I. — LES FONCTIONS ANALYTIQUES

Plaçons-nous maintenant dans les environs de 1850. Cauchy, avons-nous dit, est le créateur de la théorie des fonctions analytiques; non pas qu'il l’ait présentée d’une manière didactique. Son esprit, toujours en travail, se souciait peu de donner à ses conceptions une forme parfaite. Les lois des fonctions analytiques appliquées à des fonctions particulières ont souvent ; donné avec facilité leurs principales propriétés. La théorie des fonctions elliptiques en offre un mémorable exemple. Aïnsi Liouville a traité le premier de la théorie générale des fonctions doublement périodiques; peu après, Hermite intégrait le long d'un parallélogramme de périodes et obtenait la décomposition fondamentale en éléments simples. Le mémoire de Puiseux sur les fonctions algébriques d’une variable a fait époque, en donnant une idée précise d’un mode d’existence de fonctions non uniformes; c’est dans ce travail qu'est posée nettement la notion de période d’une intégrale, indiquée seulement par Cauchy. Briot et Bouquet ont été aussi parmi les premiers pionniers mettant en lumière la fécondité et la puissance des idées de Cauchy. Leur étude sur certaines équations différentielles à intégrales uniformes, et surtout leur mémoire sur les singularités correspondant au cas où le coefficient différentiel est indéterminé, resteront dans l’histoire de la ssience; ce dernier travail appelait pour la première fois l'attention sur les points singuliers. Dans leur grand ouvrage sur les fonctions elliptiques, Briot et Bouquet ont voulu, suivant leur propre expression, rendre à Cauchy la justice qui ne lui a pas toujours été rendue. =

On voit combien à ses débuts la théorie des fonctions d’une variable complexe a été une science essentiellement française; elle est toujours restée en grand honneur chez nous. Depuis : 40 ans, une partie importante de notre effort a été consacrée, soit aux fonctions analytiques en général, soit à certaines fonc-

$ Ét an Se ue 3 - fonctions analytiques ont fait pendant de nombreuses

ées l'objet de l’enseignement d’Hermite; citons d’abord Emi céux qui ont fait progresser la théorie générale les noms Laguerre, Poincaré, Picard, Appell, Goursat, Painlevé,

intégrale nulle le long d’un contour supposait la continuité de érivée ; -Goursat montra que cette hypothèse est inutile. se si et ses premiers disciples français avaient séulement sidéré é les pôles des fonctions uniformes. Le géomètre alle-

: DST de fs toute valeur donnée, une Éérebtibe étant < seulement pour deux valeurs au plus; diverses conséésultent de là pour les fonctions entières. La démonstratio: utilisait la fonction modulaire de la théorie des foncns elliptiques, fonctions à à singularité plus élevées présentant précisément la propriété qu'on veut démontrer être impossible. Ces propositions donnèrent lieu à un grand nombre de ux. Borel, le premier, indiqua le principe d'une démonsration, où n’intervenait pas la transcendante indiquée. : Depuis 1880, les généralités sur les fonctions uniformes, mises = sous forme de séries ou de produits infinis, ont été étudiées par géomètres cités plus haut. Rappelons notamment les devepements, en séries de polynomes, d’Appell et de Painlevé, les onctions à espaces lacunaires de Poincaré et de Goursat, et plus récemment certains développements de Montel. L'étude des séries entières sur leur cercle de convergence est la plus haute importance. Dans son beau mémoire sur DEnanon des fonctions de grands nombres, Darboux -a’tiré un parti très heureux du cas où les singularités sur ce ‘cercle sont de nature simple. Le travail d'Hadamard sur cette question « est Es et a PPS en es l'attention

, Borel. La démonstration du théorème de Cauchy es

sur des cas étendus où te cercle de convergence est une coupure :

il a été suivi dans cette voie par Borel, Leau et Fabry; celui-ci

a pu établir que, en général, le cercle de convergence est une coupure. La considération d’une certaine intégrale définie par Hadamard a été féconde et fut l’origine de nombreuses recherches ultérieures.

