Sir John Herschel. Quarterly Review

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« La différence entre droite et gauche ne peut pas être définie, mais seulement indiquée ; il y a entre elles une corrélation analogue à celle qui existe entre doux et amer. Mais ornnc simile claudicat ; la dernière comparaison n’est valable que pour des êtres qui possèdent les organes du goût, la première existe pour tous les esprits auxquels la perception du monde matériel est accessible. Deux esprits de cet ordre ne peuvent pourtant s’entendre directement sur droite Qt gauche que si quelque objet individuel et matériel vient jeter entre eux un pont. Je dis directement , car A peut aussi s’entendre avec Z au moyen de ponts matériels jetés successivement entre A et B, B et C, etc. J’ai indiqué brièvement dans les Gottingische gelehrte An\eigen, 1831, p. 635, quelle en est la portée en métaphysique, et j’ai ajouté que j'y trouvais la réfutation de la chimère de Kant que l’espace serait uniquement une forme de notre intuition. » (Lettre à Schumacher, du 8 février 1840). Ces paroles du plus éminent mathématicien du siècle dernier pourraient presque servir d' épigraphe à notre étude , car ou y trouve le fond même de la solution donnée ici au problème de l'espace.

Les directions gauche et droite (de même que avant et arrière, haut et bas) sont des sensations comme doux et amer , rouge et vert. La différence entre ces sensations ne peut pas être définie, mais seulement indiquée. Les « ponts » qu'il s'agissait d'établir entre les différents esprits, afin qu’ils pussent s'entendre sur les directions et arriver à une solution du problème de l’espace, ces ponts sont jetés par les travaux qui ont reconnu l’existence d’un organe de sens ad hoc , destiné à nous donner des sensations de direction de trois qualités différentes, « lesquelles nous rendent accessible la perception du monde matériel ».

Ces idées si claires de Gauss sur l'importance de la direction dans le problème de l’espace n’ont été révélées que récemment par la publication de ses œuvres posthumes. Elles n'ont donc pas pu empêcher que, faute de définition, la

direction ne fût presque bannie de la géométrie dans la solution du problème de l'espace au moyen du concept de

la distance.

Déjà Proklos avait essayé de démontrer le onzième axiome en remplaçant la direction par la distance. En développant l'idée de Proklos, on arriva à définir les parallèles « comme lignes équidistantes », au lieu de « lignes de même direction » ainsi que les définissait Lobatchewsky d’après Jacobi et autres. La distance fut redevable de sa victoire sur la direction à la physiologie ou, plus exactement, à l'optique physiologique. En effet, la notion de la distance comme grandeur métrique repose sur l'estimation visuelle ( Augenmass ).

En étudiant par voie analytique les mouvements des corps solides, on prend en considération presque exclusivement l'espace visuel. Pour ces études, la notion de distance a donc pu fournir une base tangible. Et lorsqu’on chercha ensuite à appliquer directement les expériences de l’espace visuel à la connaissance de l'espace absolu, la distance devait forcément remplacer la direction1. Aussi Helmholtz cherchait-il à combattre la légitimité de l’emploi de cette dernière notion : « Comment définirait-on la direction sinon, précisément par la ligne droite ? Ici nous tournons dans un cercle vicieux. »

Nous pouvons moins encore définir exactement les sensasions de doux et d'amer, de rouge et de vert que les trois directions fondamentales (sagittale, transversale et verticale). Néanmoins, les notions des couleurs et des directions sont claires pour nous. A l’aide des notions de couleur, Young, Helmholtz et autres ont pu formuler la théorie des

i. Comprenant fort bien que la géométrie des formes non euclidiennes de l’espace doit rester purement transcendentale et sans aucun rapport avec l'expérience de nos sens, plusieurs partisans autorisés de cette géométrie désirent également renoncer à la distance. Ainsi Killing dit : « De même que la géométrie a dù écarter la notion de direction dans le sens employé pour l’axiome des parallèles, de même la notion de distance comme notion fondamentale ne pourra être maintenue et par suite ne pourra être d’une grande utilité pour les formes d’espace non euclidiennes dans le sens strict. >.* (Die nicht-euklidischen Raumformen , Leipzig, 1885 )

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couleurs. Pourquoi Euclide n’en aurait-il pu faire autant pour la géométrie avec les notions de directions?

