CHAPITRE IV

Obstacles solides venutraux.

Montage. — Nous utiliserons toujours le même tuyau sonore en T, sans branchement latéral, dont les distances OC et OA soient telles que l'amplitude donnée par une capsule branchée en A soit maxima, et que l’on ait un ventre au lieu d'observation (maximum de longueur des bâtonnets). Cette dernière condition est certainement moins bien remplie que la première, car la longueur des bâtonnets formés par les poussières se mesure avec moins de précision que la longueur des

Fig. 33.

segments rectilignes donnée par la capsule, à cause de leur mouvement.

L'ouverture au ventre du tuyau (sur laquelle était branchée la dérivation en T) est fermée de façon étanche par un bouchon portant les différents obstacles que l'on veut y placer. Le montage est indiqué par les figures 33 a et 33 b. Il est possible, de l’extérieur, d'orienter convenablement l’obstaele et de le placer à la hauteur voulue.

Rs obstacles sont :

* Des fils métalliques rectilignes dont le diamètre varie de 0,1 à t: 6 mm. Ils sont placés pérpandieulaieent À à l'axe du tuyau et dans la direction de l'observation. Hs sont assez longs pour re environ les 2/3 du diamètre du tuyau.

2° Des demi-cylindres découpés dans un cylindre circulaire cl

par usure d’une moitié jusqu’au plan axial, le diamètre du cercle directeur variant de 1,5 à 6,3 mm.

be. af bits VONT Eh: : de

LS . à

3° Lames épaisses de section rectangulaire, les épaisseurs varient de 0,15 à 25 mm., les hauteurs de 1,4 à 27,2 mm. L'une de leurs faces est perpendiculaire à l’axe du tuyau et par conséquent au plan d'observation. Leur longueur (direction de l'observation) est suffisante pour occuper les 2/3 du diamètre du tuyau. Ces lames sont à arêtes vives et les angles des faces adjacentes sont droits. ;

4° Obstacles de formes variables, toujours cylindriques, la direction des génératrices étant celle de l'observation, et dont la section peut être : 1/2 cylindre creux, forme en V, en U, etc.

50 Des grilles à fils parallèles ou à fils parallèles et perpendiculaires.

6° Une fenêtre rectangulaire, dans un écran suffisamment grand.

Le sens de déplacement de la poussière sur sa trajectoire elliptique est déterminé visuellement par un stroboscope à lame vibrante, ce qui nécessite la présence d’un foyer supplémentaire (fig. 11 à). Pour photographier, il y a avantage à supprimer l’une des lentilles (fig. 3) et donc à compléter les données du cliché relatives à la forme des ellipses, par les données visuelles relatives au sens de parcours des trajectoires. J'ai donc préféré changer le montage, chaque fois qu'il fallait reconnaître un sens de circulation.

Ellipses. — 1° En principe, pour une amplitude convenable, au voisinage de toute discontinuité, au ventre du tuyau, à condition que cette discontinuité soit assez marquée, il y a des ellipses fixes que nous appellerons stationnaires; cela parce qu'elles persistent fort longtemps, immuables comme forme et comme position, dans le champ du microscope (fig. 34 a). Elles sont toutes égales entre elles, alignées le long d'une arête de l'obstacle qu'elles touchent presque par l’un de leurs sommets.

Pour une injection abondante d’amidon, on en voit un très grand nombre qui se projettent l’une sur l’autre, ce qui rend bientôt l'observation très difficile. Il suffit alors de donner un coup sec sur le tuyau pour en détacher quelques-unes; elles reviennent peu à peu mais il est possible d'observer et de photographier tant qu'il n’y a qu’une poussière pour former l’ellipse stationnaire.

Il n’est pas rare que deux ou plusieurs poussières s’agglutinent en une seule particule plus grosse dont la trajectoire est alors plus lumineuse et convient bien à la photographie. Il s’agit d’une véritable agglutination de mobiles et non pas de leur poursuite le long d’une même trajectoire.

