continue