Le présent essai, le premier qui tende à ramener les définitions et les axiomes d’Euclide à leur origine physiologique, aux sensations de l’appareil des canaux semi-circulaires, ne pourra donner que des indication^générales sur l’origine des notions qui avaient servi à les formuler. Aussi sommes-nous loin de considérer comme définitifs les détails de notre démonstration. Si nous réussissons à faire partager notre conviction que la géométrie d’Euclide a pour bases naturelles les perceptions du sens de l’espace, le développement ultérieur de cette démonstration ne tardera pas à être donné par des géomètres compétents. C'est pourquoi nous ne considérerons ici que quelques formes géométriques d'Euclide les plus importantes.

La ligne droite est définie ainsi par Euclide : « La ligne droite est celle qui est également située entre ses extrémités. » « Recta linea est, quœcunque ex œquo punctis inea sitis jacet » (traduction Konig). La traduction allemande que donne Lorenz, aussi d’après le texte grec, a le même sens : « Eine gerade Linie ist diejenige welche zwischen allen in ihr befindlichen Punkten auf einerlei Art liegt1. »

La notion de la ligne droite qu'Euclide a voulu définir apparaît clairement : une ligne située d'une seule façon, ou également, par rapport à tous ses points; cela signifie une ligne qui ne dévie ni ne se courbe d’aucun côté, c’est-à-dire qui conserve la même direction.

La ligne droite est la ligne de direction constante, comme le disait avec raison Ueberweg. Ce philosophe essaya de donner à la définition une hase plus strictement scientifique, en déduisant la direction du mouvement des corps solides. « Nous nommons droite la ligne qui, dans sa rotation autour

x. Clavius propose encore une autre traduction :

« Nullum punctum intermedium ab extremis sursum aut deorsum vel hue vel illuc Jleclendo subsaltat. »

De Cyon.

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de deux points fixes, ne sort pas d'elle-même. » Sans compter que la rotation présuppose déjà la notion de direction, cette origine ne peut répondre à la définition d'Euclide, car celuici a certainement, de propos délibéré, exclu de son premier livre la notion de mouvement. Cette exclusion indique assez clairement que la notion de mouvement était étrangère aux idées qui l’inspiraient dans ces définitions. Les idées devenues familières aux non euclidiens, grâce à certaines hypothèses émises seulement au cours du siècle dernier, n’ont pu évidemment exercer aucune action sur Euclide.

On invoque, il est vrai, l’axiome de la congruence comme preuve qu’Euclide, dès son premier livre, avait déjà en vue le mouvement. Même s’il en était ainsi, cela ne prouverait nullement que dans ses autres définitions il s’inspirât de notions analogues En vérité la congruence n’est basée que sur la similitude. Comment s'exprime l'axiome d’Euclide sur la congruence ? « Quæ sibi mutuo congruunt sunt æqualia. » « Les grandeurs qui coïncident sont égales et semblables. » (Kônig.) Lorenz traduit : « Was einander dcckt ist einander gleich. » Lambert : « Ausgedehnte Grossen, die auf einander passen , sind einander gleich. »

Où voit-on là l’expérience tirée du mouvement? Si la congruence avait pour base le mouvement, elle nous serait inconnue encore aujourd’hui. En effet, où l'expérience nous montre-t-elle des choses qui coïncident complètement ou qui soient parfaitement égales ? Une congruence strictement exacte des corps solides est impossible, et ce n’est que sur des corps solides que l’expérience peut s’appuyer. En réalité, la seule congruence parfaite que nous connaissons est celle qui est produite dans notre conscience par la fusion de deux images ou de deux directions identiques. La notion de la congruence nous vient peut-être justement d’une fusion pareille. Au fond, on ne trouve dans les définitions et les axiomes du premier livre d’Euclide que les notions de direction et de position.

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Nous avons rappelé plus haut le fonctionnement normal du labyrinthe en tant qu'organe périphérique des sensations de direction, et montré le mécanisme intime par lequel ces sensations provoquent des mouvements oculaires. Il s'agit ici d'indiquer comment nos perceptions de la direction du son peuvent conduire à la représentation de la ligne droite comme lier ne d'une seule direction.

En même temps que l'animal perçoit une sensation de direction, simultanément avec la sensation du son ou du bruit provoquée par la même cause extérieure (vibration de l'air), l’excitation des nerfs ampullaires produit des mouvements oculaires, destinés à diriger son regard dans la direction perçue, afin d'en découvrir la cause. Si ces mouvements ne suffisent pas pour diriger la ligne visuelle dans cette direction, des mouvements de la tête et, éventuellement, du corps entier interviennent, déterminés eux aussi par la même excitation des terminaisons nerveuses des canaux semi-circulaires.