Le sens de parcours des ellipses sur l’arc d’ellipse le plus voisin de l’obstacle, va du corps de l'obstacle vers l’arête ou vers la génératrice du cylindre qui en tient lieu.

2° Au mouvement vibratoire engendré par le téléphone s’ajoute, pour l’air du tuyau, un mouvement non périodique de circulation fermée dans un plan normal aux génératrices du cylindre obstacle.

38 JEAN GUITTARD Ce mouvement est décelé par les poussières elles-mêmes qu'on voit très régulièrement passer puis repasser près de l'obstacle, sans jamais s’arrêter sur leur ligne de circulation ou revenir en arrière.

Loin de l'obstacle, les poussières décrivent généralement des bâtonnets qu’on voit se translater, immuables en direction et grandeur, le long de la ligne de circulation. Quand la trajectoire périodique est une ellipse (non stationnaire) ; cette courbe se translate également, à peu près inchangée, au moins loin de l’obstacle.

La circulation peut se définir par des ovales, emboîtés les uns dans les autres, qui passent tous entre l'ellipse stationnaire et l'obstacle, où ils forment un réseau de lignes très denses; tandis que loin de l'obstacle, les lignes laissent entre elles un plus grand intervalle. Conséquemment, la vitesse de circulation est plus petite loin de l'obstacle, très grande entre l’ellipse stationnaire et l’obstacle. Là, ni bâtonnets ni ellipses ne sont visibles. Les mobiles ne sont identifiables qu’à quelque distance de l’obstacle, où les deux mouve-

S JS

(a) (è) Fig. 34.

ments se combinent pour boucler la trajectoire résultante, tant à l’approche qu’à l'éloignement.

En laissant se déposer la plupart des poussières, il est aisé d’en.

suivre pendant des minutes, une ou plusieurs, dont la circulation semble dévoir persister indéfiniment.

L’ellipse stationnaire semble la ligne limite de circulation, ligne périodique celle-là, ligne limite qui n’a pas de voisines. Les poussières passant entre elle et l’obstacle ont une vitesse tellement grande qu'elles sont rejetées sur des ovales de grandes dimensions.

Aucune poussière n’est visible à l’intérieur de l’ellipse stationnaire. Celles qui s’y trouvent accidentellement sont entraînées sur l’ellipse et s’y agglutinent à la poussière qui s'y trouve déjà.

30 La circulation observée dans le champ du microscope n’est en réalité que la projection sur le plan de visée de la circulation vraie, qui perce plus ou moins obliquement ce plan, suivant que l'on observe plus ou moins près des extrémités de l’obstacle, ou encore que l'obstacle est lui-même placé plus ou moins symétriquement par

rapport aux parois du tuyau. De là un phénomène remarquable, fré-

quemment observé, lorsque, après une abondante injection de pous-

sières, on maintient l'excitation pendant plusieurs minutes. Sans se -déformer et sans modifier leur orientation par rapport à l'obstacle,

plusieurs ellipses voisines s'associent en un faisceau ou paquet, de

. manière à se toucher par leurs petits axes, les grands axes restant

parallèles. Le paquet se met à tourner autour d’une droite fixe, parallèle à la direction commune des grands axes, comme le ferait un rouleau dont l’axe est fixe (fig. 34 b).

Le sens de rotation dépend de la dissymétrie du système. La durée d’une révolution (observable facilement quand le paquet contient seulement 2 ou 3 ellipses) n'a aucun rapport avec la période des vibrations et peut atteindre près d’une seconde. Elle est remarquablement constante pour un paquet constitué, variable d’un paquet à un autre, plus grande au milieu des lames que vers les extrémités.

Les poussières d’un paquet, dont chacune d’ailleurs est grossie par agglutination avec d’autres, semblent former un système assez volumineux pour subir l’influence de la dissymétrie de la circulation.

