CHAPITRE PREMIER

LE SENS GÉOMÉTRIQUE ET LES BASES PHYSIO¬ LOGIQUES DE LA GÉOMÉTRIE D’EUCLIDE

| i. — Historique.

Platon assigne aux mathématiques une place intermédiaire entre la connaissance philosophique et la connaissance sensible : et c'est avec raison. Le philosophe procède par postulats, le mathématicien par déductions ; quant au naturaliste, il décide, à l’aide de la connaissance sensible, si les postulats, et lesquels d’entre eux et d’entre les propositions qui en sont déduites, reposent sur la vérité réelle. Depuisque la puissance de nos organes sensoriels a été considérablement augmentée par l'invention du télescope, du microscope et d’appareils de précision pour l’évaluation des mesures et poids, et depuis que les naturalistes, de plus en plus pénétrés de la pensée mathématique, ont appris à se servir de l'analyse supérieure pour tirer de leurs conquêtes expérimentales les conséquences les plus éloignées, ils ont enrichi la science de résultats d'une haute portée pour la solution des problèmes du monde physique qui ont de tout temps préoccupé l’esprit humain.

En 1878, à la fin du premier exposé détaillé de diverses De Cyon.

TEMPS ET ESPACE

séries d'expériences poursuivies pendant plusieurs années sur le labyrinthe de l'oreille, j'écrivais : « Les canaux semi-circulaires constituent les organes périphériques du sens de l'espace ; autrement dit, les sensations d’orientation, provoquées par l'excitation des fibres nerveuses qui se ramifient dans leurs ampoules, nous servent à construire notre concept d’un espace à trois dimensions. Les sensations de chaque partie de ces canaux correspondent à l’une des trois directions cardinales... Nous comprenons à présent pourquoi c'est précisément un espace à trois dimensions qui sert de base à la géométrie d’Euclide. Les axiomes géométriques nous apparaissent ainsi comme imposés par les limites mêmes de

nos organes sensoriels l. » Ce fut là le résultat de mes recher- *

ches d’alors qui portait le plus loin ; car il permettait de résoudre l'un des problèmes les plus difficiles de la psychophysiologie et delà philosophie. La démonstration faite que l’appareil des canaux semi circulaires sert à l’orientation dans l’espace, ainsi que l’explication apportée par mes recherches aux phénomènes si mystérieux de Flourens, présentait un intérêt exclusivement physiologique.

La conclusion que je viens de citer m’imposait le devoir djétudier plus à fond, à l'aide des résultats acquis, les bases naturelles et les axiomes de la géométrie euclidienne. Cependant, le développement extraordinaire de la géométrie non euclidienne, sans avoir réellement transformé le problème de l’espace, l'a pourtant considérablement compliqué. La part prise par Relmholtz à la création de la géométrie imaginaire et la grande autorité avec laquelle il s’est prononcé, dans son fameux discours de Heidelberg, en faveur des espaces à n dimensions, ont dû nécessairement rendre plus difficile la marche de nouvelles recherches dans ce domaine. En réalité, Helmholtz a entièrement abandonné aux mathématiciensle problème del’espace, considéré jusqu'ici comme

i. Recherches sur les fonctions des canaux semi-circulaires. Thèse. Paris.

LES BASES DE LA GEOMETRIE d’eUCLIDE

psychophysiologique. Heureusement les preuves analytiques de la possibilité d’espaces d'un nombre n de variétés n'ont pas porté la moindre atteinte aux résultats purement physiologiques de mes recherches, ni aux conclusions que j'en ai tirées concernant la géométrie euclidienne. Helm- * holtz lui-même a été obligé de reconnaître que nous n'étions ni capables de nous faire une représentation des nouveaux espaces, ni en état d'expliquer, à l'aide de ces nouveaux points de vue, l'origine de notre conception forcée de l'espace extérieur comme d'une variété à trois dimensions. Je ne me crus alors pas autorisé à me servir de mes expériences pour établir les bases naturelles des axiomes et des définitions de la vieille géométrie, sans tenir suffisamment compte de la géométrie transcendante.

C’est seulement vers la fin du siècle dernier que j'ai trouvé les loisirs nécessaires pour me familiariser avec la géométrie non euclidienne, au point de pouvoir entreprendre la solution du problème posé en 1878. La première édition des Bases physiologiques de ta géométrie euclidienne n a pu être publiée qu'en 1901. Cette étude a nécessairement attiré l’attention des philosophes et surtout des mathématiciens sur la grande portée des fonctions du labyrinthe de l'oreille. A cette occasion, plusieurs mathématiciens, tels que MM. Poin-' caré, Couturat et autres, ont publié des observations critiques sur ma théorie.