Le chemin le plus court, qui conduit de la source d'excitation des nerfs de l’ampoule, au point où a lieu la perception de la directionest la lignedroite de cette direction. Cette ligne droite coïncide avec la ligne visuelle ( Bîicklinie ). Elle est limitée d’une part par le point d'excitation, d’autre part par le point de perception; elle en indique ainsi la distance. La direction idéale , comme telle, n'a pas de limites ; elle peut s’étendre à l'infini. Aussi pouvons-nous, dans notre esprit, prolonger des deux côtés la ligne droite, en suivant la direction à laquelle elle correspond.

C’est cette propriété de la ligne droite idéale, déterminée par son origine même, qui explique et justifie la seconde demande d’Euclide : « Toute ligne droite peut toujours être prolongée en direction droite». Psychologiquement, d’après le mécanisme exposé, on pourrait dire : La ligne droite est la représentation immédiate d’une sensation de direction.

Cette origine de la notion de la ligne droite déter-

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mine également sa qualité d’être la ligne la plus courte entre deux points (Archimède) et justifie aussi la définition de Legendre : « La droite est le plus court chemin d’un point à un autre. » On a reproché à cette définition de nécessiter le définition préalable du chemin ; l’origine physiologique de la direction en indique directement le sens précis. Ainsi donc, la définition de Legendre correspond encore beaucoup plus exactement à l'origine physiologique de la droite idéale.

Par la seconde demande citée plus haut, Euclide montre peut-être encore plus nettement que par sa définition que la notion de la droite est déterminée par l’aperception (. Anschauung ) de la direction.

Le douzième axiome le fait d’une façon non moins convaincante : « Deux droites ne peuvent pas renfermer un espace », ou : deux droites ne peuvent se croiser qu’une fois et divergent ensuite à l’infini. Ceci résulte directement de ta projection an dehors de deux sensations de directions différentes. Il suffit de fixer un instant notre attention sur deux directions de qualité différente pour avoir la certitude qu’elles ne peuvent plus jamais se rencontrer. Cette certitude résulte de nos perceptions mêmes.

La preuve la plus évidente que la notion de la ligne droite, comme ligne de direction constante et comme chemin le plus court entre deux points, a son origine dans les sensations du labyrinthe de l'oreille, nous la trouvons dans ce fait : non seulement l’homme, mais tous les animaux qui possèdent cet organe et eux seuls connaissent la ligne droite comme le chemin le plus court. Ils se dirigent avec la plus grande précision dans la ligne droite pour parvenir le plus rapidement possible à leur but. Par contre, les animaux auxquels manque cet organe spécial et qui s'orientent seulement à l’aide de leur vue ou de leur odorat sont incapables de suivre la ligne droite.

Qu’on observe, par exemple, les pigeons voyageurs

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quand ils retournent au colombier, les chiens quand ils traversent une rue, les bêtes poursuivies à la chasse, et l’on verra avec quelle sûreté ilssavent en changeant brusquement de direction, prendre la diagonale pour raccourcir leur chemin. Par contre, les animaux, même ceux qui, comme les abeilles et les fourmis, sans labyrinthe, s’orientent pourtant à la perfection, ne se meuvent qu’en arcs ou en demi-cercles. La ligne droite leur est inconnue.

Dans la classe des animaux vertébrés, des défauts innés ou accidentels des canaux semi-circulaires peuvent entraîner l’absence ou la perte de cette connaissance de la direction- en ligne droite. Ce fait s’oberve chez certaines souris dansantes japonaises et chez les lamproies1, comme chez les pigeons, les lapins, les grenouilles et autres animaux qui ont subi certaines mutilations du labyrinthe, et cela, même quand leur vue est restée intacte.

L’homme peut perdre la connaissance de la ligne droite, momentanément ou pour un temps plus ou moins long, par suite de maladies du labyrinthe, d’intoxication, de mouvements inaccoutumés, tels que le balancement et la rotation prolongée autour d'un axe longitudinal, ou de toute autre cause accidentelle qui, conséquemment, parvient à troubler l’harmonie des rapports normaux entre le sens de l'espace et celui de la vue2.

Les expériences et observations innombrables qui ont établi ces faits d’une façon indiscutable n’admettent qu'une seule interprétation : nos notions de la ligne droite, cette figure fondamentale de la géométrie d’Euclide, proviennent des sensations de direction dues au labyrinthe.

Une fois que la définition de la ligne droite idéale se

1 . Ces êtres à une ou deux paires de canaux, c’est-à-dire qui ne connaissent qu’une ou deux directions de l’espace, ne se meuvent jamais en ligne droite, mais en zigzags et en cercles.