4° À ces questions de circulation on peut rattacher le fait suivant : Les grands axes des ellipses stationnaires sont parfois animés d’un mouvement oscillatoire, dans le plan de visée, autour du sommet voisin de l’arête (fig. 34 c). La période de ce mouvement est indépendante de celle du mouvement vibratoire du tuyau et beaucoup plus grande (de l’ordre de 1/2 ou 1 seconde). D'ailleurs elle varie suivant les cas et suivant la grosseur du mobile, alors que la période du mouvement vibratoire du tuyau est fixée invariablement à 1/100 de seconde.

Forme et position des ellipses stationnaires. — Pour une longueur d'obstacle de 2,5 cm. (suivant la direction de l’observation), on observe des ellipses stationnaires sur une longueur de 2 cm. au moins. L'observation vers l’axe du tuyau peut donc se ramener à un problème à deux dimensions, en éliminant la direction parallèle à celle de l'observation. La matière dont sont formés les obstacles n’intervient pas, pourvu qu'ils soient suffisamment rigides. Par exemple il n’y a pas d'ellipses stationnaires pour un- obstacle formé d’une mince feuille de papier.

0 Frzs cycinpriques. — On a quatre ellipses stationnaires disposées comme l'indique la figure 35 a, où le sens de circulation est représenté par la flèche. Le tuyau est supposé horizontal. Lorsqu'on fait croître le diamètre du fil de 6,1 mm. à 1,6 mm., les ellipses sont d'abord très peu ouvertes (ouverture à peine perceptible au microscope) et presque parallèles à l'axe du tuyau, la tangente horizontale supérieure au fil obstacle étant également à peu près tangente en dessus aux deux ellipses supérieures (fig. 35 b). Elles s'ouvrent peu à peu et se relèvent, jusqu’à avoir un petit axe qui est 1/3 du grand, leurs grands axes faisant avec l’axe du tuyau un angle de 45°

ho JEAN GUITTARD

environ. De plus, les ellipses s'éloignent peu à peu de l'axe de l'obstacle, cet éloignement s’opérant à peu près à 45° de l'axe du tuyau. La distance ‘du centre de l’ellipse à l’axe du fil est une fois et demie à deux fois celle du grand axe (fig. 35 c).

20 On peut ramener à ces fils de section circulaire, des here cylindres ou des lames terminées par des demi-cylindres (fig. 35 e et 35 f). En plus des ellipses stationnaires dues aux arêtes, dont il sera question au 3, on trouve deux ellipses. Lorsque le rayon du demi-cylindre augmente, les ellipses se déforment et ont un lent mouvement

Fig. 35.

d'oscillation autour d’une position déterminée; pour.un diamètre de 6,3 mm., les ellipses sont devenues des arcs de cercle, sans ouverture appréciable, parallèles à la section du cylindre (fig. 35 d).

3° Lames (Planche : g, À, it). — Les ellipses varient en nombre, position, grandeur et stabilité suivant :

a) Leur ABS celle-ci varie de 0,6 à 27,2 mm. ,l RARES étant inférieure à 0,6 mm. Si l’on maintient le milieu de la lame sur l’axe du tuyau (li. 36 a) on ne pus plus voir d’ellipses pour des hauteurs } supérieures à 18 mm. ; car le point est trop éloigné de l'axe du tuyau. C'est sans doute la réaction des parois du tuyau qui en est

- (ou l’amplitude du mou- axe

DISCONTINUITÉS AU VENTRE D'UN TUYAU SONORE Li

la cause. Si l’on maintient sur l’axe du tuyau l’un des bords horizontaux de la lame (fig. 36 b); les phénomènes sont les mêmes pour toutes les valeurs de À supérieures à 3 mm. C’est donc qu’à partir de cette valeur de À les mouvements aux deux bords hor:izontaux sont indépendants.

b) L’intensiié du courant

vement vibratoire). Une intensité déterminée convient le mieux à chaque cas. Par exemple : pour | (a) (6) une lame de hauteur :

h — 28 mm. et d'épaisseur HER 0,13 MM. ON a :

Si l'amplitude a (en l’absence d’obstacle) est inférieure à 3/10 mm. il n’y a pas d’ellipses stationnaires.

