LE DOS

belle Et de Poinsot, relative au cas où il n’y a pas de force, le reproche qu’elle ne donnait pas une représentation du temps. Darboux combla cette lacune et construisit même, avec le concours de M. Kœænigs, un mécanisme représentant complètement le mouvement à la Poinsot. Rappelons encore un mémoire sur l'équilibre astatique, une étude sur le choc des COrPS, où l’on trouve une analyse délicate de ce phénomène dans le cas du frottement, en tenant compte du fait que la vitesse relative tangentielle des corps en contact peut devenir nulle pendant

la durée du choc, et enfin des recherches sur les systèmes arti-

culés. ‘

Dans cette période, entre 1870 et 1880, l’ activité scientifique de Darboux fut prodigieuse. Ses mémoires d’ analyse pure ne sont pas moins importants que ses travaux de géométrie et de mécanique. Un des,objets de l’analyse abstraite est l’étude de l'idée de fonction, c’est-à-dire de dépendance entre deux ou

* plusieurs grandeurs. Il a fallu longtemps avant qu’on se rendît .

compte de l'étendue extraordinaire de cette notion; c’est là d’ailleurs une circonstance qui a été heureuse pour les progrès de la science. Si Newton et Leibnitz avaient pensé que les fonctions continues n'ont pas nécessairement une dérivée, le calcul différentiel n'aurait pas pris naissance. Il est indispensable que les choses paraissent d’abord simples. Sans vouloir trop généraliser, on peut dire que l'erreur est quelquefois utile; à certaines époques, une vérité seulement approchée s’est montrée plus féconde que ne l'eût été une connaissance plus complète. Ainsi Newton n'aurait probablement pas découvert les lois de la gravitation universelle, si, au début de ses travaux, il n'avait par regardé les lois de Kepler comme entièrement rigoureuses. Pour en revenir à l’idée de fonction, c’est seulement après les merveilleuses découvertes du xvitre siècle et du commencement du x1xe® siècle en mécanique et en astronomie, que l’esprit critique s’en empara et chercha à l’approfondir dans.toute sa généralité. Cauchy a été dans ce domaine, comme dans tant d’autres, un précurseur, mais il trouva d’abord à l'étranger des continuateurs. En France, le mémoire de Darboux swr les fonctions discontinues, paru en 1875, marque une date dans l’histoire des principes du calcul infinitésimal. On y trouve une proposition fondamentale sur les intégrales par excès et par défaut, et de nombreux exemples de fonctions continues n’ayant pas de

ées. oc ux Éeobtait plus tard que ce mémoire avait été

>iderr nt accueilli par plusieurs de ceux qui habituellement 2 intéressaient à ses travaux. Ils l'avaient dissuadé de labourer = mps le amp stérile des fonctions qui n'ont pas de

parcourir avec succès des voies très diverses, mais ses goûts pe le avaient ‘toujours porté vers des résultats plus concrets et sus- cep ptibles d’une application moins lointaine. Il le montrait: brillamment peu après dans son mémoire sur l'approximation - des jonctions de très grands nombres qui est une de ses productions les plus originales. ; On rencontre fréquemment, tant en analyse qu'en méca- = nique céleste et en physique mathématique, des expressions dépendant d’un entier très grand, dont il importe d’avoir une - valeur approchée. L'étude des singularités, sur son cercle de : convergence, d’une série entière associée peut, dans des cas Fa ‘étendus, conduire à l’approximation cherchée. Cette idée simple È > permit à Darboux de compléter des résultats obtenus par l'illustres devanciers tels que Laplace et Cauchy, et de faire de nouvelles applications. Ses procédés ont été ensuite utilisés en mécanique céleste pour trouver une expression approchée des + termes de rang élevé dans le développement de la fonction per- É turbatrice. Plus récemment, Poincaré a étendu la méthode de Darboux au cas des fonctions de deux variables: c'est de là qu'il put déduire en toute rigueur ce résultat profondément - caché, que le problème des trois corps n’admet pas d'autre Fr uniforme que les intégrales connues des aires et des forces vives. Le principe fondamental du mémoire de Darboux £ a été aussi utilisé par M. Hadamard dans ses études sur les déve- loppements en séries de Taylor.

- Darboux montra aussi un sens analytique très fin dans son mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles, couronné en 1877 par l’Académie, où il a donné F or définitive de certains paradoxes souvent signalés dans cette théorie. Il faut encore mentionner son travail sur les équations différentielles ordinaires du premier ordre et du premier degré, où est établie la possibilité d'obtenir l'intégrale à PE quand on connaît un nombre suffisant de solutions É £ paies

A la mort de Chasles en 1880, Darboux devint professeur de : géométrie supérieure à la Sorbonne. Cette chaire avait été fondée en 1846, sur la proposition de Poinsot, et Chasles en avait été le premier titulaire. Pendant de longues années, le grand géomètre avait initié ses auditeurs à ses découvertes sur les sections coniques, sur les quadriques, sur les courbes planes et gauches, sur les transformations géométriques, sans négliger l’histoire des sciences, dont il avait écrit jadis un admirable chapitre dans l’Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie. Les travaux de Chasles étant devenus classiques, le nouveau professeur fut conduit à donner une autre orientation à son enseignement. La géométrie infinitésimale y prit une place prépondérante. Darboux a occupé cette chaire pendant 36 ans, et l'on peut répéter à son sujet ce qu'Arago a écrit de Fourier : « La nature l’avait doué au plus haut degré du talent d’enseigner, et il a laissé la réputation d’un professeur plein de clarté, de méthode et d’érudition; j'ajouterai même la réputation d’un professeur plein de grâce, car notre confrère a prouvé que ce genre de mérite peut ne pas être étranger à l’enseignement des mathématiques. »

La carrière de Darboux suivait son cours normal. L'Académie lui avait donné en diverses circonstances des témoignages de : haute estime. Ses beaux travaux le désignaient pour la première place vacante dans la section de géométrie. Il y remplaça Puiseux le 3 mars 1884.

