f- etc

Cette partie, commune aux deux rapports, appartiendra évidemment au nombre intermédiaire tt. Or, si l’on forme les réduites successives

ÎÔ6

ïTi

on a des fractions alternativement plus petites et plus grandes que tt, et qui en fournissent des expressions approchées de plus en plus exactes. C’est d’abord le nombre

entier 3, puis le rapport d’Archimède qui, réduit en

décimvales, donne 3,142, et n’est en erreur que d’une unité en plus sur les millièmes. Le rapport suivant n’est pas usité; mais le dernier, presque aussi simple, est beaucoup plus exact : il équivaut à 3,1415029, qui n’est en erreur que sur le septième chiffre, c’est le rapport de Métius.

Loi de foi'mation des réduites. — Les deux premières réduites se calculent directement; quant aux suivantes, on les obtient plus simplement à l’aide de la proposition suivante : chaque réduite se forme en multipliant les deux termes de la réduite précédente par le nouveau quotient, et en ajoutant respectivement à ces produits les deux termes de l’antépénultième.

Les fractions continues jouissent de beaucoup de propriétés curieuses. Lagrange en a fait la base d’une méthode pour la résolution des équations. Nous renverrons pour tous ces détails à V Algèbre d’Euler, au Traité de la résolution des équations numériques par Lagrange, aux Eléments d'algèbre de M. Lefébure de Fourcy, de M. Sonnet, etc. E. R.

Fractions décimales (Arithmétique). On appelle fraction décimale tout nombre qui représente une gran deur plus petite que l’unité, contenant un certain nombre de parties de l’unité divisée en parties de dix en dix fois plus petites; par exemple, sept dixièmes, trente-neuf centièmes, mille trente-deux dix millièmes, etc.; ces nombres s’écrivent : 0,7, 0,32, 0,1032, etc. (voir l’article Numération pour la numération des fractions décimales).

Quand une grandeur contient une ou plusieurs fois l’unité et un reste exprimé par une fraction décimale, le nombre qui la représente est appelé nombre décimal; on l’énonce à la façon des nombres fractionnaires ordinaires ; par exemple, on dit vingt-cinq unités, trente-deux centièmes, et on l’écrit 25,32.

Les fractions décimales peuvent être considérées comme des fractions ordinaires dont le numérateur est composé de l’ensemble des chiffres qui sont à droite de la virgule, et dont le dénominateur est égal à l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de chiffres décimaux, c’est-à-dire de chiffres à droite de la virgule. Ainsi la fraction décimale 0,45273 est équivalente à la fraction

ordinaire

lüOOüU

Il n’y a pas plus de difficulté à trouver un nombre fractionnaire ayant la forme d’une fraction ordinaire, et qui soit équivalent à un nombre décimal quelconque. Soit, par exemple, 4,2345, ce nombre est équivalent

à 4 uni'.és et ou à

lUOJO’

lüOOü

lOÜOO'

ou enfin à

iüOÜO*

FRk

FRA

La règle consiste donc tout simplement à prendre pour numérateur de la fraction cherchée le nombre décimal donné après avoir supprimé la virgule, et pour dénominateur de cette même fraction l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de chiffres après la virgule dans le nombre donné.

Les fractions décimales ne sont que des cas particuliers des nombres décimaux dans lesquels le nombre des entiers est réduit à zéro. Toutes les règles du calcul des nombres décimaux s’appliquent naturellement au calcul de ces fractions, et par conséquent tout ce que nous dirons désormais des nombres décimaux devra être également entendu des fractions décimales (1).

Une première remarque que nous ferons tout d’abord, c’est qu’un nombre décimal ne change pas quand on ajoute des zéros, soit à gauche de la partie entière, soit à droite de la partie décimale; cela est évident, puisque cela ne modifie en rien le nombre ni la grandeur des diverses unités décimales représen:ées par le nombre décimal. On peut donc aussi bien écrire 0,12 que 0,120, que 0,1200, etc.