Ces publications, ainsi que la correspondance que j'ai échangée avec divers mathématiciens connus, m'ont permis de constater que ni mon exposé historique de la géométrie noitvelle, ni la façou dont j’ai précisé ses vrais rapports avec les bases physiologiques de la géométrie euclidienne ne pouvaient donner lieu à des objections sérieuses. Celles qui ont été formulées d'une façon générale par quelques critiques étaient d'ordre exclusivement métaphysique. A proprement parler, elles se réduisent toutes à cette affirmation que le problème de l’espace ne saurait, en thèse générale,

TEMPS ET ESPACE

être résolu par les naturalistes et n’appartient pas au domaine de la recherche scientifique expérimentale. Dans la Revue philosophique (janvier 1902), j'ai déjà fait justice de cette dernière objection, élevée principalement par M. Couturat. v Comme la plupart des méta-mathématiciens français, M. Couturat s'était placé au point de vue de la théorie a priori de Kant. En Kantien convaincu, il ne s’est pas donné la peine d’étudier sérieusement et de comprendre les bases expérimentales de mes recherches et leurs résultats. Ses objections passaient donc à côté de ma théorie. Après avoir éclairci ce point, j'ai conclu : « Certes, le méta-mathématicien a, dans de pareilles discussions, une très grande supériorité sur le métaphysicien, — mais cela seulement quand tous les deux partent d’un principe vrai. Dans le cas contraire, l’avantage se trouve plutôt du côté du philosophe pur. Le premier, grâce à la précision rigoureuse de ses déductions, doit, en partant de prémisses fausses, aboutir forcément à des conclusions absurdes, tandis que le métaphysicien, dans le même cas, peut encore arriver à une conclusion juste, si par hasard son raisonnement déraille sur la voie vraie. »

M. Couturat a d’ailleurs changé d’avis. Dans un ouvrage récent, Les Principes des Mathématiques , il cite les paroles de B. Russel : « La mathématique est une science où l’on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai (p. 4) ». Il juge donc la méta-mathématique encore plus sévèrement que moi. Dans un appendice à ce même ouvrage, intitulé Philosophie des Mathématiques de liant, il apparaît non plus comme Kantien, mais comme partisan de Leibniz.

Je dois constater avec regret que M. Poincaré, lui aussi, s’est étrangement mépris sur mes recherches et le sens de ma théorie. « Les trois paires de canaux, écrit-il, auraient pour unique fonction de nous avertir que l’espace a trois dimensions. Les souris japonaises n'ont que deux paires de canaux ; elles croient, parait-il que l’espace n'a que deux dimensions, et elles manifestent cette opinion de la façon la

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plus étrange... » (. La Valeur de la Science, p. 134). « Il est évident, écrit-il plus loin, qu’une semblable théorie n'est pas admissible. On ne comprend pas pourquoi le créateur nous aurait donné des organes destinés à nous crier sans cesse : souviens-toi que V espace a trois dimensions i. » Ces paroles de M. Poincaré indiquaient clairement que les premiers éléments de ma théorie sur le fonctionnement des canaux semicirculaires lui étaient inconnus. Aussi, dans mon ouvrage, consacré entièrement à l’exposé de mes expériences sur le labyrinthe, me suis-je abstenu de commenter ces citations, laissant aux lecteurs le soin de juger eux-mêmes à quel point les objections portaient à faux. J’ai tenu, pourtant, à aviser M. Poincaré de ce malentendu et je le priai de bien vouloir m’expliquer sur quoi il basait son étrange conception de ma théorie. L’échange des lettres qui s’en est suivi n’a fait que souligner ces erreurs de compréhension. Ainsi, il a échappé complètement à M. Poincaré qu'il s’agit chez moi de trois sensations de direction, provoquées par les ondes sonores , et nullement de notions innées d’un espace à deux ou à trois dimensions. De là, cette illusion singulière que, selon moi, les souris japonaises seraient forcées de s’orienter dans deux directions, parce qu’elles ne possédaient que la notion de deux dimensions !

L’exposé de ma théorie, donné dans le paragraphe suivant, mettra les choses au point. Je n’ai jamais attribué de notions ou de concepts d’un espace à trois ou à deux dimensions aux animaux, même possédant un labyrinthe aussi parfait que celui de l’homme. Les animaux ne reçoivent que les sensations d’une, deux ou trois directions du son, qui les forcent à se mouvoir dans une de ces directions et leur permettent d’orienter leur corps dans l'espace extérieur.

Je me permettrai de répéter ici aux méta-mathématiciens français ce que je disais, il y a cinq ou six ans, à M. Couturat :