RES DEPUIS UN DEML-SIÈCLE

ms oh à se : propose d'indiquer : ici succinctement la part prise par la France dans le progrès des mathématiques pures, pendant la e = seconde moitié du xIxe siècle et dans les premières années du > ‘siècle actuel, sans avoir la prétention de ‘donner en quelques pages un tableau complet, et en laissant de côté des travaux Se Fées, mu lesquels le recul paraît insuffisant.

z art la première moitié du xixe siècle, je voies les plus me fécondes avaient été ouvertes par Fourier, Cauchy et Galois. . L'ouvrage de Fourier sur la théorie analytique de la chaleur est = célèbre en physique mathématique ; : il contient le germe des ) méthodes employées dans l'étude des équations différentielles

3 séries célèbres qui cent le nom de Fourier ont fait. l'objet ; d'immenses généralisations. L'activité de Cauchy fut prodi- gieuse « et s'étendit à tous les domaines des mathématiques pures ref. appliquées. Sa plus grande création fut celle de la théorie des fonctions de variables complexes; il a ainsi donné une vie nouvelle à l’analyse mathématique, et, en ce sens, les travaux les plus modernes relèvent de lui. On doit les notions les plus essentielles sur la théorie des groupes à Évariste Galois, qui en a fait d’ admirables applications à à la théorie des équations algé- É briques et montra qu'à chaque équation correspond un groupe de substitutions dans lequel se reflètent les caractères essentiels de LS équation. D’ailleurs, les notions introduites par Galois

= (:) Chapitre consacré aux sciences mathématiques dans « Un demi- Da .. : D vd ; = : e A siècle de civilisation française (1870-1915) », Hachette, 1916.

dépassent de beaucoup en réalité le domaine de l'algèbre et s'étendent au concept de groupe d'opérations dans son acception la plus étendue. Si brève qu'ait été la vie de Galois, qui disparut à 20 ans dans une obscure querelle, il avait fait aussi en analyse des découvertes capitales sur les intégrales de différentielles algébriques, comme le montre une lettre écrite la veille. de sa mort. | Les trois grands noms que nous venons de citer sont représentatifs des mentalités que l’on rencontre chez ceux qui cultivent les sciences mathématiques. A ce sujet, il ne sera pas inutile d’indiquèr les points de vue divers sous lesquels ces sciences peuvent être envisagées. Pour Fourier, l'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. L’affirmation est exacte d'une manière générale; il est vrai, comme le dit l’illustre géomètre et physicien, que la physique a été souvent l’origine première de grandes théories analytiques, mais il ne faut pas ajouter que l'analyse est uniquement utile au physicien, parce qu’elle constitue une langue d'une admirable clarté, qui n’a pas de signe pour exprimer les. notions confuses et procure à la pensée une véritable économie. C'est méconnaître que le calcul a devancé parfois l'expérimen- ‘ tation, c’est méconnaître aussi l’admirable puissance de transformation du raisonnement et du calcul mathématiques. Des notions, identiques au fond, peuvent avoir des formes très différentes, et il arrive que la forme soit essentielle; telle aussi l'énergie peut être constante en quantité, mais variable en-qualité. La phrase, quelquefois citée, qu'il n y a dans une formule que ce que l’on y a mis, est vide de sens ou n’est qu’un pur truisme. Il n’y a par exemple dans la mécanique céleste que la loi de la gravitation universelle et quelques constantes fournies par l'observation, mais d'innombrables transformations de calcul nous font passer de ce point de départ à l'explication de presque toutes les particularités des mouvements des astres. Ce n'est pas assez non plus que de vanter la clarté du langage analytique; en fait, il à joué un rôle important pour la plus grande extension des principes. Par le simple jeu de ses formules, l'analyse peut suggérer des généralisations dépassant beaucoup le cadre primitif. N’en a-t-il pas été ainsi avec le principe des déplacements virtuels en mécanique, dont l’idée première vient des mécanismes les plus simples ? La forme analytique qui le

(rg.

dust, où ÉRopiisent- des sommes de rod de deux

facteurs, suggéra des extensions qui conduisirent de la méca-

nique rationnelle à la mécanique chimique à travers la physique tout entière. Un autre exemple est encore fourni par les équa- - tions de Lagrange; ici des transformations de calcul ont donné le Li des équations différentielles, auxquelles certains ont proposé de ramener la notion d'explication mécanique. Le mäthématicien a créé un moule témoignant de l'importance de : - la forme d’une relation analytique; il va de soi qu’il appartient … à l'expérience de vérifier si l'instrument forgé est assez souple pour se prêter aux concordances expérimentales.

Si la mécanique et la physique mathématique sont pour le

. mathématicien pur une mine fructueuse, il s’en faut de beaucoup

que les questions de philosophie naturelle soient l’unique objet

. de ses méditations. On le comprend assez par ce qui précède, et la marche n’est pas parallèle entre la théorie pure et ses appli-

cations. Le monde des formes et des grandeurs abstraites est

en lui-même un sujet d’études, sur lequel l’esprit humain fait travailler les règles logiques qu'il a lentement élaborées à tra-

vers les âges. L’imagination a aussi sa part dans ces recherches,

. et la mathématique a une valeur à la fois scientifique et artis-

tique. Lx, comme dans bien d’autres domaines, le beau et l’utile -se rejoignent parfois, et des spéculations théoriques, restées

. pendant longtemps éloignées de toute application, ont pu un

jour être utilisées. Beauté et simplicité vont d'ailleurs de pair,

- et l’on sait que le mot élégance revient souvent sur les lèvres des

géomètres.

Le xvrre et le xvirre siècle virent presque toujours les mathé-

. matiques et leurs applications cultivées par les mêmes savants.

Ildevait arriver un moment où des spécialisations s’établiraient ;

- c’est une loi générale, qui régit malheureusement tous les ordres de recherches, et à laquelle échappent seuls quelques rares

esprits, assez puissants pour ne pas avoir à sacrifier l'étendue à la profondeur. Les problèmes analytiques posés exigeaient

de nouveaux perfectionnements. Une ère nouvelle commençait

pour les mathématiques, rappelant, toutes proportions gardées,

les temps où la géométrie grecque, devenue autonome, s'était

séparée des spéculations cosmogoniques auxquelles elle avait été hiée à une époque antérieure. Fourier et Poisson cultivèrent à peu près exclusivement les parties de l'analyse se rapportant

sde Se,

$ Ka 124 V2. k à la physique, tandis que les recherches de Galois furent d’un caractère essentiellement abstrait. Quant à Cauchy, il fut à la fois un grand théoricien de la physique et de la mécanique, et un inventeur de génie en mathématiques pures.