Voir Ohrlabyrinth , ch. 1, introduction

ments? En d’autres termes, un homme qui n’a jamais accompli de mouvements pourrait-il se représenter des objets situés à une certaine distance l’un de l’autre ? » Ainsi formulées, ces deux questions contiennent in ovo toutes les solutions que donnent au problème les adeptes modernes de la théorie empirique, tant philosophes et mathématiciens que physiologistes, à cette différence près que les physiologistes admettent pour la plupart laréalité de X espace absolu.

Kant fit faire un grand pas au problème en formulant sa célèbre théorie aprioristique de l’idée de l’espace. 11 la conçut à une époque déjà avancée de sa carrière. Kant admettait au début l'existence d'un espace absolu, tout à fait indépendant de la matière. Dans son ouvrage paru en 1768, Raisons premières de la différenciation des objets dans l'espace , il regardait même l’existence de l'espace objectif comme une condition préalable nécessaire à l’existence de la matière. Mais déjà en 1770 il formula une doctrine tout opposée, qui trouva son expression définitive dans la Critique de la raison pure (1781). Cette doctrine domina pendant un siècle tout le problème ; nous la reproduisons telle que Kant la formula :

« i° L’espace n’est pas une notion empirique tirée d’expériences extérieures. Pour que je puisse avoir la sensation de quelque chose se trouvant en dehors de moi (c’est-à-dire dans un autre endroit que celui où je me trouve moimême), comme aussi pour que je puisse me présenter plusieurs objets à côté les uns des autres, autrement dit occupant des endroits différents, il faut que les représentations de l’espace soient déjà au fond de mes concepts. »

« 20 L’espace est une représentation a priori , qui est au fond de toutes les notions extérieures. On ne peut pas se figurer qu'il n’y a point d’objets dans l’espace. L’espace n'est pasun concept général de relations entre objets, mais une pure idée. »

TEMPS ET ESPACE

Comme argument principal en faveur de l'apriorisme de notre idée de l'espace, Kant présente Y apodicitcité des axiomes géométriques qui passent pour absolument exacts, bien que cette exactitude n'ait jamais pu être démontrée. « Les propositions géométriques sont apodictiques, c'est-àdire qu’on a conscience de leur nécessité. Ainsi : l'espace n’a que trois dimensions; mais de telles propositions ne peuvent être empiriques, ni tirées de l'expérience. »

La doctrine de Kant présentait l’avantage apparent de résoudre le problème de l’espace. Mais on lui reprochait de n’être qu’une hypothèse, un postulat dont il faudrait démontrer l'exactitude et qui d'ailleurs n'expliquait rien.

Un postulat peut être d’une grande utilité au philosophe ou au mathématicien pour des déductions et des développements ultérieurs. Le naturaliste, qui s’efforce d’expliquer le mécanisme des phénomènes, doit réclamer des preuves du bien fondé de ce postulat. Aussi recherchera-t-il avant tout l'origine et les causes organiques de l'idée a priori.

La solution philosophique opposée à celle de Kant a été développée systématiquement ausiècle dernier par J. Stuart Mill. Mill conteste avec raison que les sciences mathématiques aient une certitude plus grande que les sciences expérimentales. Les théories aux développements purement mathématiquesont dû être confirméespar l'expérience avant de pouvoir prétendre à la certitude L

D'après Mill, les définitions géométriques n'ont qu'une exactitude relative. Les axiomes sont, il est vrai, admis par tous, mais n’en est-il pas de même pour beaucoup de vérités des sciences expérimentales ? Les définitions ne sont que des généralisations de certaines perceptions d’objets extérieurs: le point est le minimum visible; la ligne, à dimension

i. L'identité des ondes électriques avec les ondes lumineuses ne fut définitivement établie que par les expériences géniales de Hertz. La théorie électro-dynamique de Maxwell, basée uniquement sur des déductions mathématiques, n'a fait qu’indiquer la possibilité d'une pareille identité.

unique, est l’abstraction d’un trait à la craie ou d'un fil tendu; le cercle complet est la reproduction de la coupe transversale d’un arbre. Les définitions géométriques ne peuvent donc prétendre qu’à une valeur approximative.

On reconnaît aisément ce qu'il y a de risqué dans une pareille argumentation, Les définitions de la géométrie d’Euclide se rapportent à un point idéal sans étendue, à une ligne qui est une longueur sans largeur, à une droite idéale qui peut être prolongée à l’infini, etc. Les points, les lignes, les droites, etc., réels , sur lesquels se font nos expériences, ne possèdent pas ces propriétés. Comment, alors, de ces expériences grossières aurait-on pu tirer des conclusions idéalisées, conduisant à des axiomes absolument exacts ? Pour échapper à l’objection, Stuart Mill a recours à l’association d'idées entre des représentations toujours liées ensemble. Mais il doit reconnaître qu'il est très malaisé de séparer de semblables représentations, quand les sensations correspondantes ne se présentent jamais séparément à l'esprit humain.

Néanmoins, les philosophes et les mathématiciens, pour démontrer l’origine empirique de la géométrie, furent contraints de recourir à Y idéalisation des expériences fournies par les objets réels.

