ET LE PROBLÈME DE L’ESPACE

Quelle est l'origine des axiomes de la géométrie d'Euclide et sur quoi repose leur certitude apodictique ? Telle est, dans la solution du problème de l’espace, la question qui préoccupe surtout les mathématiciens. Le onzième axiome, dit des parallèles, a, dès l'antiquité, frappé les mathématiciens par son caractère particulier. « Pour la théorie des parallèles nous ne sommes pas plus avancés qu’Euclide. C’est la partie honteuse des mathématiques, qui tôt ou tard devra prendre un autre aspect », dit Gauss2. Le onzième axiome, ou,

1. Ueberweg est l'auteur de la célèbre Histoire de la Philosophie qui fait autorité jusqu'à nos jours. Depuis sa mort, cette histoire continue à être éditée par l'éminent philosophe Heintze. Considérablement développée, augmentée et tenue à jour par celui-ci, elle est devenue l’Histoire classique, dont les éditions nouvelles se succèdent avec régularité tous les trois ou quatre ans. Ueberweg a, en outre, publié un Traité de Logique , arrivé à trois éditions en quelques années, et qui, par l’amplitude et l’originalité instructive de ses développements, présente encore aujourd'hui un intérêt considérable.

2. C. F. Gauss. Werke, vol. VIII, Leipzig, 1900. ( Grundlagen der Géométrie) .

tel qu'on le désigne à présent, le cinquième postulat est formulé chez Euclide comme suit : « Si une ligne droite coupe deux autres lignes droites situées dans le même plan, en sorte qu’elle fasse des angles intérieurs du même côté, moindres que deux angles droits, ces deux lignes prolongées à l’infini se rencontreront du côté où les deux angles sont moindres que deux angles droits. » Comme on le voit, cette proposition fondamentale diffère des autres axiomes qu’Euclide a présentés avec raison comme « notions communes ». 11 a besoin, en apparence au moins, d’être démontré preuves à l’appui. Les tentatives faites pour trouver ces preuves ont abouti à la création de la géométrie imaginaire, ou géomé trie des formes d'espace non euclidiennes .

Nous présenterons ici un bref historique de la formation de cette géométrie, en tant qu’elle touche directement au problème de l’espace.

Le célèbre mathématicien Legendre essaya de prouver l’axiome des parallèles en démontrant l’exactitude absolue d’une proposition équivalente : la somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits. Il réussit en effet à prouver que cette somme ne peut être plus grande que deux angles droits. Par contre, ses efforts pour prouver qu’elle ne peut être plus petite échouèrent. Vers 1840, le grand mathématicien russe Lobatchewsky 1 tenta une autre méthode de démonstration. Développant un postulat opposé à cet axiome,

il chercha s’il ne se heurterait pas à des contradictions insur-

montables et s'il ne pourrait pas, par cette voie, démontrer la validité de l’axiome. Mais ses déductions synthétiques le conduisirent à ce résultat inattendu, qu’il n’existait pas de telles contradictions. En effet, on pouvait imaginer une forme d'espace où la somme des angles d’un triangle était plus petite que deux angles droits, où par conséquent l’axiome d’Euclide et les théorèmes auxquels il sert de base ne seraient

x. Lobatchewsky. Neue Anfangsgründe der Geometrie Bd. x.

plus valables. Presque à la même époque que Lobatchewsky, un capitaine d'artillerie hongrois, Johann Bolyai, guidé par son père, ami et ancien condisciple de Gauss, arrivait au même résultat. Ainsi fut créée la nouvelle géométrie imaginaire.

Dans la seconde moitié du siècle dernier, la géométrie non euclidienne prit un nouvel essor quand, en 1S54, Riemann eut démontré la possibilité d'une troisième forme d’espace, une forme sphérique, où l'axiome des parallèles d’Euclide est également inapplicable et où la somme des angles d'un triangle peut être plus grande que deux angles droits. Dans une variante de cette forme d’espace, le douzième axiome d'Euclide serait également inexact : deux droites y peuvent renfermer un espace, c'est-à-dire s’y croiser plusieurs fois. Riemann1 prit pour base de ses déductions une expression algébrique, la mesure de courbure (Kriimmungs m aass\ qui serait le fondement essentiel de toute géométrie ; c'est une expression par laquelle on donne la distance de deux points dans une direction quelconque, et en premier lieu de deux points à une distance infiniment petite l’un de l’autre. Riemann pose comme axiome que, dans tout espace où le libre mouvement de corps solides est possible, cette mesure de courbure a une valeur constante.