Une seconde remarque est que si, dans un nombre décimal, on déplace la virgule d’un, de deux ou de trois rangs, etc., vers la droite ou vers la gauche, on obtient un nouveau nombre décimal qui est égal au premier, multiplié ou divisé par 10, 100, 1000. En effet, avancer la virgule d’un rang vers la droite, c’est faire des unités avec les dixièmes précédents, et ainsi de suite, élever d’un ordre les unités de tous les ordres ; et, de môme, avancer la virgule d’un rang vers la gauche, c’est transformer les unités en dixièmes, les dixièmes en centièmes, etc., c’està-dire abaisser d’un ordre les unités représentées par chaque chiffre.

De là résultent d’une manière évidente les règles de la multiplication ou de la division d’un nombre décimal par une puissance quelconque de 10.

Nous allons maintenant dire en quelques mots comment se font les opérations de calcul des nombres décimaux.

Addition des nombres décimaux. — L’addition des nombres décimaux se fait comme celle des nombres entiers. On écrit les nombres décimaux les uns au dessous des autres, en ayant soin de placer dans une môme colonne verticale les chiffres représentant des unités de même ordre, puis on fait la somme des chiffres placés dans une môme colonne, en commençant par la colonne qui est le plus à droite, pour passer ensuite à celle qui est immédiatement à gauche, et ainsi de suite. Soit à additionner les nombres suivants : 45,003, 23,19, 4,5234, 3,G, on écrira ;

Soustraction des nombres décimaux. — Pour soustraire un nombre décimal d’un autre, on retranche successivement les unités de chaque ordre contenues dans le premier nombre, des unités correspondantes contenues dans le second, comme on fait pour les nombres entiers, et lorsque le chiffre à retrancher est trop fort, on ajoute une dizaine au nombre supérieur et on en tient compte dans la soustraction qui suit. Soit à retrancher 25,43G de 38,047, on a :

Multiplication des nombres décimaux. — La règle pour la multiplication de deux nombres décimaux l’un par l’autre est la suivante :

On multiplie les deux facteurs comme si la virgule n’existait pas, et dans le produit ainsi trouvé, on sépare sur la droite autant de chiffres décimaux qu’il s’en trouve à la fois dans le multiplicande et le multiplicateur.

La raison de cette règle est bien simple. Supposons d’abord que le multiplicateur soit un nombre entier, on obtient au produit des unités de môme ordre que celles qu’on avait au multiplicande, et, par conséquent, il doit y avoir au produit le môme nombre déchiffrés décimaux qu’au multiplicande. Soit à multiplier 2,325 par 39, il

(1) Les nombres entiers peuvent être regardés comme des nombres décimaux dont la partie décimale est nulle.

est clair qu’en répétarit 39 fois le nombre de millièmes représenté par le multiplicande, on aura encore des millièmes.

Supposons maintenant que le multiplicateur soit 0,0039, le produit devra représenter 39 fois la dix-millième partie du multiplicande; c’est-à-dire que pour avoir un multiplicateur entier, il suffit d’avancer la virgule d’autant de rangs vers la gauche dans le multiplicande qu’il y a de chiffres décimaux dans le multiplicateur. Il revient au même de faire le produit comme si les deux nombres étaient entiers et de prendre au produit autant de chillVcs décimaux qu’il y en a dans les deux facteurs proposés.

Soit à multiplier2,325par 0,0039, le produites! 0,0090G75.

Division des nombres décimaux. — Examinons d’abord le cas où le diviseur est un nombre entier; il est clair qu’on pourra faire la division comme si le dividende représentait un nombre entier, à la condition de mettre au quotient autant de chiffres décimaux qu’il y en avait au dividende. Car en prenant la 25® partie d’un nombre tel que 46,375 ou 46375 millièmes, on trouvera un nombre 1855 de millièmes, qu’on peut écrire 1,855. De là résulte la règle suivante :

Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on effectue la division comme si le dividende était entier, et on a soin, lorsqu’on a abaissé le chiffi e des unités du dividende, de mettre une virgule à la droite du chiffre du quotient qui correspond au dividende partiel ainsi formé. On dispose l’opération comme ci- contre ;

Il peut arriver que la division ne se termine pas lorsqu’on a abaissé tous les chiffres du dividende; alors on a obtenu un quotient qu’on dit approché à moins d’une unité de l’ordre de celles exprimées par le dernier chiffre du dividende; en effet, si l’on augmentait d’une unité le dernier chiffre du quotient trouvé^, chiffre qui représente précisément des unités de cet ordre, on aurait un quotient trop fort.

