PARTIE LOGIQUE ET ENCYCLOPEDIQUE

teur. L'aire d'un trapèze sera égale à la hauteur multipliée par la largeur moyenne, c'est-à-dire par la demi-somme des bases. Si on élève au carré les trois côtés d'un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse sera égal à la somme des deux autres carrés : il suffit, pour le démontrer, de tirer quelques lignes.

Carré. — C'est un polygone à 4 angles droits et 4 côtés égaux. Sa surface a pour mesure son côté multiplié par lui-même ou élevé au carré. Le carré se décompose par sa diagonale en 2 triangles rectangles; en d'autres termes, sa diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle. 11 s'ensuit aussitôt que la diagonale du carré, élevée au carré, égale deux côtés du carré élevés au carré. Donc le carré de la diagonale est au côté élevé au carré comme deux est à un. Donc enfin la diagonale elle-même est à un côté quelconque du carré comme la racine carrée de 2 est à la racine carrée de 1 . Nous voyons ainsi que la diagonale du carré est incommensurable avec son côté. De môme le diamètre du cercle est incommensurable avec la circonférence, et le problème de la quadrature du cercle est insoluble.

Cercle. — Le cercle est un plan déterminé par une circonférence, c'est-à-dire par une courbe dont tous les points sont également distants d'un point intérieur appelé centre. Toute droite qui va du centre à la circonférence s'appelle rayon ; toute droite qui traverse le cercle en passant par le centre s'appelle diamètre. Toute portion de la courbe s'appelle arc ; la droite qui joint les deux extrémités de l'arc en est la corde. Toute droite qui coupe la circonférence en deux points est une sécante; si une droite n'a qu'un point commun ou de contact avec la circonférence, elle lui est tangente. La portion de cercle comprise entre un arc et sa corde est un segment ; celle qui est comprise entre deux rayons et un arc est un secteur. Il est facile de démontrer que la surface d'un cercle a pour mesure son périmètre ou sa circonférence multipliée par un demi-rayon ; car le cercle peut être assimilé à un polygone d'un nombre infini de côtés. On démontre également que la surface du cercle égale le rayon élevé au carré, multiplié par 3,1416, qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre. Ce rapport est incommensurable et le nombre 3,1416 n'est qu'une approximation. Archimède l'évaluait à 22 septièmes.

Volume. Solide. — En physique, on appelle volume l'espace occupé par un corps. En géométrie, on appelle solide tout corps qui réunit les trois dimensions : longueur, largeur, profondeur ou épaisseur. Parmi les solides, les uns sont terminés par des surfaces planes (prisme, cube, pyramide, en général tous les polyèdres) ; les autres sont terminés par des surfaces courbes (sphère, cylindre, cône).

Globe, sphère, etc. — Le globe ou la sphère nous apparaît comme le roi des solides. Sa forme irréprochable satisfait pleinement le regard ; on peut la développer ou la réduire, mais on ne saurait y ajouter ou en retrancher rien. En se réduisant, le globe devient une bulle gracieuse; en se développant, il devient ce qu'il y a de plus volumineux et de plus imposant dans la nature. La sphère, suivant qu'elle est pleine ou creuse, est le volume qui enferme le plus de masse dans le moins de superficie, ou qui offre le plus de superficie avec le moins de masse. Elle est imitée partout dans la création, et il n'est pas de corps qui ne semble désirer sa forme : le soleil et les planètes affectent la forme sphérique ; la terre n'est qu'un globe légèrement déprimé vers les pôles et renflé à l'équateur, et chaque jour elle abaisse ses montagnes, elle comble ses vallées; le caillou lui-même, roulé par le torrent, finit par s'arrondir. A cause de la régularité de sa forme, la sphère est employée sous le nom de

bille, de boule, dans un grand nombre de jeux. On la voit s'échapper de la main adroite et vigoureuse qui la balançait, traverser l'espace, tourner dans un sens ou dans un autre, sans rien perdre de sa belle apparence ; seulement son diamètre parait diminuer ou grandir selon les distances. Les autres volumes, tels que le disque, le cube, la pyramide et le cylindre, semblent se déformer par l'effet du mouvement et de la distance ; ils dissimulent leurs angles ou les accusent, changent d'inclinaison et de contour, déconcertent les yeux à tout instant, tandis que la sphère ne souffre aucune altération et ne trompe personne. Si elle tombe sur un plan, elle n'est point arrêtée par sa propre surface, mais, gardant une partie de ses forces, elle corrige sa direction et continue régulièrement sa course. Dans son mouvement sur le plan, le point central de la sphère ne quitte jamais la ligne droite, et la perpendiculaire qui mesure sa hauteur est invariable ; il n'y a pour lui ni chute, ni ascension, ni soubresaut, il marche invariablement sur les rayons qui l'avaient dominé et qu'il portera de nouveau à chaque tour.

A la sphère se rapportent deux formes remarquables : le cylindre et le cône. Le cylindre imite le rectangle et le cercle ; son volume a pour mesure la base multipliée par la hauteur ; sa surface latérale a pour mesure le périmètre de la base multiplié par la hauteur. Le volume du cône a pour mesure la base multipliée par le tiers de la hauteur ; sa surface a pour mesure le périmètre multiplié par le demi-côté. Et si le cône est tronqué, la surface latérale égale la longueur du côté multipliée par la demi-somme des circonférences des deux bases, etc. On arrive bientôt à cette conclusion : la surface de la sphère est égale à la circonférence multipliée par le diamètre. D'autre part, comme on peut assimiler la sphère à une infinité de cônes, de pyramides ou secteurs sphériques, le volume de la sphère est égal à la surface multipliée par un tiers du rayon. On sait que la surface du cercle égale la circonférence multipliée par un demi-rayon, c'est-àdire le quart du diamètre. Donc la surface de la sphère égale la surface de quatre grands cercles réunis ; et le volume de la sphère est égal au volume d'un cylindre qui aurait pour base un grand cercle de la sphère, et pour hauteur les deux tiers du diamètre. Si le cylindre avait pour hauteur un diamètre complet, son volume et sa surface seraient au volume et à la surface de la sphère comme trois est à deux. Donc le cylindre dont la base égale la hauteur partage avec la sphère le privilège de réunir le plus de masse sous le moins de superficie. Mais il faut s'arrêter, et nous n'avons bégayé que les premières lettres de la géométrie.

Lieu, multilocation. — Le lieu est un espace déterminé. Il peut donner occasion à une foule de problèmes de géométrie et de mathématiques. Par exemple les astronomes calculent la distance des astres, c'est-à-dire le lieu qu'ils occupent ; ils prédisent les éclipses, c'est-à-dire qu'ils calculent les positions respectives que devront occuper les astres à tel moment donné. Considéré au point de vue philosophique, le lieu est l'objet d'autres questions : par exemple, deux corps peuvent-ils occuper le même lieu ? Par contre, un même corps peut-il occuper plusieurs lieux simultanément ? Un corps peut-il agir à distance, comme le ferait un astre qui exercerait une attraction à travers un vide absolu ? Il est incontestable que le corps ne peut agir que là où il est ; s'il agit loin de lui, c'est par quelque intermédiaire. Entendue autrement, l'hypothèse de la gravitation universelle serait absurde. Mais le problème de l'absolue pénétrabilité des corps ou de la possibilité de leur multilocation n'est pas aussi facile à résoudre. Bornons-nous à dire qu'on ne voit pas pourquoi deux corps ne pourraient pas, absolument parlant, occuper un