COMBINAISON — COMBLE

forme la quatrième et dernière classe de ces combinaisons. 11 n’y a pas de classe plus élevée de ces quatre lettres, car on ue peut combiner quatre objets cinq à cinq, six à six, etc.

Cette manière décrire les combinaisons sous forme de produits leur a fait donner par quelques mathématiciens le nom de produits différents, afin surtout de rappeler qu'on ne doit pas les confondre avec les permutations : dans celles-ci, on tient compte de l’ordre des éléments, de sorte que abc, acb, bac et bca, qui ne représentent qu’une seule combinaison forment quatre permutations distinctes. Mais comme des combinaisons différentes peuvent représenter des produits égaux, on dôit encore préférer à la dénomination que nous venons de rapporter celle de combinaison, adoptée par Jacques Bernoulli dans son Ars conjectandi.

Il est évident que le nombre des combinaisons de m lettres est pour la première classe égal à m. On démontre en algèbre que ce nombre est, pour la deuxième classe :

m(m— 1) à m(m—1)(m—2) D. pour la oo AMEN NT TATRNEÉ, et en

général pour la nième classe :

Ces nombres peuvent se calculer soit avec cette formule, soit à l’aide du triangle arithmétique de Pascal. Ils donnent les coeflicients du binome de Newton, car le théorème qui porte ce nom s’appuie sur la théorie des combinaisons. Cette théorie a beaucoup d’autres applications : on comprend qu’elle doit être d’un emploi presque continuel dans le calcul des probabilités. Pour n’en donner ici qu’un exemple, cherchons quelle est la probabilité &e la sortie d’un ambe à lalo terie. Le nombre de numéros étant

90, ily aura —— ou 4005 ambes possibles, de sorte que le

joueur a une chance pour lui, pendant que le banquier en à 4004. Pour le terne, on trouve que le nombre des chances Lt 90.89.88

1.2.3 Remarquons que le nombre des combinaisons de m let- . tres n à nest le même que celui des combinaisons de m lettres #2 — n à m—n. Si en effet, pour trouver le nornbre de ces dernières combinaisons, on change n en m—n dans la formule précédente, il vient :

LR eus res (m—n) ce qui est la même quantité sous une autre forme ; car en réduisant ces deux expressions au même dénominateur, on trouve le même numérateur. Cette remarque nous apprend que dans le développement du binome de Newton les termes à égale distance des extrêmes ont des coeflicients égaux. Souvent aussi elle abrége certains calculs : ainsi, si l’on avait à chercher le nombre des combinaisons de 25 lettres prises 22 à 22 , il serait bien préférable de calculer celui que

= … 25.24, donnent 23 lettres prises 3 à 3: on aurait —

PP NE F Re op et qui donne

le méme résultat, comme il vient d’être démontré.

Jusque ici nous n’avons parlé que des combinaisons où chaque terme ne renferme qu’une seule fois le même élément. Mais de même qu’il y a des permutations avec répétition, on comprend qu’il existe des combinaisons avec répétition. Trois lettres a, b, c, combinées avec répétition trois à trois donnent aa, aab, aac, abb, abc, acc, bbb, bec, bbe, cec. On peut même les combiner quatre à quatre, cinq à cinq, etc. Les combinaisons quatre à quatre, par exemple, sont aaaa, auab, aaac, aabb, aabc, etc. Nous ne nous étendrons pas sur la manière de former ces combinaisons, dont l'emploi est beaucoup moins fréquent ; nous

ou bien 117480.

, expres-

sion beaucoup plus simple que

dirons seulement que # lettres combinées avec répétition n à n donnent pour le nombre de leurs combinaisons :

E. MeRLIEUXx, COMBLE. Ce mot vient de culmen, que quelques étymologistes regardent comme synonyme ou tout au moins dérivé de culmus, qui en latin signifiait chaume, seul genre de couverture qui ait été connu aux premiers siècles de Rome, comme l'indique ce vers de Virgile :

Romuleoque recens horrebat regia culmo,

Les Latins se servaient du mot culmen pour désigner dans un édifice cette partie la plus élevée qui se termine en pointe, ce que nous exprimons en français par le mot faite, d'où nous avons fait le mot faftage. Les deux mots comble et faite désignent en général la construction (ordinairement en bois de charpente) dont se compose la partie supérieure et culminante du plus grand nombre des maisons’, palais et édifices de tout genre ; les mots couverture et toit s'appliquent plutôt à l’ensemble des matières qui recouvrent le comble ou faitage.

Il y a différentes espèces de combles ; les trois principales sont les combles simples, qui n’ont guère qu’une pente ou un égout, et qu'on nomme appentis; les combles à deux égouts et les combles en croupe. « On a fait, dit Quatremère de Quincy, plus d’une recherche pour établir une théorie pratique d’après laquelle on pût fixer les pentes des combles en raison de la température de chaque climat et de la manière dont ils doivent être couverts. 11 est généralement reconnu que dans les pays chauds il pleut moins souvent que dans les pays tempérés, mais on sait aussi que les pluies y sont plus abondantes. La quantité d’eau qui tombe à la fois et la température de l’air sont telles qu’il faut très-peu de pente à l'écoulement, et que les toits sont secs presque aussitôt que la pluie a cessé. Dans les pays tempérés, les pluies sont moins abondantes, mais plus fréquentes ; l'écoulement est moins rapide, et les toits, plus lents à sécher, demandent une plus grande pente. Dans les pays froids, les pluies sont plus fines, la température est plus humide , enfin les neiges qui séjournent longtemps sur les combles nécessitent une pente encore plus considérable que dans les pays tempérés. Il doit donc y avoir une proportion à observer pour la pente des combles, et cette proportion peut trouver une règle approximative dans les degrés de température de chaque climat. Cependant on remarque dans un même pays des édifices dont les toits sont fort élevés et d’autres qui sont fort surbaïssés. Il y a même des combles, et l'usage en fut jadis très-commun en France, où les deux extrêmes se trouvent réunis : tels sont ceux que l’on appelle à la mansarde, où la partie supérieure n’est inclinée que de 24 à 25 degrés, tandis que la partie inférieure l’est de 64 à 66, c’est-à-dire dans la mesure inverse de celle que la nature des choses aurait exigée. On doit observer encore que les combles destinés à être couverts en plomb, en zinc ou autre métal ont besoin d’une moindre pente, la couverture ne devant former qu’une seule pièce. Les tuiles creuses, les tuiles flamandes et les tuiles romaines ont besoin de plus de pente que le plomb, et les tuiles plates, ainsi que l’ardoise, en veulent plus que les tuiles creuses. »

Le mot comble se prend généralement, au figuré comme au propre, dans le sens de f'aîle, sommet, ou comme désignation d’une chose quelconque qui s’élève en faîte au-dessus d’une mesure donnée. Il s'emploie même adjectivement dans ce sens, et on le dit, par exemple, des mesures sèches, telles que le blé, le seigle, la farine, etc. De là, on dit figurément, en parlant des choses morales, que la mesure est comble, c'est-à-dire qu’il est impossible d’y rien ajouter. Mais plus communément le mot comble se prend au figuré pour lé dernier surcroît, le dernier point auquel une chose