La notion de genre a été introduite par Laguerre dans la

théorie des fonctions entières; elle est intimement liée à la dis-

tribution des racines de la fonction. Poincaré a donné une con-

dition nécessaire pour qu’une fonction soit de genre donné. Hadamard put démontrer que la condition est suffisante, et il

établit un lien entre la décroissance des coefficients et la crois-.

sance des racines; de ces résultats il a fait une application remarquable à l’étude d’une fonction célèbre considérée par Riemann

dans la théorie des nombres premiers. Borel s’est occupé avec -

grand succès de la distribution des racines des fonctions entières et de l'impossibilité de certaines identités; il a étudié, après Hadamard, la difficile question de la croissance des fonctions entières, sujet qu'ont encore approfondi dans des études récentes Boutroux; Denjoy et Valiron. …

La notion de série divergente sommable, telle qu’elle a été

posée par Borel, s'est montrée très féconde pour l'extension . d'une série entière au delà de son cercle de convergence, même

dans le cas où le rayon de ce cercle est nul. On doit à Painlevé

d'importants développements dans cet ordre d'idées, qui se :

raccorde avec les résultats de Mittag-Leffler sur l'étoile d’une fonction. La plupart des travaux précédents ont été exposés d’une manière didactique dans une collection précieuse sur la théorie des fonctions, publiée par Borel et ses collaborateurs français Lebesgue, Boutroux, Baire, Montel qui y font aussi connaître leurs travaux personnels.

La théorie générale des fonctions multiformes présente de

grandes difficultés. Poincaré a démontré à ce sujet un théorème

remarquable et bien inattendu : étant envisagée une fonction .

multiforme quelconque d'une variable, on peut exprimer fonction et variable par des fonctions uniformes d’un paramètre, résultat considérable qui montre que, au moins théoriquement, les fonctions multiformes se ramènent aux fonctions uniformes.

Painlevé a fait une classification rationnelle des singularités des fonctions analytiques.

ble on | passe à deux variables, les difficultés augmentent considérablement, L'extension aux intégrales - doubles du théorème fondamental de Cauchy relatif aux intégrales prises le long d’un contour a été réalisée par Poincaré; on en déduit la notion de résidu d’une fonction rationnelle. Il faut encore citer le théorème de Poincaré sur la possibilité de À mettre sous la forme de deux fonctions entières toute fonction 2 uniforme n'ayant que des singularités non essentielles à dis- - tance finie, résultat étendu par Cousin à-un nombre quelconque de variables.

: tes maintenant un coup d'œil sur quelques fonctions LÉ Er T1 n’en est pas qui aient été plus étudiées que les fonc-

#Æ tions algébriques d'une variable depuis le mémoire de Puiseux. : La notion capitale du genre d’une courbe algébrique avait été : entrevue “par Abel: elle fut certainement approfondie par EE Galois, comme le montre une lettre rappelée précédemment. ; Mais. Ja théorie fut complètement reprise par Riemann et . Weierstrass, et poussée à un haut point de perfection. Les inté- . grales de différentielles algébriques ont fait, au point de vue

de la réduction, l'objet des travaux de Picard et de Poincaré.

Appel s'est occupé des fonctions à multiplicateurs, et, dans le cas elliptique, a étudié les développements en éléments simples Re des fonctions doublement périodiques de troisième espèce. La

Len

3 A découverte des fonctions, que Poincaré a appelées fonctions

… fuchsiennes, -et qui restent invariables, par les substitutions Fe d'un groupe linéaire discontinu conservant une circonférence, E. restera à jamais mémorable. Ces fonctions lui ont permis de = , faire une représentation paramétrique uniforme d’une courbe L. algébrique quelconque : c'est là certainement un des résultats SR — plus profonds obtenus depuis 50 ans en analyse. Les fonc- Le tions fuchsiennes correspondant à une courbe de genre supé- rieur à l'unité ont comme singularités essentielles soit la circon- férence entière, soit sur celle-ci un ensemble parfait discontinu de points; c'est ce qui résulte d'un théorème général de Picard, Fe. d’après lequel deux fonctions uniformes autour d’un point, Es. liées par une relation algébrique de genre supérieur à #wn, ne e peuvent avoir ce point comme point. singulier essentiel isolé. # = y a des groupes linéaires plus généraux que les groupes - fuchsiens; Poincaré les étudie sous le nom de groupes kleinéens.