Si a—3/10 mm. : ellipses en léger mouvement, inclinées environ à 60° sur l’axe du tuyau.

Si a—4/io mm. : ellipses à peu près fixes, inclinées à 45°.

Si a—6/10 mm. : on a la limite des ellipses, inclinées à 30° et

__ plus éloignées de la lame.

Si a est supérieur à 6/10 mm. il n’y a plus d’ellipses.

c) L’épaisseur. Pour une épaisseur supérieure à 5 mm.il y a quatre ellipses stationnaires à chaque extrémité, avec le sens de circulation indiqué par la figure 35 g. Huit ellipses sont visibles, quatre à chaque extrémité, avec l’ensemble de la lame épaisse qui, en réalité, est un carrelet de 11 mm. de côté.

Remarque. — Quelle modification entraîne pour le mouvement vibratoire de l’ensemble du tuyau la présence d’un obstacle au ventre? L'amplitude des variations de pression étant mesurée par une capsule branchée au fond du tuyau, à l'extrémité opposée au téléphone, il n’y a pas de variations d’amplitudes lorsqu'on introduit la plupart des obstacles. Dans le cas d’une lame de 27 mm. de bauteur et de 30 de longueur (suivant la direction de l'observation) il ÿ a diminution de l'amplitude dans la proportion de 12 à 11; et cependant dans ce cas la lame occupe les 2/3 de la section du tuyau.

ho Griize. — Si les mailles sont suffisamment larges, les différents fils agissent séparément, chaque fil étant entouré de quatre ellipses stationnaires, comme dans le cas du 10 (fig. 37 a); c'est ce qui se passe pour une grille simple formée de fils de 0,8 mm. de diamètre et dont les axes sont distants de 3,8 mm. Il y a encore des ellipses pour des intervalles entre les fils de 1,5 mm. Pour une grille plus serrée, il n'y a pas d’ellipses stationnaires.

Dans le cas d’une grille à deux séries de fils perpendiculaires, il

L2 JEAN GUITTARD

n'y a pas d’ellipses, du moins pour les dimensions utilisées |

(3,8 mm.).

5° OBsraGLes Divers. — Il y a des ellipses stationnaires aux abords

de toute discontinuité, d'autant plus ouvertes et d’autant plus fixes |

que la discontinuité est plus accentuée (fig. 37 b, 37 c, 37 d). Les dimensions des figures sont données en millimètres. 6° FENÊTRE RECTANGULAIRE de 5 mm. de hauteur. Il y a des ellipses

0,45 Fe EN direction de l'axe du tuyau 7!

———-—- =----- G | 7 & à, (6) Gr 2 LE \@ :

2 7 0 \ DS 7 (a) (c)

stationnaires au voisinage de toutes les arêtes ; tout se passe comme s'il y avait quatre lames distinctes dont deux d’entre elles seulement, la supérieure et . l'inférieure sont disposées pour déceler la forme elliptique des stationnaires. Sur les bords verticaux de la fenêtre, les ellipses sont vues par la tranche comme des bâtonnets horizontaux parfaitement stationnaires.

ConcLusion. — Au moins pour des amplitudes convenables, il y a des ellipses stationnaires au voisinage de toute discontinuité.

Le grand axe de ces ellipses est supérieur aux grands axes des ellipses non stationnaires, s’il y en a, ou à la longueur des bâtonnets. Le rapport des deux vecteurs peut varier suivant les cas du simple au double. |

Il semble donc que les ellipses stationnaires se trouvent placées en un point où l'amplitude du mouvement (ou de la vitesse) est maxima.