2. Voir, sur la portée physiologique de ces rapports, les chapitres de mes ouvrages ( Ohrlabyrinth et / Oreille) consacrés au vertige, à la rotation et aux observations sur les sourds-muets.

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trouve expliquée par son origine physiologique, les difficultés que présentait jusqu’ici l'axiome des parallèles d'Euclide disparaissent : sont parallèles les lignes droites qui, situées dans le même plan, ne se rencontrent d’aucun des deux côtés, à quelque distance qu’on les prolonge. Dans leur tentatives pour préciser cette définition et établir l’exactitude de l’axiome xi, qui en est la conséquence, les mathématiciens se heurtaient à une difficulté capitale, à l’impossibilité de démontrer que les lignes tracées étaient vraiment des droites idéales situées dans un plan, telles qu'Euclide les exigeait. C’est aux notions de direction ou de distance qu'ils avaient le plus souvent recours pour pouvoir donner cette démonstration : sont parallèles les lignes qui ont une seule et même direction; ou : les lignes parallèles sont celles qui, dans leur parcours, conservent la même distance entre elles1.

Comme nous l'avons vu, ces deux notions, ramenées à leur vraie signification physiologique, ont été déterminantes pour l’origine de la définition euclidienne de la ligne droite, ce qui indique par conséquent la même origine naturelle à la définition par Euclide des droites parallèles. S’il en est ainsi, la notion des parallèles doit être connue également des animaux et des enfants. En effet, les uns et les autres savent très bien que les directions et les chemins parallèles ne peuvent se rencontrer. Dans les jeux des enfants entre eux ou avec des animaux et dans la poursuite de ces derniers, on constate facilement ceci : l'animal, poursuivi sérieusement ou par jeu, cherche dans sa fuite à garder la même direction que celui qui le poursuit ; tandis qu'au contraire celui-ci cherche à saisir le fugitif en déviant de la direction parallèle et en prenant la diagonale. Quand le poursuivant change de direction, le poursuivi choisit, lui aussi, la direction nouvelle, et cherche

i. Voir L' Oreille, ch. v, § 12.

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en même temps, d’un coup d’œil, à rester à égale distance du poursuivant. Quand le jeu a lieu dans un espace limité, on s’aperçoit que la poursuite s’opère en zigzags1. Or, si le poursuivi n’avait pas conscience qu’en gardant la direction parallèle il rend une rencontre impossible, il aurait, pour échapper à la poursuite, choisi plutôt une direction opposée à celle qu’avait adoptée le poursuivant.

11 ne peut être question chez les animaux d'idéalisation ou d'abstraction d'expériences acquises antérieurement. La notion des parallèles leur est donc donnée directement par des sensations particulières. L’existence de pareilles sensations et leur siège me furent révélés au cours de mes nombreuses recherches relativement à l’homme sur nos illusions dans la détermination des directions.

Ces recherches, exposées ailleurs en détail ( Ohrlabyrinth et L Oreille, ch. v, § 12), portèrent sur l’origine de nos sensations de parallélisme. Leur résultat principal est que ces sensations ont leur siège dans un organe de sens situé dans la tête, et notamment dans les quatre canaux verticaux. Le vertical gauche est parallèle au sagittal droit ; le vertical droit, au sagittal gauche.

Ces observations nous donnent un nouvel exemple de la collaboration harmonieuse du labyrinthe de l’oreille avec l’organe de la vue, sur laquelle sont basés les rapports entre l’espace réel et l'espace visuel. Les nerfs vestibulaires jouent dans ces rapports le rôle déterminant, grâce à leur action sur les nerfs oculo-moteurs. La notion des trois directions de l’espace doit déjà exister pour que notre orientation dans l’espace visuel soit possible. Il en est de même pour l’orientation dans les directions parallèles.

La notion de X infinité de la ligne droite, telle qu’elle résulte de la seconde demande d’Euclide, a été également utilisée par plusieurs mathématiciens pour démontrer

1. Sur le jeu des animaux en zigzags, voir, entre autres, l'ouvrage très intéressant de Groos, Die Spiele der Thierrc Iéna, 189(3.

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l’axiome des parallèles. 11 résulte des expériences que la notion du parallélisme est également une conséquence de la notion de direction idéale, telle qu'elle nous est donnée par les sensations du labyrinthe de l’oreille.