La forme d'espace de Riemann a surtout été étudiée par Helmholtz. Partant des trois propositions sur le libre mouvement des corps solides2, Helmholtz établit à l'aide de la géométrie analytique la grande portée de la mesure de courbure de Riemann. Helmholtz a également accepté comme axiome le postulat, posé par Riemann, que l'espace pouvait être considéré comme une grande multiplicité de nombres (. Zahlenmannigfaltig\eit ). Le résultat principal des raison-

1. B. Riemann. XJeber die Hypot/iesen, welche der Géométrie Grunde liegen. (Gesammelte Werke. Leipzig, 1876).

2. Helmholtz. XJeber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. (Yrortrage und Reden, vol. II, Braunschweig.)

nements analytiques de Helmholtz fut que les différences entre les 'diverses formes de l’espace se caractérisent par leur mesure de courbure ( Kn'immungsmaass ). Dans une conférence retentissante, faite à Heidelberg, en 1870, il sut attirer l’attention générale du monde savant sur la nouvelle géométrie.

Cette géométrie non euclidienne admet donc aujourd’hui comm q également possibles trois formes d’espace et les caractérise de la manière suivante : i° la forme euclidienne, où l'axiome des parallèles est exact, et où la somme des trois angles d’un triangle est égale à deux angles droits et la mesure de courbure est égale à spéro ; 20 l’espace de Lobatchewsky, où la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits; la mesure de courbure a un signe négatif ; 30 l’espace de Riemann-Helmholtz, où la somme des angles d’un triangle est plus grande que deux droits et où la mesure de courbure a un signe positif ; dans une variante de cette forme, deux droites pourraient aussi renfermer un espace. La forme d’espace d’Euclide est, selonRiemann, un espace-plan ; la forme de Lobatchewsky est désignée par Beltrami sous le nom de pseudo-sphérique, la forme de Riemann-Helmholtz est l’espace sphérique.

Nous allons examiner de plus près jusqu’à quel point les espaces 2 et 3 peuvent être considérés comme réellement existants. Pour rendre plus compréhensible au lecteur non initié la véritable portée des espaces non euclidiens, nous formulerons les propositions 2 et 3 en langage non mathématique. Pour montrer que dans un triangle la somme des angles peut être plus petite que deux angles droits, Lobatschewsky construit un triangle dont les côtés ne sont pas rectilignes, mais convexes, c’est-à-dire courbés à l’intérieur; c’est là la signification de la mesure de courbure négative. Helmholtz a comparé l'espace pseudo-sphérique, où pourraient se présenter des triangles pareils, à une selle turque. Dans un triangle, dont la somme des angles est plus grande que deux

De Cyon.

TEMPS ET ESPACE

angles droits, les côtés sont également supposés non rectilignes, mais concaves ou courbés à l'extérieur ; ce triangle répond aux mesures de courbure positive.

Pour justifier un pareil remplacement des lignes droites par des lignes courbes dans un triangle rectiligne, M. Poincaré a recours à l’argumentation suivante : « Donner aux côtés des premiers triangles (avec côtés rectilignes) le nom de droites, c'est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers (avec des côtés curvilignes) le nom de droites, c’est adopter la géométrie non euclidienne. De sorte que demander quelle géométrie convient-il d'adopter, c’est demander à quelle ligne convient-il de donner le nom de droite. » M. Poincaré ajoute qu’on est autant en droit de désigner une ligne courbe comme ligne droite que de la désigner par AB ou par CD. « Je ne puis dire non plus que je n'ai pas le droit de donner le nom de droites aux côtés des triangles non euclidiens, parce qu’ils ne sont pas conformes à l’idée de droite que je possède par intuition. » La question de l'existence de deux espaces non euclidiens est réduite ainsi à un simple jeu de mots. Depuis des milliers d'années, le concept d,e la ligne droite n'a pas varié, quelles que fussent les expressions dont on se servait pour la définir. Archimède la définit comme la ligne la plus courte entre deux points. Legendre désigne la droite comme le plus court chemin d’un point à un autre. Nous verrons plus bas (§ 5) que ces deux définitions concordent parfaitement avec la définition d'Euclide, et, ce qui est encore plus important, avec l'origine sensorielle du concept de la ligne droite. Il ne suffirait pas de désigner nos perceptions visuelles comme perceptions auditives pour que la rétine pût enfendre, et vice versa.