On a distingué chez les mathématiciens deux tendances d'esprit différentes. Les uns se préoccupent principalement d'élargir le champ des notions connues; sans se soucier des difficultés qu'ils laissent derrière eux, ils recherchent de nouveaux sujets d’études. Les autres préfèrent rester, pour l’'approfondir davantage, dans le domaine des notions mieux élaborées; ils veulent en épuiser les conséquences et s'efforcent de mettre en évidence dans chaque question les véritables éléments dont elle dépend.

Il suffit souvent aux premiers d’être assurés qu'un problème peut être résolu, et ils laissent à d’autres le soin de le résoudre

effectivement. On dirait, en leur appliquant un mot de Fonte- nelle à propos de Leibnitz, qu'ils se contentent de voir croître dans les jardins d’autrui les plantes dont ils ont fourni les graines, comme si l’art de découvrir était plus précieux que la + plupart des choses qu’on découvre. Les seconds s'intéressent ” moins aux généralités et pensent que seules ont du prix les solutions poussées jusqu’à leur dernier terme. . Aucune hiérarchie n’est à établir : l'esprit souffle où il veut; - et d’ailleurs nos classifications sont toujours insuffisantes par ae endroit. Nous rangerons, sans hésiter, parmi les premiers, un Henri Poincaré, inventeur de génie, qui, comme hs se souciait peu de donner à ses conceptions une forme définitive. On est tenté de rapporter aussi à la première tendance les mémoires de Darboux sur l'analyse pure, dont les conséquences ont été approfondies par d’autres plus que par lui-même; mais c’est par le souci de la perfection que se dis- £ tinguent la plupart des travaux géométriques de notre confrère, - qui cherchait à tirer d’une méthode tout ce qu’elle est susceptible de fournir. Il savait combien peut être féconde l'étude mine d'un cas simple. Il y démélait les éléments tenant au fond même de la question, et s'élevait progressivement aux généralisations dont elle était susceptible. Darboux excellait = aussi à établir des rapprochements inattendus entre des questions paraissant sans liens, ce qui donne à son œuvre géomé- Forge une cohésion et une unité remarquables.

Les mathématiciens sont souvent appelés géomètres. Notre - section de mathématiques pures s’appelle la section de géo- > métrie. . Or, plus d’un mathématicien éminent n’a jamais écrit une ligne sur la géométrie proprement dite, c’est-à-dire l'étude | des propriétés des figures faites à un point de vue synthétique, - sans aucun mélange de considérations analytiques. Les pro- - cédés de l'analyse mathématique et de la géométrie analytique . d’une part, de la géométrie pure d’autre part, ont été quel-

| quefois au siècle dernier opposés les uns aux autres. Les analystes

reprochaient aux géomètres de n'avoir pas de méthodes géné- __rales; les géomètres répliquaient, la phrase est de Poinsot, que «les calculs longs et difficiles sont le plus souvent la preuve que notre esprit n’a point, dès le commencement, considéré les . choses en elles-mêmes et d’une vue assez directe ». On se rap- pelle aussi l’amertume des préfaces de Poncelet au sujet des

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réserves faites par Cauchy sur certains principes de son Traité :

des propriétés projectives.

Dans ces discussions, tous avaient tort en quelque manière. L'analyse, avec ses notations de plus en plus perfectionnées, constitue une langue d’une admirable clarté, qui, suivant le

mot de Fourier, n'a pas de signe pour exprimer les notions:

confuses, et le calcul possède une admirable puissance de trans-

formation; dans des questions très complexes, on pourrait

regarder les choses directement et en elles-mêmes jusqu’à la fin des temps, sans faire aucun progrès. De plus, le simple jeu des symboles peut suggérer des généralisations, en créant des types de relations analytiques, comme le montre l’histoire de la mécanique et de la physique mathématique ; il est clair que, dans ce cas, il appartient ensuite à l'expérience de vérifier si l'instrument forgé est assez souple pour se prêter à des concordances expérimentales. On entend dire quelquefois qu’il n’y a

dans une formule que ce qu'on y a mis. C’est une phrase vide :

de sens ou c’est un pur truisme. Des résultats, identiques au fond, peuvent avoir des formes très différentes, et il arrive que la forme soit l'essentiel. Ainsi, il n’y a dans la mécanique céleste rien de plus que la formule de la gravitation universelle et quelques constantes fournies par l'observation: d’innombrables transformations de calcul font passer de ce ponit de départ à l'explication de presque toutes les particularités des mouvements des astres. -

On doit avouer d'autre part que, dans la coins des formules, on ne démêle pas toujours des faits simples, que mettent parfois en évidence des raisonnements purement synthétiques. Une méthode géométrique peut, chemin faisant, mieux explorer qu'une méthode analytique les alentours immédiats d’une question. On voit mieux le pays, quand on voyage à pied; il est vrai qu'on va moins loin. Notons aussi que, dans

certaines applications, des raisonnements géométriques per-

mettent de donner facilement une première approximation, à laquelle conduirait moins immédiatement l'emploi de l'analyse.

La conclusion s'offre d’elle-même. Rien n’est plus stérile que d'opposer la synthèse à l'analyse et inversement. On doit se garder de l’exclusivisme auquel se laissèrent jadis entraîner d’illustres mathématiciens, comme Poncelet et Chasles. Avant eux, Monge, dans ses applications de l'analyse à la géométrie,