La définition du plan adoptée par Euclide : « une surface située d'une seule façon entre toutes les lignes qui se trouvent en elle », est considérée par tous les géomètres comme analogue à sa définition de la ligne droite. Avec notre connaissance actuelle de l'origine physiologique de la notion de la ligne droite, il ne serait pas difficile de déduire la notion du plan des sensations de directions identiques, perçues par les extrémités des nerfs situés tous dans le plan d 'un seul canal semi-circulaire. Les propriétés du plan pourraient sans difficulté s'accorder avec une semblable origine de nos représentations de cette forme d'espace.

La notion de l'angle, tel qu'Euclide le définit, nous est donnée par intuition directe de la même manière f un angle plan est X inclinaison de deux lignes qui se rencontrent dans un plan sans être situées en ligne droite. Inclinaison ne peut vouloir dire autre chose que différence de direction, car lesmots en ligne droite n admettent que la seule signification en direction droite. Ueberweg qui, dans la partie synthétique de son très important travail, a donné tant d’exemples de divination vraiment extraordinaire, formule de la manière suivante cette définition d’Euclide : « La différence des directions de deux lignes partant d’un point s'appelle angle ». 11 a suffi à Ueberweg d’avoir présente à l'esprit la notion de direction, lorsqu'il déduisit les formes d’espace d’Euclide,. pour deviner juste que cette notion provient des sensations. Car, même avec la connaissance actuelle de l’origine physiologique de la notion de direction , on ne pourrait définir l’angle d'une façon plus exacte. 11 suffirait de remplacer « partant d’un point » par « se rencontrant enun point », puisque nous projetons nos sensations à l’exté¬

rieur.

La disposition des canaux semi-circulaires en trois plans perpendiculaires les uns aux autres a pour conséquence que l’idée de X angle droit nous est donnée directement. Aussi la définition de cet angle précède-t-elle chez Euclide celle des autres angles, aigu et obtus.

11 ne serait pas difficile de ramènera une origine analogue les autres définitions du premier livre d’Euclide. La notion du cercle pourrait, par exemple, être déduite de la rotation des globes oculaires, ou, éventuellement, de notre tête et de notre corps, autour de leur axe longitudinal, au moment de la détermination de la direction ressentie.

Nous ne nous arrêterons un moment qu'à la définition du point telle qu’elle a été formulée par Euclide : c< Un point est ce qui ne peut être divisé ». On a proposé diverses autres définitions : « les extrémités d’une ligne se nomment points» (Legendre) ; « le point est le lieu où deux lignes se coupent» (Blanchet). Ces définitions peuvent sans difficulté, après ce que nous venons d’exposer, être ramenées à leur origine naturelle. Cependant celle d’Euclide nous paraît encore la plus exacte au point de vue physiologique. On lui. a reproché d’être trop générale, et de convenir aussi à la con science, à l’intelligence ou à l’âme L Mais, peut-être, ce reproche même fait mieux ressortir la notion qu'Euclide avait en vue en formulant sa définition : le point où toutes les sensations de direction se rencontrent est précisément la conscience du moi ( Selbstbcwusstein ), qui n’admet ni division ni étendue. Ce point répond au point O d’un système de trois coordonnées rectangulaires. C'est dans notre moi conscient que se croisent les trois directions, et c’est là qu’elles changent de signe , c'est-à-dire de positives deviennent négatives : dans la direction verticale, — le haut passe au bas; dans la transversale, — le droit passe au gauche ; dans la sagittale, — l’avant passe à l’arrière. Ces changements de désignation des sens de

1. Voir le développement de ce point capital pour la psycliolologie delà conscience, plus bas, ch. ni, § 5-6.

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la direction n’indiquent en effet que la relation entre la direction de l’espace réel et le moi conscient.

Les définitions d'Euclide, comme je viens de le montrer, ne sont donc point des postulats ou des hypothèses , mais l’expression de notions géométriques qui nous sont fournies directement par les perceptions de nos sens. Les figuresgéométriques sont des grandeurs idéales d'espace perçues et non des corps géométriques idéalisés. Elles se présentent déjà à notre conscience comme formes idéales et ne proviennent pas de l’idéalisation d’expériences brutes sur des objets réels. Les tentatives, aussi nombreuses que vaines, pour prouver les axiomes d’Euclide échouèrent par suite de l’impossibilité de démontrer la légitimité d’une pareille idéalisation. Euclide lui-même basait ses définitions et axiomes (notions communes) sur des notions intuitives; il tint donc pour superflu, ou pour impossible, d'en donner la démonstration. Mais il n’était pas moins convaincu de leur exactitude. Les mathématiciens qui cherchaient la démonstration duonzième axiome le faisaient précisément parce qu’eux aussi ne doutaient pas de son exactitude absolue J. La première partie de l’axiome, que deux droites situées dans un même plan, quand elles forment avec une droite qui les coupe deux angles intérieurs moindres que deux angles droits, étant prolongées, doivent se rapprocher , demandait à peine à être prouvée. Le reproche qu’on adressait à Euclide était d’avoir ajouté, sans fournir de raisons péremptoires, que de telles droites situées dans le même plan, suffisamment prolongées, devaient se rencontrer à la fin. La raison de cette nécessité ■ se trouvait pourtant déjà dans la deuxième demande d'Euclide, laquelle, comme nous l’avons vu, est légitimée par l'origine même de notre notion de la ligne droite.

