PROJECTION

on puisse trouver le point corrcs|)ondanl sur le dessin, sur la carie, ou que, invei-semenl, de la ))ositiun d'un point de la carie on puisse déduire la longitude et la latitude du iKjint lie la sphère quil représente. Il est clair que le

f»roi)lème sera résolu, si l'on sait représenter sur la carte es méridiens et les parallèles de la sphère : le point d'intersection d'un méridien et d'un parallèle sera représenté par rfailcrseclion des lignes qui représentent le méridien et le parallèle. Le problème admet une inlinilé de solutions : nous signalerons quelques-unes des plus usitées : 1^ La P. orthographique est identique à la projection orthogonale, définie plu* haut ; chaque |X)int de la sphère est représenté (wr sa projection orthogonale sur un plan. Supposons, p. es., qu'on projette orthogonalemcnt un hémisphère sur léquateur : le ptMe de l'hémisphère se projettera au centre de l'équateur. les méridiens seront représentés par des rayons, les parallèles par des cercles concentriques ; la partie voisine du pôle sera représentée d'une façon claire, et qui rendra un com|)tc assez exact de la dis(K>silioii des parties, mais la partie voisine de l'équateur sera représentée d'une l'açon confuse ; des {wints qui sur la sphère sont éloignés, seront représentés en projection par des points très rapprochés.

— 2^ La P. stéréographique. très intéressante au (ïoint de vue géométrique, consiste à faire la ijcrepective d'un hémisphère sur le plan qui lui sert de Ijaso, en prenant le point de vue à l'extrémité du diamètre pcrj)endiculaire à ce plan qui se trouve dans l'autre hémisphère : chaque point de la sphère est encore représenté par sa perepective : dans ce système, tout cercle de la sphère est représenté par im cctcIc de la carte, sauf les grands cercles dont le plan [lassc par le point de vue, qui sont représentés par des portions de droite; deux courlx-s de la sphère se coupent sous le même angle que les courl)es de la carte qui les représente. Si 1 on considère une petite partie de la surface rf»phérique, que l'on puisse regarder comme plane, elle est représentée par une figure semblable. Mais d'une portion à une autre, le rapport de similitude varie; il est voisin de i pour les points de Ihémisplière rapprochés du boni, il est voisin de 4 pour les points rappi-ochés de l'extrémité du diamètre qui contient le |)oint de vue. La propriété de la P. stéréographiquc de conserver les angles est fondamentale au point de vue théorique : le problème de la carte consiste, en général, à représenter une surface sur un plan, en fai>ant corres|X)ndre chaque point de la surface à un point du plan, de manière que tleux courbes ili> la surface se cou))ent sous le même angle que les

lurljcs re])résentatives du plan ; il admet une infinité de

- vlutions que l'on sait d'ailleurs déduire toutes dt l'une 1 entre elles ( Voy. conkorme'. — 5" Dans la P. de Mercalor, 11* jwrallèlcs et les méridiens sont représentés respectivement i>ar des droites rectangulaires : elle offre cet avantage, apprécié dans la marine, que les loxodroniies terrestres, c.-à-d. les courl)cs terrestres qui coupent tous les méridiens sous un même angle, sont représentées sur la carte par des droites; elle peut être définie comme il suit : si l'on désigne par m et i» la longueur respective des arcs d'un cercle de rayon égal à un qui contiennent le même nombre de degrés, minutes et secondes que la longitude et la latitude d'un p<jint A de la sphère, ce point sera représenté par un point A' de la carte dont les coordonnées rectangulaires seront, en désignant par K une constante

quelconque, x=^Ku. i/ = Kloglgf 45-f- - j- On emploie

aussi des modes de projection qui substituent à chaque portion de la sphère une portion éq^uivalente du plan, et ce mode de représentation a donné heu à d'intéressantes recherches théoriques. Chacpie mode de représentation a des avantages et des inconvénients entre lesquels il convient de choisir.

Il nous reste à expliquer comment on procède dans la cartographie pratique.

En règle générale, jwur choisir la projection la plus appropriée à la région que l'on veut représenter, on trace grosso modo sur le globe un quadrilatère sphérique dont les côtés opposés sont égaux chacun à chacun et rapprochés autant que p<jssiblc du périmètre de la ligiu-e faisant l'objet principal de la carte à faire.