La circonférence ici est remplacée par des courbes étranges

ayant en chaque point une tangente, mais n'ayant pas de courbure.

On peut développer les (nee non seulement en séries et

produits infinis, mais les mettre aussi sous forme de fractions

continues. Laguerre et Halphen ont signalé à ce sujet des cir-

constances curieuses, et un mémoire de Stieltjes renferme des résultats généraux sur la convergence de certaines fractions continues, convergence qui peut cesser le long de certaines lignes. Au point de vue historique, Laguerre paraît avoir donné le premier exemple d'une série divergente, d'où l'on peut déduire une fraction continue convergente. |

Dans le champ des fonctions spéciales de plusieurs ie les fonctions abéliennes ont été le plus étudiées. Les mémoires d’'Hermite sur la division et la transformation de ces fonctions sont classiques. Poincaré, Picard et Appell ont donné diverses démonstrations de la relation, énoncée par Riemann, entre les périodes d’une fonction de # variables à 2 » périodes. Cousin a été le plus loin dans cette voie, en étudiant les relations entre les périodes d’une fonction de » variables à # + 2 périodes. Les fonctions abéliennes singulières ont été l’objet des travaux

d'Humbert, qui en a tiré des résultats intéressant non seule-"

ment la théorie des fonctions, mais aussi la géométrie et la théorie des nombres. On doit à Hermite l'étude de polynomes : généralisant lés polynomes de Legendre, et il a été suivi par Didon et par Appell qui a découvert aussi des séries hypergéométriques de deux variables. Des transcendantes nouvelles présentant un théorème de multiplication et comprenant comme cas particuliers les fonctions abéliennes, ont été introduites par Poincaré et par Picard. | Après les études de Poincaré sur les fonctions fuchsiennes, il était naturel de rechercher des groupes discontinus à deux variables et des fonctions correspondantes. Les types sont ici très nombreux. L'étude des groupes linéaires et de certains groupes quadratiques a été abordée par Picard et l’a conduit aux fonctions hyperfuchsiennes et hyperabéliennes. Quand on passe d’une à deux variables, les différences sont profondes dans la théorie des fonctions algébriques, comme il résulte des travaux de Picard, qui a posé les principes de la théorie des intégrales de différentielles totales et des intégrales

E He ess une surface brin ainsi que de leur - périodicité. Les nombres des intégrales distinctes, simples et doubles, de seconde espèce sont deux invariants fondamen- __ taux de la surface. Il faut y ajouter un troisième invariant découvert aussi par Picard, en relation étroite avec les courbes algébriques tracées sur la surface. Certains points de la théorie

… des surfaces algébriques peuvent être rapprochées de questions

de géométrie de situation, questions difficiles, quand on les prend . dans toute leur généralité, et sur lesquels Poincaré a écrit de

4 profonds et difficiles mémoires. Les surfaces hyperelliptiqués,

… signalées d’abord par Picard, ont été étudiées d’une manière

- approfondie par Humbert, qui a découvert à leur sujet des

théorèmes d’une grande élégance.