Avec la connaissance de l’origine physiologique de la

i . Euclides ab omtti ervo vindicatus, tel est, par exemple, le titre de la remarquable étude de Saccheri, l'un des précurseurs de la géométrie non euclidienne.

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notion des parallèles idéales, le onzième axiome d'Euclide aurait peut-être pu se formuler ainsi : si une ligne droite coupe deux autres lignes droites non parallèles situées dans le même plan, les deux angles intérieurs que fait cette ligne droite seront inférieurs à deux droits du côté où ces deux lignes prolongées finissent par se rencontrer. Ainsi formulé, le onzième axiome serait devenu une vraie notion commune. Mais aurait-il suffi pour démontrer la proposition 29?

Les géomètres qui, comme Ramus, Clairaut, etc., prétendaient qu'il était inutile de chercher à démontrer ce qui était en soi parfaitement clair, partageaient l’avis d’Euclide. D’ailleurs, maintenant que nous savons que les bases naturelles de la géométrie euclidienne se trouvent dans les perceptions de nos sens, les démonstrations fournies par Wallis, Lambert, Saccheri et autres1 acquièrent leur pleine et entière valeur scientifique.

A la démonstration donnée en 1878 que nos idées des trois étendues de l'espace reposent sur les sensations de direction de notre appareil de canaux semi-circulaires, s'ajoute désormais cette autre certitude que les définitions et les axiomes les plus importants d’Euclide- ont aussi leur origine dans les fonctions de cet appareil et dans ses rapports physiologiques avec l'appareil de la vue. De tout temps, les mathématiciens considéraient la direction et la distance comme les deux bases fondamentales sur lesquelles doit être édifiée la géométrie : notre démonstration vient d’établir qu’elles constituent en effet les bases naturelles de la géométrie d’Euclide.

Cette origine établit , très nettement la différence essentielle entre les formes d’espace de la géométrie d’Euclide et celles de la géométrie non euclidienne. Les premières nous sont imposées par les fonctions d’un organe des sens ad hoc.

r. En particulier, les preuves physico-géométriques de Saccheri.

2. A partir de la 290 proposition, presque toute la géométrie d'Euclide est construite sur le n° axiome.

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L’expérience de milliers d’années a démontré leur certitude absolue. Par là même apparait la parfaite concordance des perceptions de cet organe avec les propriétés de l’espace qui nous entoure (voir § 4).

La géométrie non euclidienne, par contre, a son origine dans de pures opérations de l 'esprit. Elle ne repose que sur la négation de la valeur absolue de l’axiome des parallèles d’Euclide ou, pour employer l’expression usuelle, sur l'indépendance des formes d’espace par rapport à cet axiome. Les espaces qu'elle admet ne concordent ni avec les perceptions de nos sens, ni avec aucune de nos expériences tirées jusqu’ici de l'espace physique. C'est avec raison que Lobatchewsky l'avait dénommée la géométrie imaginaire , par opposition à la géométrie naturelle d'Euclide. Ses formes d’espace sont purement transcendentales et presque inaccessibles à notre représentation. La preuve reste encore à faire qu'elles existent dans le monde réel.

Les mouvements des corps solides dans ces espaces transcendentaux peuvent être déduits analytiquement au moyen d'équations variables. Mais les formules algébriques ne peuvent pas prouver que les lois de ces mouvements trouvent leur application quelque part dans l'espace réel. La possibilité, par exemple, de la déduction des groupes qui correspondent à la géométrie de Lobatchewsky ne prouve ni que la « notion des groupes continus » nous est innée, ni que « l’espace (réel) est un groupe » (Poincaré).

