DIVISION ARITHMÉTIQUE
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(120) i liane arilhineticam, illam barmonicam appellavere dispositionem, nain lermini proporlionum, qui il.ini l'or ma m quiiilx et quarts, cujusmodi sunt 6. 1. 5. posili sunt in proporiioiiaùiate harmonica; médius eniin terminus dividit exlremos morios convenienie chordis ejus ordine prorsus iialurali dispa-
MOD
toi ré sol sol ut sol
On voit par ce tableau que, dans les sept octaves, il y en a une, la deuxième, qui ne peut être divisée harmoniquement. En effet, de si à fa nous avons une quinte, que l'on appelle diminuée ou fausse, qui raccourcit d'un demi-ton l'intervalle de quinte. On ne peut donc rendre juste cette quinte, qu'en élevant le fa d'un demi-ton au moyen du dièze, ce qui ne saurait avoir lieu sans sortir de l'ordre diatonique.
On voit également que dans ces sept octaves, il y en a une, la sixième, qui ne peut être divisée arithmétiquement. En effet, de fa h si nous avons une quarte superflue ou augmentée, qui excède d'un demi-ton l'intervalle de quarte. Nous ne pouvons pas davantage rendre juste cette quarte en baissant le si d'un demi-ton au moyen du bémol , sans violer les lois de l'ordre diatonique.
Ainsi ces sept octaves, moins une, peuvent être divisées harmoniquement, et, moins une, arithmétiquement .
Ainsi, suivant que la division est harmonique ou arithmétique , en d'autres termes, suivant qu'elle s'opère par quinte ou par quarte, elle donne naissance à douze modes, parmi lesquels six sont authentiques ou générateurs ou impairs, et six sont plagaux ou dérivés ou pairs.
Appliquons les principes ci-dessus exposés aux modes du plain-chant.
Le premier mode est ré, la, ré. Ici l'octave est divisée harmoniquement ; la quinte est en bas et la quarte eu haut. Opérons maintenant par un nouvel arrangement de ces trois notes , un renversement tel que la quinte se trouvera placée en haut et la quarte en bas, suivant la division arithmétique: il s'ensuivra que ce renversement même aura fait produire au mode authentique ré, la, ré, son plagal ou dérivé la, ré, la, sans toutefois que la tonique ou corde finale soit changée, bien que l'octave ne soit plus la même. lié sera la fondamentale des premier et deuxième modes.
Même observation pour le troisième mode authentique, mi, si, mi, qui, par son renversement si, mi, si, engendre son plagal, en portant au bas la quarte qu'il avait en haut. Mi sera la fondamentale ou corde finale des troisième et quatrième mode, bien que leur octave ne soit pas la même.
Il est inutile do montrer l'enchaînement des trois modes authentiques suivants : fa, ut, fa, — sol, ré, sol, —la, mi. la, et des trois plagaux qui en dérivent ut, fa, ut, — ré, sol, ré, — et mt'i la, mi.
Arrivons au mode si, fa, si. Evidemment, il y a ici une lacune dans la série des modes
silis Altéra vero disposiiio cum lerminos suos 4. 3. 2. in arithmelica proportione ordinatos habeai, cordasqne suas non uni naturali ordine, quant accitlenlali di-pusiias habeal, certe mulio priori ignaviorein causauit consonanliam. > (KmCH., Mut, univers., t. I, lib. ni. cap, 17.)
MOD
DE l'LAIN-CllANT.
MOD
oulhcntiqucs, puisque l'oclave de si à si no peut être divisée fiannoniquement par la quinte juste, si, fa, ne produisant qu'une quinte vicieuse , et, comme nous l'avons dit, diminuée ou fausse.
La môme lacune se rencontre aux modes plagaux, puisque les notes si, fa, si ne peuvent pas davantage être renversées arithmétiquement par fa, si, fa, puisque la quarte fa, si forme un intervalle superflu ou augmenté (k2\).
Cependant si ces deux intervalles si et fa ne peuvent être divisés, l'un harmoniquement, et l'autre arithméiiquement, ils peuvent l'être, le premier arithméiiquement, et le second harmoniquement. Ainsi, si peut bien donner sa quarte si, mi, quoiqu'il no puisse pas donner sa quinte si, fa; et fa peut bien donner sa quinte fa, ut, quoiqu'il ne puisse pas donner sa quarte fa, si. Il en résulte que les sept octaves renferment chacune deux modes, un authentique et un plagal, à l'exception de l'octave de fa à fa, qui contient une authentique fa, ut, fa, mais pas de plagal, et de l'octave de si à si, qui contient un plagal si, mi, si, mais pas d'authentique. C'est pour cela que les divisions de ces octaves sont appelées par les symphoniastes bâtardes ou de mauvaise espèce.
Jusqu'ici nous avons trouvé cinq modes authentiques et cinq \ùoûqs plagaux ; le sixième mode authentique nous sera fourni pur les notes ut, sol, ut, qui, renversées de cette manière : sol, ut, sol, produisent le sixième plagal. Ut est la tonique ou corde finale de ces deux modes, bien que l'octave ne soit pas la même.
Un tableau des sept octaves divisées harmoniquement et arithméiiquement, suivant l'ordre des modes authentiques, achèvera de jeter la lumière sur ce que nous disons :
DIVISION IUUMO.NIQUE.
DIVISION ARITHMÉTIQl'i;.
moles .Mil h.
modes
Plag-
1 •' ré
la
ré
\" octave.
ie
sol
ré
2' mi
si
mi
mi
la
mi