On pourrait, de môme, se proposer de trouver un quotient décimal plus approché, par exemple, tel que si on lui ajoutait un cent-millième, on eût un nombre trop fort. Rien ne sera plus facile que d’y parvenir ; car si on réduit le dividende en cent millièmes, par l’addition d’un nombre convenable de zéros, il n’y a plus qu’à effectuer l’opération comme précédemment, c’est-à-dire à pousser la division jusqu’à ce qu’on ait écrit au quotient le chiffre des cent-millièmes. Dans la pratique, au lieu d’ajouter d’abord les zéros au dividende pour les abaisser ensuite successivement dans le courant de l’opération, on se contente de les ajouter à mesure qu’il eii est besoin pour la formation des dividendes partiels. Soit à diviser 35,2 par 17, le quotient sera :

2 à moins d’une unité,

2 à moins d’un dixième,

2 ,07 à moins d’un centième,

2,070 à moins d’un millième,

2,0703 à moins d’un dix-millième, etc.

Supposons maintenant que le diviseur soit aussi un nombre décimal. On peut multiplier le dividende et le diviseur par un môme nombre sans changer le quotient; profitons-en pour rendre le diviseur entier : multiplions pour cela le dividende et le diviseur par une puissance de 10 d’ordre marqué par le nombre des chiffres décimaux du diviseur; cela revient à effacer ia virgule au diviseur et à la reculer dans le dividende d’autant de rangs vers la droite qu’il y a de chiffres décimaux au diviseur. Nous sommes alors ramenés au cas précédent, et on peut formuler ainsi la règle générale de la division de deux nombres décimaux quelconques :

On supprime la virgule du diviseur et on avance la virgule dans le dividende d’autant de rangs vers la droite qu’il y a de chiffres di'-cimaux au diviseur; on est ainsramené à la division d’un nombre décimal par un nombre entier.

FRA

Soit, par exemple, à trouver à un millième près le quotient de 0,347 par 0,25.

On trouve 1 ,388 pour ce quotient, à un millième près.

Voir, pour les opérations relatives à l’extraction des racines, l’article spécial Racines.

Approximations numériques. — Les nombres décimaux qu’on emploie dans les calculs n’étant souvent qu’approchés, les résultats des calculs faits avec la plus grande précision à l’aide de ces nombres seront néanmoins toujours entachés d’une erreur qui dépend des erreurs faites sur chacun des nombres employés. Or il arrive fréquemment que cette erreur du résultat est d’un ordre de grandeur bien supérieur à ceux des unités qui représentent les derniers chiffres calculés. 11 était donc inutile de calculer ces derniers, puisqu’il faut les négliger à la fin si l’on ne veut pas prétendre à une exactitude illusoire. Par exemple, dans un produit de deux nombres comme 4225,41 et 25345,649, qui sont supposés approchés chacun à moins d’une unité de l’ordre de celles qui sont représentées par leur dernier chiffre, il serait inutile et môme il serait maladroit de chercher le produit en cent -millièmes qu’on obtiendrait en multipliant entre eux ces deux nombres. En effet, l’erreur qui résulte au produit des erreurs faites sur les deux facteurs peut porter sur les centaines du produit.

De même, soit à diviser un nombre approché par un autre nombre également approché; il est évident que quelque loin qu’on pousse la division, on n’aura jamais le résultat exact; il est donc important de ne calculer que les chiffres du quotient dont l’exactitude est certaine.

Le calcul de la partie exacte d’un produit ou d’un quotient approchés peut souvent se faire à l’aide de méthodes abrégées qui introduisent, il est vrai, de nouvelles erreurs, mais des erreurs qu’on connaît et qu’on peut atténuer de manière qu’ajoutées aux erreurs précédentes elles ne dépassent pas l’erreur qu’on peut se permettre au produit.

Nous allons indiquer ees méthodes et traiter avec quelque détail la question du calcul des nombres décimaux approchés.

Deux questions se présentent dans le calcul des nombres décimaux approchés : la première, de savoir sur quelle approximation on peut compter au résultat lorsqu’on sait l’approximation des données ; la seconde, de déterminer l’approximation avec laquelle on doit prendre les données pour trouver au résultat une approximation déterminée.