Pour être autorisé à conclure l'existence des espaces de n dimensions avec toutes les conséquences qu'elle comporte, les simples jeux de mots et les sophismes évidents ne suffisent pas.

LES BASES DE LA GEOMETRIE d’eUCLIDE 67

La création de la nouvelle géométrie paraissait devoir déplacer le problème de l’espace. Gauss, qui avait déjà entrevu la possibilité d'une géométrie indépendante du onzième axiome, avait même prédit qu’elle aurait pour conséquence la solution de ce problème, ou au moins qu’elle lui donnerait un aspect tout nouveau. Dans la partie de sa correspondance qui traite de la nécessité d’une géométrie non euclidienne, on trouve de nombreuses indications sur la manière dont cette solution devra s’opérer. Nous en reproduirons quelques-unes. Il écrit à Olbers (28 avril 1817) : « Je me persuade de plus en plus que la nécessité de notre géométrie ne peut être démontrée, du moins par l'espritd’un homme à l'esprit d’un homme. Peut-être dans la vie future comprendrons-nous ce qu'il nous est impossible de comprendre maintenant, la nature de l’espace. Jusque-là, nous devons comparer la géométrie à la mécanique et non à 1 arithmétique, qui est fondée sur des combinaisons a priori. »

Il résulte du passage en italiques que Gauss ne reconnaissait pas à la géométrie une origine aprioristique. Il s’en tenait plutôt à l’opinion que Newton formulait en ces termes : « Fundatur igitur geometria in praxi mechanica et nihil aliud quam mechanicae universalis pars ilia quae artem mensurandi accurate proponit ac demonstat. »

« Je ne sais pas si je vous ai déjà exposé mes idées à ce sujet », écrivait Gauss à Bessel, le 29 janvier 1829. « Ici aussi j’ai consolidé plusieurs points, et ma conviction s'est encore affermie qu’on ne pouvait absolument pas établir la géométrie sur des fondements æ priori. »

En plusieurs passages, Gauss se prononce carrément contre la doctrine de Kant, notamment dans sa lettre à Wolfgang de Bolyai (6 mars 1832). « ...L’impossibilité de décider # priori entre X et S prouve de la façon la plus claire que Kant avait tort d’affirmer que l’espace n’était qu'une forme de notre intuition. J’ai indiqué une autre raison non moins valable

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dans un petit travail publié par Gôttingische Gelehrtc Angel g en, 1831, ch. vi, p. 6 25. »

Lobatchewsky, à qui il fut donné de présenter la solution vers laquelle tendaient les recherches de Gauss, avait de la doctrine de Kant une opinion analogue. « La vérité n’est pas inhérente aux notions géométriques ; comme les lois physiques, elles doivent être confirmées pas l'expérience, par des observations astronomiques. »

« Dans la nature, dit encore Lobatchewsky, nous ne percevons, à proprement parler, que le mouvement, sans lequel les impressions des sens sont impossibles. Tous les autres concepts, par exemple les concepts géométriques, étant empruntés aux propriétés du mouvement, sont acquis par notre esprit artificiellement... Nos premières notions sont acquises par les sensations; on ne doit pas ajouter foi aux notions innées. »

En un mot, Lobatchewsky pense, comme Gauss, que les vérités géométriques sont déduites de l’expérience et qu’aucune certitude apodictique ne leur est propre.

Riemann se prononça d'une façon tout aussi nette en faveur de l’origine empirique de nos notions de l’espace. Il en voit la preuve dans ce fait « qu’une grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents rapports métriques et que l’espace n’est, par suite, qu’un cas particulier d’une grandeur à trois dimensions ». Il admet, par conséquent, que les axiomes ne peuvent aucunement se déduire des concepts généraux de grandeur, mais que les propriétés par lesquelles l’espace se distingue de toute autre grandeur imaginable à trois étendues ne peuvent être empruntés qu’à l’expérience.