La possibilité pour notre esprit à' imaginer des formes d’espace indépendantes du onzième axiome n’infirme donc nullement l’exactitude ou la validité de cet axiome. Par conséquent, il ne peut pas être sérieusement question d’une équivalence des deux géométries, et encore moins est-il permis de considérer la géométrie d’Euclide comme un cas spécial (Spécial fait selon Klein) d’une géométrie générale, qui ferait abstraction de l’axiome des parallèles. Le fait que les axiomes d'Euclide ont leur origine naturelle dans les

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perceptions de nos sens indique clairement que l’indépendance réciproque des axiomes (du premier livre du moins) est tout à fait illusoire.

« Si la représentation de l’espace, a dit très justement Taurinus, l’un des précurseurs de la géométrie non euclidienne peut être considérée comme une simple forme des sens extérieurs, il est incontestable alors que le système d'Euclide est le seul vrai. » Qu’il en soit réellement ainsi, cela doit paraître hors conteste après la preuve établie de l’origine physiologique des définitions euclidiennes de la droite et des parallèles.

Comme je l’ai déjà dit, la géométrie d’Euclide trouve ses bases naturelles les plus importantes dans les fonctions physiologiques du labyrinthe de l’oreille. Mais cette géométrie ne repose pas uniquement sur des axiomes et des définitions. Depuis Pythagore, la géométrie est devenue une théorie des grandeurs ; ses propositions peuvent être vérifiées par la mesure et l’expérience. C’est ainsi que leur exactitude et leur validité pour l’espace physique accessible à nos sens ont toujours pu être pleinement confirmées, aussi bien en physique qu’en astronomie. Toute mesure exige la connaissance du nombre. Or, cette connaissance, nous la devons également aux fonctions de certaines parties de notre organe auditif. Tandis que les canaux semi-circulaires nous fournissent les perceptions de trois directions des sons sur lesquelles repose notre concept d’un espace à trois dimensions ; les fonctions des autres parties de notre appareil auditif nous font connaître les nombres par les sensations de la hauteur des divers sons. Sur cette connaissance des nombres repose également notre concept du temps (voir le chap. suivant). C’est grâce à cette connaissance du nombre que s’accomplissent dans nos centres cérébraux la distribution des forces d’innervation à nos appareils moteurs et celle des forces psychiques dans les centres sensibles et sensoriels (voir ch. ni,

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| 6. — La solution du problème de l’espace.

Des trois questions essentielles au problème de l'espace (voir | 3), deux ont trouvé leur solution dans le fait de ramener la géométrie d'Euclide à ses bases naturelles. L’espace euclidien est l’espace physiologique, c’est-à-dire que les formes géométriques dont Euclide s’occupe nous sont données par les perceptions de nos sens, spécialement du sens géométrique de V espace.

La troisième partie du problème, celle qui porte sur la réalité de l’espace, ne peut guère être discutée par le naturaliste ; car une réponse négative entraînerait la négation de l'existence des organes des sens, de l’entendement humain et de celle du naturaliste lui-même. La loi de causalité est le premier fondement de toute connaissance humaine. Elle nous contraint de reconnaître l’existence d'un espace réel, sans lequel ne seraient possibles ni les mouvements des corps solides, ni , en général, les sensations quelconques.

Le pur phénoménalisme de Berkeley ne pourra jamais être professé par le naturaliste, quelle que soit l’admiration que puissent inspirer la profondeur d'esprit et l’extraordinaire habileté de ce penseur. S’il n'y avait d’autre vérité que la vérité psychique, tous les hommes devraient être du même avis. Or, on ne trouverait peut-être pas deux métaphysiciens qui soient complètement d’accord sur n’importe quelle question théorique de la connaissance.

Ce n’est certes pas un hasard que les physiologistes n’aient commencé à s’intéresser au problème de l'espace que depuis que Kant, par la doctrine de la « chose en soi », essaya de concilier le système de Berkeley avec les plus élémentaires exigences de la raison humaine. La doctrine de l’origine a priori de nos représentations de l’espace a du moins

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fourni une base possible à la discussion scientifique. On a vu plus haut que Kant n’eut recours à cette doctrine qu’après avoir reconnu l'impossibilité de déduire de l’expérience, basée sur les perceptions des cinq sens connus (à proprement parler même du sens de la vue), l’existence de nos idées d’un espace à trois dimensions.