On peut vérifier ce maximum. Il s’agit bien entendu de chercher

le maximum de la quantité V;, la vitesse réelle étant donnée en fonction du temps par V, cos Æat par exemple:

D Pour les bâtonnets, V, est proportionnel à leur longueur. Pour les “ellipses, V, est proportionnel au grand axe. En effet : prenons pour “axes de coordonnées les axes de l’ellipse, on a :

æ— Asin Æat onentire: r' = — À ka cos kat : ya y =B cos kat Re = — B ka sin kat

V= x"? + y? k?'a?(A? cos kat + B? sin? kat).

— Cette valeur est maxima pour at —o si A est le grand axe de … l'ellipse; on a alors : V2— k?a?A?. La vitesse V, est bien propor- « tionnelle au grand axe de l’ellipse.

Pour vérifier que les ellipses stationnaires correspondent à un * maximum de vitesse, il suffit donc de mesurer la longueur des diffé- » rents bâtonnets et les grands axes des différentes ellipses. On vérifie aisément sur les clichés que celui de l’ellipse stationnaire est le plus

grand.

… Hypothèses. — 1° La loi de Bernouilli : p/p + V?/2—F(f), où p est … la pression du fluide, p sa masse spécifique, V la vitesse, peut s’appli- … quer ici, avec cette particularité que la vibration étant stationnaire, … F(f)est la même fonction pour tous les points du tuyau, et que sa variation avec le temps n'exclut pas dans l’espace l'existence de L maxima et de minima localisés. Au maximum de vitesse doit corres- ? pondre un minimum de pression, minimum très apte à expliquer la 4 circulation non périodique, remarquablement persistante tant que 4 dure l'excitation et dont il a été question ci-dessus. É IL est paradoxal de trouver dans un mouvement vibratoire aësez 2 . , . . ] . , , . * « 5 ” rapide, l'application d'une loi qu’on a l'habitude de n’appliquer qu à

des régimes d'écoulement permanents. Le paradoxe cesse si l’on

- constate que les vitesses en tous les points du tuyau ont des vibra- 1 tions parfaitement synchrones, et que les maxima de l’amplitude, : décelés par l'observation en certains points du tuyau, entraînent … comme conséquence des maxima de la vitesse instantanée aux mêmes É | > à

bat:

points. Si le régime n'est pas permanent, il y a permanence du maximum de vitesse au point occupé par l’ellipse stationnaire. > Le cas le plus simple est évidemment celui d’un obstacle - constitué par un fil à section circulaire (4). Le problème peut être réduit à deux dimensions. Nous admettrons qu'il y a au voisinage de l'obstacle superposition de deux ondes : l’onde stationnaire et une ondediffractée par l'obstacle. Il suffit donc de prendre un potentiel des vitesses correspondant à l’onde stationnaire et de lui ajouter un

neue

Lh Nb JEAN GUITTARD a îl

potentiel correspondant à l’onde diffractée; avec les conditions au: | limites : le long de la surface du cylindre la vitesse doit se réduire. sa composante tangentielle, et, loin def l'obstacle, on doit retrouver l’onde station} naire seule. NES 1| Le potentiel des vitesses pour l’ondél stationnaire, à un coefficient près peu s’écriré : |

Fe eikat( eikr cos 8 __ L—ikr cos 8,

Dans cette formule a est la vitesse du : son dans le tuyau, 4 — 2r/1 — 2rN/a,

Fig. 38. | ; 1|

r et 0 sont les coordonnées polaires par

rapport à l’axe du fil cylindrique dont laÿ

trace sur le plan de la figure est le pôle, et à l’axe du tuyau qui | |

l’axe polaire (fig. 38). Le potentiel qui, par dérivations convenablesk donnera les composantes de la vitesse sera la partie réelle de ®. Ces potentiel, abstraction faite du facteur e’“tt se décompose en série def

Fourier, au moyen des fonctions de Bessel de première espèce ; on al ainsi : | |

: Me ur op, = (zikr — 1) cos 9 — à cos 30.