Dans la conférence, déjà mentionnée, sur l’origine et la signification des axiomes géométriques, Helmholtz a eu recours à plusieurs reprises à la géométrie non euclidienne pour combattre l’origine a priori de nos notions de l’espace. « Dès lors que nous pouvons nous représenter différentes for-

mes de l'espace, dit-il, l’opinion qui veut que les axiomes géométriques soient les conséquences nécessaires d’une forme transcendentale et a priori de notre intuition, dans le sens kantien du mot, devient insoutenable. »

L’origine purement empirique de ces axiomes est donc prouvée, selon Helmholtz, de la façon la plus indubitable par la possibilité d’imaginer des espaces pseudo-sphériques et sphériques, où les axiomes d'Euclide ne seraient pas valables.

Ces opinions unanimes des créateurs de la géométrie imaginaire sont-elles réellement justifiées? Ont-ils vraiment réussi à réfuter l'origine a priori ou nativiste 1 de nos notions de l’espace et à en prouver l’origine empirique ? En d’autres termes, Gauss, Lobatchewsky, Riemann et Helmholtz ont-ils fourni une solution réellement satisfaisante du problème de l’espace dans le sens de la thèse empirique ? La réponse à ces questions est négative. Ni sur la réalité de l’espace absolu, ni sur la provenance de nos représentations de l’espace à trois dimensions, ni sur l'origine des axiomes d’Euclide, la géométrire non euclidienne n’a apporté d’éclaircissements décisifs.

Pour Gauss, l’espace est une réalité. Lobatchewsky prétend que l’espace en soi n'a pas d’existence réelle. Helmholtz, qui ne pouvait méconnaître l'origine purement transcendentale des formes non euclidiennes de l’espace, cherche néanmoins à leur conquérir l’équivalence avec la géométrie d’Euclide. Ce n’est que pour les axiomes de cette géométrie qu’il revendique encore une origine empirique. Malheureusement il s’est trouvé hors d’état de fournir des preuves expérimentales en faveur de cette origine empirique. Il a dû se contenter de l’indication que l'espace physique, c'est-àdire le seul accessible à nos sens, concorde parfaitement avec les données de la géométrie euclidienne.

Ainsi Helmholtz reconnaît « que tous les systèmes pra-

i. Ces deux hypothèses ne sont pas nécessairement identiques.

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tiques de mensuration géométrique, où les trois angles de grands triangles rectilignes ont été mesurés isolément, notamment tous les systèmes de mensurations astronomiques, qui donnent une valeur égale à zéro aux parallaxes des étoiles fixes éloignées,... confirment empiriquement l'axiome des parallèles et montrent que, dans notre espace et avec nos méthodes de mensuration, la mesure de courbure ne diffère pas de zéro ». En ceci Helmholtz est d’accord avec les affirmations de Lobatchewsky : « J'ai prouvé ailleurs, écrit ce dernier, en m’appuyant sur quelques observations astronomiques, que, dans un triangle dont les côtés sont de la même grandeur à peu près que la distance de la terre au soleil, la somme des angles ne peut jamais différer de celle de deux angles droits d une quantité qui puisse surpasser 0,0003 en secondes sexagésimales. Or, cette différence doit être d'autant moindre que les côtés du triangle sont plus petits. » Cette quantité minime ne dépasse d'ailleurs pas les limites des erreurs d’observation.

L'expérience nous confirme donc la validité absolue de l'axiome des parallèles d'Euclide dans l’espace du monde physique, seul accessible à nos sens. Comment alors la géométrie non euclidienne , qui s' affranchit de cet axiome , pourrait-elle nous démontrer /’ origine empirique de nos concepts de l'espace ?

D’ailleurs, sommes-nous vraiment en état de nous former une représentation nette de l’espace sphérique ou pseudosphérique, ou plutôt des perceptions que nous aurions si nous étions tout à coup placés dans un tel espace ? Les tableaux que nous fait Helmholtz de ces perceptions, et que Klein appelle avec raison « un mélange de vrai et de faux », ne constituent pas des preuves. Les « séries de sensations » qu'un monde sphérique ou pseudo-sphérique nous donnerait, s’il existait, sont déduites tout à fait arbitrairement. Elles sont aussi problématiques que l’existence même de ce monde. Ces déductions, obtenues par la méthode purement

LES BASES DE LA GEOMETRIE d’eUCLIDE 71

abstraite de l’analyse, n’étaient pas faites pour réfuter l'origine transcendentale des définitions et des axiomes de l'espace euclidien. Au contraire, elles pourraient plutôt servir aux Kantiens d’argument en faveur de la conception a priori ; car jusqu’à présent les formes d’espace de Riemann-Helmholtz n’admettent point de démonstrations par V expérience. Elles n’ont pas non plus une origine empirique .