1" Si le quadrilatère se rapproche d'un carré, on fera bien de projeter chacpie point de la figure sphérique sur un plan tangent à la sphère au milieu du quadrilatère. Chaque point M de la sphère sera représenté sur l'intersection du plan tangent et du plan perpendiculaire mené par le point U et le point de contact, à une distance du point de contact

I qui sera déterminée par certaines lois que nous expliquerons plus loin.

j 2° Si le quadrilatère est oblong et si l'arc passant en

j longueur |)ar son milieu approximatif est un are de grand

I cerele, on projettera la région sur la surface d'un cvlindre.

' tangent à la sphère le long de ce grand cercle. Chaque

point M de la région sphérique sera projeté sur la génera-

I trice du cylindre située dans le plan qui est perpendiculaire

au grand cercle de tangence et qui passe par le point M, à

une distance du cercle de tangence qui dépendra du mode

de projection. Nous en parlerons pins Ijas.

5° Enfin, si le quadrilatère est oblong et si l'arc passant par son milieu, en longueur, est un arc de petit cercle, on projettera la région sur la surface d'un cône tangent à la sphère le long du ixîtit cenle en question. Chaque point M sera projeté sur la génératrice du cône située dans le plan qui est perpendiculaire au plan du petit cercle de tangence et qui passe par le point M. Dans tous les cas. un arc de grand cercle passant pr le point de contact ou perpendiculaire à la ligne fondamentale est représenté, comme on l'a vu plus haut, par une droite passant par le point de contact ou perpendiculaire à la ligne fondamentale.

Les projections de la première catégorie sont dites zénithales lorsque le point central n'est ni au pôle ni sur l'éciuateur. Loi-squil est au pôle, la projection est dite polaire; lorsqu'il est sur l'équateur. méridienne.

Les projections de la deuxième catégorie s'appellent cylindriques : cvlindriques droites, lorsque le grand cercle de tangence est l équateur; cylindrique transverse, loi-sque c'est un méridien quelconque ; cylimlriqne oblique lorsque c'est un gi-and cerele autre que le méridien et l'équateur.

Les projections de la troisième catégorie portent le nom de coniques. Elles sont droites ou obliques suivant que le petit cerele de tangence est un cercle parallèle ou non.

La ligne de contact est dite ligne fondamentale. Enfin les cylindi-es ou cônes qui ont servi à faire la projection sont supposés devûlop|)és sur le plan de la carte. Nous avons dit plus haut que dans chaque catégorie de projections il reste à déterminer les distances de la ligne fondamentale ou du point de tangence à la projection du point de la sphère.

Lorsque, dans la première catégorie, les |)oints de la sphère sont représentes par leur perspective {Voy. ce mot) sur le plaH tangent, les projections sont lUles perspectives; ces dernières sont : orUiographique, lorsque le point de vue est à l'infini sur la perpendiculaire au plan tangent ; stéréographiquc, lorsque le |)oint de vue est sur la sphère à l'oppose du point de tangence ; centrale, quand il est au centre de la sphère. Lorsque la flislance au point de contact du point M' qui représente le point 11 est égale en longueur à l'arc de grand cercle qu'elle représente. la projection s'appelle équidislante; elle est équivalente loi-sque la distance est égale à la corde qui sous-tend l'arc de grand cercle.

Dans les projections cylindriques on distingue : la projection plate, lorsque là distance est égale en longueur à l'arc de grand cercle ; la projection isocylindrique, lorsque la distance est égale au sinus de l'arc ; la projection Mercator, qui n'est employée qu'avec le cylinch-e droit, c.-à-d. tangent à la sphère le long de l'équateur et qui a été définie |)lus haut.

Parmi les projections coniques, la seule presque employée dans la cartographie est celle pour laquelle les distances sont égales en longueur aux arcs.

Des projections éiiumérées ci-dessus, et notre liste est loin d'être complète, les seules employées dans la cartographie sont : la projection Mercator, la projection centrale, la projection conique avec un cône tangent le long d'uu jiarallèle, la projection isocylindrique (Voy. une très belle carte du double continent américain dans V Année Cartographique de 1892), les projections orthogi-aphique, stéréographique, équidislante et é<|uiva!eiile.

Un a dit plus haut que tout motle de représentation était défini si l'on définissait la représentation des méridiens et des parallèles. On peut représenter ces lignes dune façon tout arbitraire et employer ainsi des canevas conventionnels, c.-à-d. des lignes qui s'entre-croisent suivant telles ou telles règles et qiii simulent des méridiens et des parallèles de la sphère. Parmi ces canevas, les plus usités sont :

1" La projection globulaire, dont les méridiens et les parallèles sont des arcs de ceredc. Deux points en haut et en bas de la carte figurent les pôles. Vn cercle, dit ext/rieur, décrit sur la ligne des pôles comme diamètre, limite

SG

PROLEGOMENES