Une pareille idéalisation est-elle justifiée ? « Les axiomes sont-ils tirés de l’expérience? demande F. Klein, un des plus éminents mathématiciens modernes. On sait que Helmholtz s’est prononcé pour Laffirmative de la façon la plus catégorique. Toutefois son explication semble, sous un certain rapport, incomplète. Quand on y réfléchit, on admet volontiers, à la vérité, que l’expérience ait une part importante dans la formation des axiomes, mais on remarque que Helmholtz omet, sans l'examiner, précisément le point qui intéresse avant tout les mathématiciens. Il s’agit d’un procédé que nous employons dans toute discussion théorique de données empiriques quelconques, et

TEMPS ET ESPACE

qui peut sembler tout simple à un naturaliste. Pour m’exprimer d’une manière plus générale, je dirai : les résultats d'observations, quelles qu'elles soient, ne sont valables que dans des limites d’exactitude déterminées et dans des conditions spéciales ; en posant des axiomes, nous remplaçons ces résultats par des énoncés d'une précision et d'une géné ralité absolues. C'est sur cette « idéalisation » des données empiriques que repose, selon moi, la nature essentielle des axiomes. »

Klein est loin de trouver toute naturelle X idéalisation des expériences faites sur des objets réels. 11 n’en admet la nécessité que dans la physique théorique. Mais les axiomes de la géométrie euclidienne jouissent d’une certitude absolue, tandis que les hypothèses de la physique théorique n’ont qu’un q valeur temporaire. L'origine de ces axiomes doit donc se trouver ailleurs et non dans la simple idéalisation de faits empiriques. Tant de mathématiciens éminents de toutes les époques se seraient-ils appliqués avec autant de zèle à rechercher des preuves pour le onzième axiome d'Euclide, si Y idéalisation d’expériences grossière avait été une base suffisante? A l'aide de quelques traits de craie ils auraient pu trouver des preuves en abondance.

Ce défaut de cuirasse dans les théories empiriques a dû frapper les grands penseurs qui les soutenaient surtout pour échapper à la thèse de Kant. Ainsi, par exemple, Taine, après avoir essayé de déduire nos idées géométriques des sensations de mouvements, aboutit enfin à une tout autre manière de voir : « Le temps est le père de V espace », ce qui veut dire, sans doute, que la coïncidence de sensations analogues produit la représentation de l’espace. Mais une pareille coïncidence peut tout au plus conduire à la notion de distance , non à celle d'espace et moins encore d’un espace à trois dimensions.

Un seul philosophe a essayé, au milieu du siècle dernier, de développer les bases d'une théorie empirique de l’espace à

LES BASES DE LA GEOMETRIE D EUCLIDE 6l

l'aide de l’analyse des mouvements des corps solides. De cette analyse il déduisit l’origine des axiomes géométriques. Ce fut Ueberweg, disciple de Benecke, et l'un des plus vigoureux adversaires de la doctrine aprioristique de Kant. Bien entendu, Ueberweg ne put donner une solution complète du problème, une pareille solution n'étant pas possible sans l'aide des fonctions d'un organe sensoriel spécial. Néanmoins, ses Principes de la Géométrie reconstruite sur des bases scientifiques sont d'une portée considérable. Ce fut en réalité le premier essai rigoureux d’établir les lois des déplacements des corps, pouvant servir de point de départ à une théorie empirique de l'espace. A l’aide de trois principes fondamentaux, Ueberweg essaya de faire la synthèse de la géométrie d Euclide. Avec une intuition vraiment géniale, il a déduit ensuite les propriétés principales de l’espace. Un corps solide matériel peut, selon le témoignage de nos sens : i° s’il est libre de toute attache, atteindre tout point non occupé par un autre corps solide ; i° ce corps, fixé à un seul point, ne peut plus se déplacer sans entrave dans tous les sens, mais il n’est pas privé de la possibilité de se mouvoir ; 30 fixé en outre à un second point, il ne peut plus exécuter les déplacements encore possibles dans le 2e cas, mais il peut encore être déplacé ; 40 s'il est fixé à un troisième point, resté libre dans le 30 cas, tout déplacement lui devient impossible.

Comme l’ajustement observé Killing, dans son Introduction aux fondements delà Géométrie , ces points de départ de Ueberweg sont presque identiques aux trois propositions admises par Helmholtz, en 1867, dans ces célèbres recherches sur les formes de l’espace de Riemann, qui furent ensuite continuées par Sophus Lie dans sa Théorie des Transformations de Groupes. Les résultats obtenus par Ueberweg concordent en grande partie avec les conclusions de Helmholtz et de Sophus Lie. Ainsi Ueberweg a égalementréussi à déduire des déplacements des corps les trois propriétés de l'es-

pace : homogénéité, continuité et infinité. Il put également constater la valeur exacte du groupe , qu’il appelait série. Bien entendu, les méthodes de démonstration de Helmholtz et de Sophus Lie sont développées avec une précision plus rigoureuse qu’on n’en trouve chez Ueberweg. C’est plutôt par une intuition géniale que ce dernier est parvenu à certaines vérités, qui plus tard furent démontrées par ses successeurs. Ses analyses n’en méritent que plus d’admiration1. L’usage que M. H. Poincaré a fait récemment des théories du groupe des déplacements dans ses discussions sur l'espace a pour première origine les recherches de l'empiriste Ueberweg.

|4- — Les formes d’espace non euclidiennes