D’autre part, les créateurs de la géométrie non euclidienne ont reconnu expressément l'impossibilité d’expliquer, au moyen de cette géométrie, les causes qui nous forcent à limiter à trois dimensions nos concepts de l’espace.

« 11 en est autrement des trois dimensions de l’espace. Tous les moyens dont disposent nos sens se rapportant à un espace à trois dimensions et, la quatrième dimension n’étant pas une simple variation de la réalité, mais quelque chose de tout à fait nouveau, nous nous trouvons, par notre organisation physique même , dans l’impossibilité absolue de nous représenter une quatrième dimension », reconnait Helmholtz.

Ainsi Helmholtz admet que l'espace à n dimensions de Riemann est inaccessible à la perception des sens, qu’il est, par conséquent, un simple produit de l’esprit et non de l’expérience. Gauss est du même avis. (Voir la lettre à Gerling, 1844, citée dans Ohrlahyrinth , p. 366.)

Récemment, l’éminent mathématicien M. Poincaré a, dans plusieurs études, exposé d’une façon détaillée les rapports de la géométrie non euclidienne avec le problème de l’espace M. Poincaré prend pour bases de ses considérations psychologiques sur les fondements de la géométrie, d’une part, les prétendues sensations de mouvements, surtout de mouvements oculaires ; d’autre part, les développements donnés aux recherches de Helmholtz par Sophus Lie dans le troisième volume de ses Groupes de transformations.

TEMPS ET ESPACE

Ce que M. Poincaré dit, au sujet des sensations musculaires, de l’impossibilité où nous serions d’avoir conscience du mouvement des corps solides, si notre œil et nos organes du toucher n’étaient pas mobiles, de la non existence des sensations de direction, etc., — tout cela est en contradiction flagrante avec les données physiologiques les mieux établies1. Sa psychologie de l'espace, en tant qu’elle repose sur le mouvement des corps solides, se rapporte en réalité à l 'espace visuel et non à Y espace réel. Elle se trouve déjà réfutée par le fait que des aveugles-nés possèdent des notions d’espace assez complètes. (Voir plus haut, § 2.) Les lois des déplacements des corps solides dans l’espace visuel ne peuvent nous renseigner que sur les distances et nullement nous donner des notions sur l’espace réel. Elles peuvent encore moins nous imposer le concept d’un espace à trois dimensions.

Nous venons de voir plus haut que, dès 1850, Ueberweg déduisait de l’analyse des mouvements l’homogénéité, la continuité et l’infinité de l'espace d'Euclide. Les études de Sophus Lie sur les groupes de transformations ont déduit avec bien plus d’ampleur les mêmes propriétés également pour les formes de l’espace non euclidien.

Mais, malgré leur valeur au point de vue des mathématiques pures, les travaux de Sophus Lie n’ont réussi à établir ni les bases naturelles des axiomes d'Euclide, ni l’origine de notre concept d’un espace à trois dimensions. M. Poincaré le reconnaît nettement : « La notion de ces corps idéaux (les figures géométriques), dit-il, est tirée de toutes pièces de notre esprit, et l’expérience n'est qu'une occasion qui nous engage à l'en faire sortir. >✓ M. Poincaré se prononce tout aussi catégoriquement dans le sens de la conception kantienne au cours d’une étude plus récente : « Geometry is not an experimental science : expérience forms merely the

1. Le senr musculaire n’existe pas. Le grand physiologiste £. H. Weber l’a démontré déjà en 1852. Voir plus haut, § 2, et p. 49.

occasion for our reflecting upon the geometrical ideas, wich pre-exist in us1 ».

A cette occasion, M. Poincaré déclare qu’il est à ce sujet en accord complet avec Helmholtz et Lie : « I differ from them in one point only, but probably the différence is in the mode of expression only and at bottom we are completely in accord. » En réalité, les différences entre Helmholtz, Lie et M. Poincaré sont considérables. Helmholtz. quoique l'un des principaux protagonistes de la géométrie non euclidienne, était trop physiologiste et trop physicien pour verser dans la métaphysique, qu’il considérait comme aussi funeste à la philosophie que l’astrologie le fut à l’astronomie. Llelmholtz admettait la réalité des objets dans l'espace et /’ existence d'un espace absolu. Nous venons de citer son avis sur l’impossibilité de nous représenter un espace à quatre dimensions.