3 Je ne veux pas terminer ce chapitre consacré aux fonctions analytiques sans rappeler que, dans ces dernières années, Borel à insisté sur ce que, des deux notions, l’analyticité au sens de Weierstrass, et la monogénéité au sens de Cauchy, c'est cette

dernière qui est l'essentiel. La théorie des fonctions analytiques

. ne sérait donc qu’un cas particulier de la théorie des fonctions

__ monogènes.

IT. — Les ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Au xvrre siècle, le développement de la dynamique nais- - sante fut l’origine des plus grands progrès de l'analyse. Ce fut . une époque décisive dans l’histoire de la science que le moment - où l'on se rendit compte avec précision que l'étude des phénomènes naturels était susceptible de prendre une forme mathé- - matique, et cela surtout, quand le développement de la mécanique conduisit à postuler que les modifications d’un système dépendent uniquement de l’état actuel de celui-ci ou, tout au plus, de cet état et de l’état infiniment voisin. On fut ainsi 4 conduit à des équations différentielles, c’est-à-dire à des relaà tions entre des fonctions et leurs dérivées. Cette idée a, depuis - le xvrrre siècle, orienté le développement de l’analyse. Les pro-

blèmes posés par la géométrie eurent aussi une part dans cette orientation. On voit donc l'importance de la théorie des équa- tions différentielles dont nous ations < suivre maintenant les prinpepe progrès.

te

C’est à Cauchy que l’on doit les premières démonstrations rigoureuses de l'existence des intégrales des équations difiérentielles. Quand les équations et les données sont analytiques, l'idée essentielle consiste dans la considération de fonctions majorantes; pour le cas général des systèmes d'équations aux dérivées partielles, la démonstrâtion complète a été donnée par Riquier, Delassus et, dans un ordre d'idées un peu différent, par Cartan. Il y eut longtemps quelques hésitations sur la notion même d'intégrale générale pour une équation aux dérivées partielles; Ampère et Cauchy ne se plaçaient pas au même point de vue. Goursat a montré que le point de vue de Cauchy est plus général que celui d'Ampère. |

Sans supposer les éléments analytiques, Cauchy a donné une méthode pour établir l'existence des intégrales des équations différentielles ordinaires; les développements ainsi obtenus restent valables tant que les intégrales restent continues et laissent continus les coefficients différentiels, comme l'ont. montré Picard et Painlevé. Pour le problème classique et d’autres ‘plus généraux, quant aux conditions aux limites, on peut utiliser des méthodes d'approximations successives, dont Picard a donné des exemples très étendus, et qui présentent une grande marge dans leur application, comme l'ont montré ensuite les travaux d'Hadamard, de Coulon, d'Adhémar, de Cotton et autres,

Les équations linéaires sont particulièrement simples. L'étude des points singuliers réguliers avait été faite en Allemagne par Fuchs. Pour les points irréguliers, Poincaré a fait connaître des représentations asymptotiques très cachées des intégrales,

valables sur un rayon partant du point singulier, mais pouvant

varier quand le rayon change. Une admirable découverte de Poincaré, se rattachant à ses travaux sur les fonctions fuchsiennes, fut l'intégration des équations linéaires algébriques à points singuliers réguliers, au moyen de séries thétafuchsiennes. Parmi les équations spéciales, citons les équations hypergéo- | métriques de Goursat, l’équation de Lamé intégrée par Hermite, les équations de Picard à coefficients doublement périodiques et à intégrale uniforme, les équations d’Halphen intégrables par des exponentielles et des fonctions rationnelles. Re.

Dans les équations non linéaires on ne peut habituellement tirer aucun parti de solutions particulières pour avoir l'inté- 4

ue ruines. Les résultats anciens de Briot et Bouquet

ont été d'abord complétés par Poincaré et par Picard, puis

- ensuite par Autonne et Dulac; mais c'était là une étude locale” ee En dehors des points singuliers visibles sur l'équation, il peut

21 en avoir d’autres variables d’une intégrale à l’autre. Ceux-ci,

d’après Painlevé, sont nécessairement des points critiques algé-

- briques pour les équations du premier ordre, et Poincaré, com-

- plétant un résultat de Fuchs, avait montré que l’on est ramené,

dans le cas des équations du premier ordre à points critiques

fixes, à des quadratures ou à une équation de Riccati. Picard avait indiqué que la méthode de Poincaré ne pouvait pas = s'étendre : au second ordre, à cause de la possibilité d’une transformation univoque non birationnelle pour une surface. Les difficultés étaient considérables ; elles ont été brillamment levées par Painlevé dans une série de travaux très remarquables qui . le conduisirent à tous les types d'équations à points critiques Fe fixes. Dans la voie ouverte par Painlevé, ont marché avec succès É- P Boutroux, Gambier, Chazy, et Garnier.

