ET DES AXIOMES D’EUCLIDE
Lorsqu’on suit au cours des siècles les efforts réitérés des mathématiciens pour prouver les axiomes d’Euclide, et plus particulièrement le onzième, on constate que la notion de direction est le « Leitmotiv » de la plupart des solutions proposées. Jusqu'au milieu du xixe siècle, mathématiciens et philosophes se sont servis de cette notion, en apparence si claire, pour formuler leurs théories les plus satisfaisantes. Même plusieurs promoteurs de la géométrie non euclidienne espéraient encore baser sur la direction l’axiome des parallèles. Dans ses premiers essais géométriques, Lobatchewsky définissait les parallèles, comme on l’avait fait avant lui, « les lignes de même direction ». Dans les passages de l’œuvre posthume et de la correspondance de Gauss où il
TEMPS ET ESPACE
est question des premiers fondements de la géométrie, l’auteur a souvent recours à la direction quand il cherche l'origine de l'axiome des parallèles. Dans les célèbres articles de la Quarte rly Review , par lesquels sir John Herschel pritune part décisive à la polémique entre Stuart Mill et Whewell, nous lisons : « La seule notion claire que nous possédons de la ligne droite est l'uniformité de la direction ; car l'espace, en dernière analyse, n'est qu'une quantité de distances et de directions L »
Le philosophe Ueberweg, après avoir tenté, dans son travail déjà cité, de déduire analytiquement, des mouvements des corps solides, les principales formes géométriques, passe enfin à une construction synthétique de la géométrie, où il prend comme base la notion de la direction qu'il cherche à définir. Une très remarquable tentative de résoudre le problème de l’espace à l’aide des sensations de direction fut encore celle de Riehl. Malheureusement, Riehl voulut expliquer les sensations de direction par de problématiques sensations de mouvement, et cela fit échouer sa tentative. En 1890, Heymans reprit l'idée de Riehl, qu’il essaya de développer d'une façon des plus intéressantes. Mais nos travaux des années 1876-1878, sur l'existence d’un organe spécial qui nous fournit les sensations de direction, étaient inconnus à Heymans. Réduit aux seules sensations de mouvement, il ne pouvait réussir mieux que son devancier.
Si, à l’aide de la notion de direction, on ne pouvait aboutir à aucune solution décisive, cela tenait à la difficulté de donner une définition satisfaisante de la direction. En reconnaissant l’importance capitale de la direction, les mathématiciens s'attachaient surtout à la définir. Gauss cherchait en vain à réagir contre cette tendance, et le passage suivant montre qu'il avait très justement pressenti l’origine physiologique de la notion de direction :