Tout autre est la manière devoir de M. Poincaré. Mathématicien illustre, il est resté personnellement étranger aux recherches expérimentales. Pour lui, l’analyse supérieure est en première ligne un jeu avec des équations, destiné plutôt à procurer aux mathématiciens des jouissances esthétiques, qu’à élucider les lois du monde physique, seul accessible à nos sens. Dans ses ouvrages destinés au grand public, comme la Science et /’ Hypothèse, la Valeur de la Science , et Science et Méthode , c’est en métaphysicien pur qu'il porte des jugements sur les plus grandes conquêtes de l’esprit humain pendant ces derniers siècles. « L’espace absolu, dit-il, c’est-à-dire le repère auquel il faudrait rapporter la terre pour savoir si réellement elle tourne, n’a aucune existence objective. Dès lors, cette affirmation « la terre tourne» n'a aucun sens, parce qu’aucune expérience ne permettra de la vérifier. S’il n’y a pas d’espace, peut-on tourner sans tourner par rapport à quelque chose ? » ( La Science et 1 Hy-

x. H. Poincaré. Revue de Métaphysique et de morale, etc., 1895 ; et The Monist, § 2, 1898.

pothèse.) Dans La Valeur de la Science (p. 272), M. Poincaré revient sur ce sujet et se prononce exactement dans le

même sens.

M. Poincaré est donc en opposition complète avec tous les autres non euclidiens, avec Helmholtz et Sophus Lie, comme avec Gauss et Riemann. Les lois de la gravitation, qui constituent les bases de l'astronomie et de la physique moderne, M Poincaré les met en doute. La révolution produite par Copernic, Galilée et Newton dans nos connaissances du monde physique est pour lui sans portée sérieuse. La brillante démonstration de la validité des lois de Newton par la découverte de Neptune faite par Leverrier « au bout de sa plume » (Arago), ce plus grand triomphe des sciences mathématiques au xixe siècle, ne prouverait rien en faveur de la réalité de l’espace ; M. Poincaré lui oppose l’impossibilité d'une confirmation expérimentale et dédaigne ainsi l'expérience célèbre de Foucault. Les groupes des déplacements de Sophus Lie, auxquels M. Poincaré a recours pour ses déductions d’un espace à quatre dimensions, ont leur origine dans les recherches de l’empiriste Ueberweg, qui fut le véritable précurseur de Helmholtz et de Sophus Lie dans cette voie. Leurs études sur les déplacements avaient une raison d’être parce qu’ils admettaient tous les deux l’existence d’un espace réel à trois dimensions. En effet, l’existence d’un espace réel est une condition préalable et absolue pour que les déplacements des corps solides y soient possibles. La représentation d’un espace à trois dimensions doit nous être familière pour que nous puissions y étudier les déplacements.

« L’espace euclidien n'est pas une forme imposée à notre sensibilité, puisque nous pouvons imaginer l’espace non euclidien », écrit M. Poincaré [La Valeur de la Science , p. 65). Le mot imaginer signifie-t-il « nous représenter»? Or, nous pouvons très bien nous représenter un espace à trois dimensions, mais nullement un à quatre, et cela juste-

LES BASES DE LA GEOMETRIE d’eUCLIDE 7=j

ment parce que cette représentation de l'espace euclidien est «imposée à notre sensibilité », ou, pour employer le langage précis de la physiologie des sens, nous est imposée par les perceptions des trois directions des ondes sonores qui, grâce aux fonctions des trois paires de canaux semi-circulaires, nous donnent la représentation des trois coordonnées de Descartes.