Disons d’abord qu’il est évident que ce qui constitue la grandeur de l’approximation obtenue dans un calcul, c’est le rapport de l’erreur commise sur le résultat à la grandeur du résultat lui-même. En effet, il est clair que si on se trompe de 1 mètre sur une longueur de 100 mètres, l’approximation obtenue est la même que si on se trompe de 0“,01 sur 1 mètre. Ce rapport de l’erreur au résultat véritable est ce qu’on appelle V erreur relative.

Pour qu’un calcul soit bien fait, il faut donc que l’erreur relative du résultat soit très-petite.

L’erreur relative faite sur un nombre approché a une relation très-simple avec le nombre de chiffres exacts de ce nombre.

1" Lorsque l’erreur absolue faite sur un nombre est moindre qu’une unité de l’ordre du m® chiffre à partir du chiffre significatif K des plus hautes unités, l’erreur re-

lative qui en résulte est moindre que — ^ ^ et même

moindre que

En effet, soit un nombre tel que 0,0345 approché à moins d’un dix-millième ; l’erreur relative est plus petite que le quotient de 0,0001 par 0,0345 ou, ce qui revient au môme, que le quotient de 1 par 345. Cette erreur re-

lative est donc plus petite que ^ et a fortiori plus petite que

2® Si l’erreur relative d’un nombre dont le premier

chiffre significatif est K est moindre que

nombre ne sera pas fautif d’une unité de l’ordre du w® chiffre.

En effet, soit un nombre 5437,3 approché de manière

que l’erreur relative soit moindre que -jfpi d est évident que l’erreur absolue est plus petite que l’unité et, par suite, qu’une unité de l’ordre de celles que représente le quatrième chiffre.

Hemarque. — Si le nombre 5i37,3 était le résultat d’un calcul, résultat par défaut, avec une erreur relative

moindre que on ne pourrait pas prendre 6437 pour

le résultat approché à moins d’une unité; car à l’erreur précédente, qui était plus petite que l’unité, si l’on ajoute une erreur nouvelle de 0,3, il peut se faire que l’erreur totale dépasse l’unité. Alors on augmente d’une unité le nombre 5438, et on est certain d’avoir le nombre approché à moins d’une unité, seulement le sens de l’approximation n’est plus connu. Appliquons ces considérations aux quatre règles de l’arithmétique, en supposant que tous les nombres donnés soient approchés dans le môme sens, par défaut, par exemple.

Addition des nombres approchés. — On démontre aisément que l’erreur relative d’une somme de nombres approchés est moindre que la plus grande des erreurs relatives des termes qui la composent. Observons, toutefois, que l’application de ce principe ne peut guère être utile que lorsque les nombres à ajouter sont à peu près de même grandeur, sans quoi elle serait souvent beaucoup trop élevée. En effet, un terme d’une valeur trèspetite peut avoir une erreur relative très-grande, sans que son erreur absolue influe sensiblement sur l’erreur relative de la somme.

Quand on veut avoir dans la somme une erreur relative donnée, la meilleure règle à suivre est de prendre les divers nombres à ajouter avec une môme erreur absolue, de sorte que la somme de ces erreurs absolues ne donne pas pour la somme une erreur relative égale à la limite qu’on s’est proposée.

Soustraction des nombres approchés. — Quand on veut calculer approximativement la différence de deux nombres, on prend l’un par excès, l’autre par défaut, de façon qu’on a encore une approximation dont le sens est déterminé.

Multiplication des nombres approchés. — L’erreur relative d’un produit approché par défaut est moindre que la somme des erreurs relatives des facteurs de ce produit.

En effet, soient deux nombres a et 6 dont les valeurs approchées par défaut sont : a — a, 6 — p, le produit sera approché par défaut et l’erreur absolue sera ab — [a — a) (6 — P) ou op + éa — a^, quantité qui est plus petite que a^-j-ôa. Il faut, pour avoir l’erreur relative, diviser cette erreur absolue par le produit véritable «6, ce qui montre

que l’erreur relative est moindre que — ou que

I -j- c’est-à-dire que la somme des erreurs relatives des deux facteurs.