Nous nous sommes limités aux termes du troisième degré en kr, qui

est petit. En effet on a approximativement : # = 336 508 — 1>9. 10

—+ par millimètre, r ne dépassant guère 2 mm.

D'autre part, le potentiel des vitesses pour l'onde diffractée doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles : :

CNET Ne r'IDTe

ou bien en posant 4 — 4, etat, 4, vérifiera l'équation A4, + 42, — 0. | Si dA est décomposé en série de Fourier, série de cosinus à cause de |

la symétrie par rapport à l'axe du tuyau, on aura pour les différents coefficients B, de cette série l’équation différentielle :

d?B 1 dBhr n? :

Deer + (rt — EJB, = 0.

Si on pose kr — £ et que l’on divise par k£?, on aura l'équation de

dB r dB, r° F :

Bessel Jet LS a a (: — + )B, — 0. n étant un nombre entier

la solution générale sera : Bio LENS La détermination des coefficients a, et b, se fera en écrivant que sur le cylindre de rayon c, la vitesse est tangentielle (TN

“ a) En première approximation (termes de degré o en kr ou kc), on trouve :

4 = Fe 2 -

à 1) | a. V,— — 2(1 — c?/r?) cos 0 4 | | — Vo — — 2(1 + c?/r?) sin 8

par exemple sin at. |

— Ce résultat fait retrouver les composantes de la vitesse pour un écoulement continu, de vitesse uniforme au loin et égale à 24, avecun obstacle constitué par un cylindre circulaire immergé. | - Ces formules ne donnent pas l'explication du phénomène : d’abord as d’ellipses puisque le facteur fonction du temps est le même pour es deux composantes : ensuite pas de maximum de la vitesse V ou de on carré V2 — V° + Vi.

Il est certain que les expériences sont faites dans des conditions trop oignées de celles des petits mouvements et, par conséquent, on ne eut se limiter aux premiers termes. Pour une amplitude de 0,2 mm., celle des variations de pression est de l’ordre de 500 baryes, celle de “la vitesse est 2r.N.0,2 — 125 mm. par seconde.

= Dans le cas d’un écoulement constant avec un obstacle cylindrique,

2 te, ; RS V. , “on fait intervenir le nombre de Reynolds défini par : R=— = , V étant

Ja vitesse de l'écoulement, v le coefficient cinématique de viscosité du “fluide. Pour une vitesse d'écoulement maxima de 12cm. par seconde, € — 0,5 mm. — 0,09 cm. et y — 0,14 C. G. S. on a R — 4,3. Cette aleur est trop grande pour que l’on puisse se servir des formules ci-dessus. Il y a, à l'arrière du cylindre (alternativement des deux . côtés) formation de deux tourbillons.

… Pour avoir un nombre de Reynolds plus petit que 1, il faudrait prendre une amplitude dix fois plus petite, pour laquelle les phéno- “mènes ne sont plus mesurables, et d’ailleurs pour laquelle il n’y a “probablement pas d’ellipses stationnaires.

“ bp) En deuxième approximation (termes du troisième degré en kr “ou Æc) on trouve des formules non maniables (‘), mais qui donnent des ellipses.

Lure LC | k2c2 ë ] a l se | (] Sir (55 +3)+ CE RE ec NC rein he D Se 2 n2 6 Lk2c? 2 TE 1) cos 30 sin Fee (5 :) cos 0 cos kat te 2 VA

k?r? 5e c? c? kc kr à

Ce +:)+ Te (-+ Lo = —i)-re(s lg log —) ]sin 9 kr?

mi

C étant la constante d'Euler,

6 ke? 2 c? ; (7 #) sin 30 sin at — (5 #1) sin 0 cos kat