L'étude des équations différentielles dans le champ réel est

E te pour la géométrie et la mécanique. Poincaré a consacré

nombreux mémoires à la question des courbes définies par

des équations différentielles. Le cas le plus simple est celui des pe. re du premier ordre et du premier degré; la nature des points singuliers, foyers, cols, nœuds, est d’abord discutée, puis sont envisagées les courbes intégrales fermées (cycles) et celles # “qui -sont asymptotes à un cycle limite. Pour les équations du + premier ordre et de degré supérieur, le genre d'une certaine . surface fermée intervient dans la discussion, et ce n’est pas un des moindres mérites de Poincaré d’avoir montré le rôle de la géométrie de situation dans ces questions. Parmi les recherches qui ont suivi, il faut au moins citer les études de Painlevé sur les trajectoires en dynamique et celles d'Hadamard. Celui-ci # montre notamment que l'allure des géodésiques dans les sur- 2 faces à courbures opposées et à connexion multiple peut .dépendre des propriétés arithmétiques de constantes d'intégration.

Les conditions pouvant ane une intégrale d’une équa-

tion aux dérivées partielles sont très variées. Nous avons parlé du problème de Cauchy; l'étude des cas exceptionnels de ce problème conduit à la notion des multiplicités caractéristiques, vaguement entrevue par Monge et Ampère. Pour les équations linéaires du second ordre à deux variables, la détermination d'une surface intégrale par la condition de passer par deux caractéristiques a été d’abord étudiée. Dans son grand ouvrage sur la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, Goursat a ajouté aux résultats antérieurs ceux de ses belles recherches personnelles. Beudon, Hadamard, Delassus et Le Roux ont aussi réalisé d'importants progrès dans l'étude des caractéristiques.

Pour les équations particulières, les conditions aux Lei sont le plus souvent fournies par la géométrie ou la physique. Il arrive en général que tous les éléments envisagés sont réels, et la nature des caractéristiques joue un rôle essentiel dans la position des problèmes. Picard a montré que, pour les équations linéaires, toutes les intégrales sont analytiques quand.les caractéristiques sont imaginaires. Les problèmes sont si variés qu'il est impossible de parler de méthodes générales. Cependant, dans des cas étendus, on peut employer les méthodes d’approximations successives de Picard, dont nous avons déjà parlé plus haut; dans d’autres cas, une solution particulière, présentant certaines discontinuités, joue un rôle essentiel : telle la fonction de Green pour le potentiel. On doit de nombreux travaux sur ce sujet à Poincaré, Picard, Hadamard et leurs élèves d'Adhémar, Le Roy, Coulon, Gevrey. Souvent aussi il ÿ a lieu de recourir à des développements généralisant les séries de Fourier, et dont autrefois Fourier lui-même, Poisson, Sturm, et Liouville avaient donné des exemples. Dans cet ordre d'idées, le mémoire de Poincaré sur la méthode de Neumann renferme des vues originales et profondes sur des fonctions dites fondamentales. Le grand mémoire de Poincaré sur les équations de la physique mathématique restera particulièrement mémorable; l'existence des harmoniques en nombre infini d’une membrane vibrante, dont Schwarz et Picard avaient étudié les deux premières, y est établie pour la première fois rigoureusement. Depuis lors, la théorie des équations intégrales de Fredholm a permis de traiter autrement les problèmes de-ce genre, mais Poincaré aura été là, comme en d’autres domaines, un précurseur.