Cette impossibilité a aussi ramené à la doctrine de Kant les créateurs de la géométrie non euclidienne, bien qu’ils se déclarassent, à l’exception de M. Poincaré, partisans résolus des idées empiriques. La constatation de l'existence d’un sens déterminé, auquel nous devons les perceptions des trois directions de l’espace, a écarté cette impossibilité. Sont innés ou pré-existants, non pas nos représentations de l’espace ou nos idées géométriques, mais les organes qui nous fournissent ces représentations. Les animaux emploient les perceptions des trois directions de l'espace à orienter leurs mouvements et à localiser les objets extérieurs dans l’espace visuel ou tactile. L’homme s’en sert en outre pour la représentation des trois étendues de l’espace et des trois dimensions des corps solides. Sur le système des trois coordonnées rectangulaires, formé par les sensations des trois canaux semi-circulaires disposés dans trois plans perpendiculaires les uns aux autres, l’homme transporte les sensations de ses autres organes des sens (voir ch. ni, § 5).

Ces mots de Kant : « l’espace n'est pas autre chose que la forme de tous les phénomènes de nos sens extérieurs », n’ont plus de valeur dans le sens strict des termes. Au point de vue physiologique, la pensée de Kant devrait être formulée : les propriétés de l’espace nous sont données par la qualité des perceptions du sens de l’espace. L organisation physique , que Helmholtz présupposait pour expliquer l’idée nécessaire d’un espace à trois étendues, est basée non seulement sur les fonctions de l’appareil périphérique des canaux, mais aussi sur l’aptitude des centres cérébraux, auxquels aboutissent les nerfs spatiaux, à percevoir les exci-

<)6 TEMPS ET ESPACE

tâtions de ces derniers sous la forme de directions de trois qualités différentes.

Les trois directions de l'espace perçues correspondent-elles à trois étendues réelles de l'espace extérieur, et les trois dimensions sont-elles des propriétés réelles des corps solides ? La structure anatomique des canaux et leur position respective indiquent réellement dans cet organe des sens une grande concordance entre la nature de nos perceptions et les propriétés de la « chose en soi ». Ueberweg, qui ne connaissait pourtant pas l'existence de l'organe du sens de l’espace, pressentait déjà la nécessité d'une telle concordance entre nos sensations d’espace et les propriétés de l’espace extérieur. « Si ces dernières étaient sujettes à d’autres lois que celles que nous pouvons tirer de la nature même de nos perceptions géométriques de l’espace, nous pourrions bien édifier une géométrie pure, harmonique en elle-même, mais non une géométrie appliquée, et surtout nous ne pourrions pas donner une explication géométrique des phénomènes physiques. » Comment, en effet, toutes les mensurations physiques et astronomiques exécutées jusqu'à ce jour auraient-elles pu confirmer les lois de la géométrie d’Euclide, si nos perceptions des trois directions de l’espace ne correspondaient pas à des propriétés réelles de l'espace véritable ?

Cet espace n’a-t-il que trois étendues, ou ce nombre trois tient-il aux limites de l’organisation de notre labyrinthe? Des êtres possédant un système de quatre paires de canaux pourraient-ils avoir la représentation d’une quatrième étendue de l’espace (non des corps solides) ? Dans l’état actuel de la science, comme nous venons de le montrer au paragraphe précédent, il nous paraît impossible de l’affirmer. Ainsi que l’a dit très justement Krause : « Au caractère de la notion d’espace comme ayant trois directions perpendiculaires les unes aux autres, une méthode algébrique traitant d’une quatrième direction ne changerait absolument rien. »

D’autre part, nous ne voyons aussi qu’un nombre limité

LES BASES DE LA GEOMETRIE d'eUCLIDE

de vibrations d’éther d’une longueur d’onde déterminée et nous //’ entendons que des vibrations aériennes de quelques octaves. Malgré cela, nous connaissons des vibrations d’éther et d’air qui ne peuvent exciter ni notre rétine ni nos nerfs auditifs. Nous pouvons bien entendre les ondes hertziennes invisibles et voir , grâce à R. Konig, plusieurs octaves insaisissables pour l’oreille. L’hypothèse de Newcomb suppose que les lois des mouvements dans la quatrième dimension sont valables pour les mouvements des molécules. Cette hypothèse serait-elle confirmée un jour, au moins pour les vibrations qui provoquent des- phénomènes psychiques? La confirmation de cette hypothèse serait un triomphe éclatant pour Riemann, qui, dans sa thèse célèbre, prédisait que les rapports métriques de l’espace dans V infiniment petit seraient conformes aux propositions de sa géométrie. L’invraisemblable ne doit pas effaroucher le naturaliste. La plupart des découvertes des quarante ou cinquante dernières années paraissent aussi inattendues qu’invraisemblables : c’est même pourquoi, comme nous le verrons plus loin, l'expérience les a confirmées.

De Cyon.