Si l’un des facteurs seul est approché, l’erreur relative est évidemment égale à celle du facteur unique dont la valeur est approchée. Si les deux facteurs sont approchés tous les deux de manière à avoir chacun m chiffres exacts, on pourra compter au produit sur m — 2 chiffres exacts. En effet, l’erreur relative du produit sera moindre que

et, par suite, que

Il suffit d’évaluer plus exactement la limite de l’erreur relative du produit pour reconnaître qu’on peut compter sur(m — 1) chiffres exacts au produit, toutes les fois que les premiers chiffres p et p' des deux facteurs sont au moins égaux à l’unité, et encore lorsque, l’un d’eux seulement étant égal à l’unité, l’autre est tel que le premier chiffre à gauche du produit ne dépasse pas 4.

Réciproquement, on peut se demander avec quelle approximation il faut prendre les facteurs d’un produit, lorsque l’on veut qu’il y ait m chiffres exacts au produit.

Soit n le nombre de ces facteurs; il est évident qu’il suffira que l’erreur relative de chaque facteur soit plus

petite que la n® partie de ou mieux moindre que la

n® partie de i si P premier chiffre à

gauche du produit.

C’est maintenant le lieu d’indiquer le procédé de la multiplication abrégée. Soit à effectuer le produit de 425,649346 par 53,3476293 à un cent-millième de sa valeur, c’est-à-dire avec six chiffres exacts.

Le produit ayant cinq chiffres avant la virgule devra être approché à moins d’un dixième près. Pour avoir un

FRA

cliiffre des dixièmes exact, il faudra calculer chaque produit partiel à moins d’un centième près, et voici pour cela comment on disposera l'opération : on placera le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des millièmes, le chiffre des dizaines sous le chiffre des dix-millièmes, le chiffre des dixièmes sous le chiffre des centièmes, etc., en renversant tout le multiplicateur. De celte façon, chaque chiffre du multiplicateur multipliant le chiffre du multiplicande placé au-dessus fournit un produit de centièmes. On multiplie successivement par chaque chiffre du multiplicateur le nombre qui est formé par la partie du multiplicande placée à gauche et terminée au chiffre correspondant au chiffre du multiplicateur employé. On s’arrête au dernier chiffre du multiplicateur qui a son correspondant dans le multiplicande. Enfin on additionne tous ces produits et on trouve 22707,363 à moins d’un dixième par défaut.

Voici le tableau de l’opération :

Il est facile de calculer une limite supérieure ae l’erreur absolue commise en opérant ainsi ; en effet, en né gligeant pour former chaque produit partiel un ou plusieurs chiffres à la droite du multiplicande, on a fait une erreur moindre qu’un nombre de millièmes marqué par le chiffre qui a servi de multiplicateur. Le premier produit partiel est donc approché par défaut à moins de 5 millièmes, le second à moins de 3 millièmes, etc. Une autre cause d’erreur provient de ce que tous les chiffres du multiplicaleur ne servent pas. Par exemple, nous avons négligé de multiplier le multiplicande par 93 centièmes de l’unité de l’ordre marqué par le dernier chiffre du multiplicateur employé; l’erreur que nous avons ainsi faite est moindre que si nous avions négligé une unité du dernier ordre employé au multiplicateur et que le multiplicande fût remplacé par un nouveau nombre ayant pour premier chiffre le chiffre actuel augmenté d’une unité et dont tous les autres chiffres fussent des zéros. Dans ce cas, l’erreur serait ici 5 millièmes; celle que nous avons faite est donc moindre que 5 millièmes. En définitive, l’erreur totale est moindre que 0,001 (6 — 3 — 3 — (— 4 — 1— 7 -4~ 6 — f- ^ "1” 4 — F 1 ) ou que 0,035.

Si on ne conserve dans le nombre que les six premiers chilïres, on fera une nouvelle erreur de 0,063. La somme des erreurs sera moindre qu’un dixième par défaut. Dans un autre cas particulier, il pourrait arriver que cette somme fût plus grande que l’unité ; alors on augmenterait d’une unité le dernier chiffre trouvé, et le produit ainsi obtenu ne serait pas en erreur d’un dixième. Seulement on ne connaîtrait plus immédiatement le sens de l’approximation.

Tant que le nombre des produits partiels ne dépassera pas 10, la somme des chiffres du multiplicateur et du premier chiffre du multiplicande plus 1 sera au plus égale à9XiO-f9-f-l ou 100. Par suite, l’erreur commise sur le produit non diminué de ses deux derniers cliiffres sera moindre qu’une unité de l’ordre marquant l’approximation demandée.