Si « imaginer» veut dire que nous pouvons discuter à l’aide de l’analyse ou d'une dialectique métaphysique plus ou moins sophistiquée, l’existence d’une quatrième dimension, aucune analogie n’est admissible entre les deux géométries. La réalité de la géométrie euclidienne est confirmée par toutes les expériences depuis plus de deux mille ans, tandis que la géométrie non euclidienne a été désignée par ses fondateurs eux-mêmes comme une géométrie imaginaire , — c’est-à-dire ne reposant sur rien de réel. Pour prouver, à l’aide du groupe des déplacements, la possibilité d’imaginer une quatrième dimension, M. Poincaré a recours au sens musculaire qui nous donnerait « nos sensations étendues » (p. 129). Or ce sens musculaire n’existe pas (voir § 2 et ch. 11, § 5), pas plus d’ailleurs que les sensations tendues. Ces sensations musculaires, purement imaginaires, M. Poincaré les groupe en séries « classées en trois classes correspondant aux trois dimensions de l’espace»... « Si je veux imaginer une quatrième dimension, dit-il, je supposerai une autre série de sensations musculaires, faisant partie d’une quatrième classe. » Ce raisonnement revient simplement à la création d’une géométrie imaginaire à l’aide d’une physiologie tout à fait fantaisiste.

Dans l’ouvrage auquel sont empruntées les citations précédentes, M. Poincaré traite de la géométrie qualitative. Cette nouvelle géométrie, créée par Riemann, Cremona et Bait, et baptisée du nom d’ Analysis situs, fait abstraction de toute idée quantitative. « Les théorèmes de Y Analysis situs ont donc ceci de particulier qu’ils resteraient vrais si les

figures étaient copiées par un dessinateur malhabile, qui altérerait grossièrement toutes les proportions et remplacerait les droites par des lignes plus ou moins sinueuses... » « Les mêmes questions qui se posaient à propos des vérités delà géométrie euclidienne, se posent de nouveau à propos des théorèmes de Y Analysis situs. Peuvent ils être obtenus par un raisonnement déductif? Sont-ce des conventions déguisées? Sont-ce des vérités expérimentales? Sont-ils les caractères d'une forme imposée soit à notre sensibilité, soit à notre entendement ? Je veux simplement observer que les deux dernières solutions s’excluent, ce dont tout le monde ne s’est pas toujours bien rendu compte. Nous ne pouvons pas admettre à la fois qu’il est impossible d’imaginer l’espace à quatre dimensions et que l’expérience nous démontre que l’espace a trois dimensions. »

Il serait plus juste de dire : « Nous ne voulons pas admettre », puisque depuis des milliers d’années des milliers d’expériences l’ont démontré. Et pourquoi M. Poincaré ne veut-il pas l’admettre ? « L’expérimentateur pose à la nature une interrogation : est-ce ceci ou cela ? et il ne peut la poser sans imaginer les deux termes de l’alternative. S’il était impossible de s’imaginer l’un de ces termes, il serait inutile et d’ailleurs impossible de consulter l’expérience l. » Il ne s’agit, comme l’on voit, que de purs sophismes ou plutôt de simples jeux des mots. Comme la représentation de l’espace euclidien, celle de la géométrie qualitative nous est possible. M. Poincaré reconnait même que « le théorème le plus important de Y Analysis situs est celui que l’on exprime en disant que l’espace a trois dimensions. En effet, comme la géométrie de Thalès, la géométrie qualitative repose entièrement sur les perceptions des’sensations de direction , c’està-dire sur les fonctions du sens géométrique du système des canaux semi-circulaires. Le sens arithmétique du

i. H. Poincaré. La Valeur de la Science, chap. ni, pp. 67-69.

limaçon, qui, grâce à la perception des hauteurs des sons, nous fournit la connaissance des nombres, n’y participe nullement.

« Rarement une année se passe sans qu’un essai paraisse destiné à combler cette lacune (quant à l'origine des axiomes euclidiens), mais nous devons reconnaître franchement que nous n'en sommes pas beaucoup plus avancés qu’Euclide il y a 2000 ans. Un tel aveu, franc et loyal, nous paraît plus digne de la science que les vains efforts pour cacher, par un tissu éphémère de démonstrations factices, une lacune que nous sommes hors d'état de combler ! » Ainsi parlait Gauss en 1 8 1 6 . Malgré la création de la géométrie non euclidienne, ces paroles ont gardé toute leur valeur par rapport au problème de l'espace, — jusqu’à la découverte des organes de sens généraux pour la perception des trois directions, découverte qui nous a permis d’établir l’origine physiologique des définitions et des axiomes d’Euclide.

§. 5 — L’origine physiologique des définitions