Voir de plus amples détails dans les traités d’arithmétique et surtout dans la Théorie générale des approximalions numériques de M. J. Vieille, 1854.

Division des nombres approchés. — Le quotient par défaut de deux nombres approchés s’obtient en divisant l’un d’eux approché par défaut par l’autre pris en excès.

L’erreur relative d’un quotient approché par défaut est moindre que la somme des erreurs relatives de ses deux termes.

En effet, appelons a — a, ^ + les deux valeurs approchées du dividende a et du diviseur 6, il est évident

que l’erreur absolue du quotient est ? — ou

f conséquent, elle est moindre que -

Cette fraction divisée par j sera donc une limite supé-

rieure de 1 erreur relative du quotient ; or, celte limite

à ‘ 6’ voul.ons prouver.

De là résulte que si le dividende et le diviseur sont donnés approximativement chacun avec m chiffres, on pourra toujours compter sur les m — 2 premiers chiffres du quotient. On peut môme souvent comiiter sur m — 1 chiffres au quotient; c’est lorsque les premiers chiffres du dividende et du diviseur sont chacun supérieurs à l’unité, ou bien lorsque, l’un d’eux ou tous les deux à la fois ayant pour valeur l'iinité, le premier chiffre du quotient ne dépassera pas 4.

Pour qu’on ait au quotient une approximation donnée, par exemple, pour qu’on puisse compter sur les m premiers chiffres, il suffît évidemment que les erreurs relatives du dividende et du diviseur soient chacune moindres

2j^, et, par suite, il suffira de prendre le dividende et le diviseur avec m-j-t chiffres, excepté quand l’un de ces nombres ayant pour premier chiffre l’unité, le premier chiffre du quotient dépasse 4 ; dans ce dernier cas, il faut prendre m+2 chiffres dans chaque nombre.

Dans une division où le dividende et le diviseur sont formés chacun d’un grand nombre de chiffres, il n’est pas nécessaire de les conserver tous jusqu’à la fin de l’opération si l’on n’a besoin que d’une approximation déterminée. C’est sur cette remarque qu’est fondé le procédé de la division abrégée.

Soit à diviser 11562734,28 par 16567,243 à moins de -^QQQQQ de sa valeur ; ici, pour avoir six chiffres exacts.

il nous suffira de prendre huit chiffres au dividende et huit chiffres au diviseur et de faire la division sans nous inquiéter des virgules, puisqu’il suffira d’en tenir compte à la fin. Si les deux nombres proposés sont approchés par défaut, augmentons d’une unité le dernier chiffre du diviseur, afin que le quotient soit approché par défaut, et prenons seulement les huit premiers chiffres du dividende.

Cherchons à la manière ordinaire les deux premiers chiff. es du quotient, en ajoutant au dividende les zéros nécessaires ; nous avons ainsi les deux premiers chiffres du quotient cherché; il nous en reste quatre à trouver qui sont justement les quatre premiers chiffres du quo-

tient ïë567243 ’ obtenir ces quatre chiffi-es, nous

n’avons pas besoin de tous les chiffres du diviseur ; les cinq premiers nous suffiraient, puisque le dividende est considéré comme exact; mais, afin que les erreurs qui s’ajouteront dans la suite du calcul ne donnent pas une somme trop forte, nous en prendrons sept, en ayant soin de forcer le dernier d’une unité. De cette manière, le quotient sera encore approché par défaut, et l’erreur sera moindre qu’une unité inférieure de deux ordres à celle du sixième chiffre. La division de 13133633 par 1656725 donne pour quotient 7 avec un reste 527568 sur lequel on raisonne comme sur le précédent, ce qui conduit à supprimer le dernier chiffre du diviseur précédent, en augmentant d’une unité l’avant-dernier chiffre. La nouvelle erreur qui provient de cette modification est encore moindre qu’une unité inférieure de deux ordres à l’unité du sixième chiffre du quotient. On continue ainsi jusqu’à ce qu’on ait obtenu tous les chiffres du quotient; on en cherche môme un de plus de la môme manière, afin d’évaluer l’erreur provenant de cequ’on néglige le dernier reste.

Voici le tableau de l’opération ;

Le quotient de cette division est

7 66 milUonième*