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C'est surtout dans la théorie des équations aux dérivées par-

tielles que la physique et la mathématique se prêtent le mutuel appui dont je parlais au début. j’ajouterai quelques exemples à ceux que nous avons déjà rencontrés. Quand toutes les inté- * grales ne sont pas analytiques, le prolongement d’une solution réside dans le fait qu'il y a des contacts jusqu’à un certain

ordre. Ces notions ont conduit aux résultats importants obtenus

par Hugoniot dans la mécanique des fluides et magistralement complétés par Hadamard dans son livre sur la propagation des ondes. Ailleurs, il pourra y avoir des contacts d'ordre infini entre des intégrales non analytiques, et c’est la raison pour laquelle

le célèbre théorème de Lagrange sur les potentiels de vitesse en hydrodynamique rationnelle ne subsiste pas pour les fluides visqueux, comme Boussinesq l’a indiqué le premier. Une vue très nette des différentes espèces d'ondes, au point de vue de la propagation, résulte de la considération de différents types d'équations. Dans les équations du type de la chaleur, qui

remontent à Fourier, il n’y a pas de vitesse de propagation.

Les choses se passent autrement dans les équations du type

de la propagation du son, qui est aussi celui de la propagation de la lumière et des ondes électriques; il y a lieu d’envisager là

une vitesse de propagation. Les deux types précédents se trouvent rassemblés dans l'équation de la propagation du son dans un liquide visqueux, de l'électricité dans une ligne télégraphique avec self-induction. Il y a, dans ce cas, propagation par ondés avec une vitesse déterminée, mais cette onde s'étale à

l'arrière, comme il résulte des travaux de Poincaré, Picard et - Boussinesq. Dans des questions un peu différentes, notamment

dans une étude sur le principe d'Huyghens, Hadamard a montré l'importance de la parité des dimensions de l’espace et de l'intégrale résiduelle.

Parmi les applications de la théorie des équations différentielles, il en est qui concernent la géométrie. En France et aussi en dehors de notre pays, cette école d'analystes géomètres, pour

qui les problèmes de géométrie infinitésimale sont l’occasion

de belles recherches analytiques, a actuellement Darboux pour chef: elle se rattache à Monge et à Ampère, tout en utilisant les

travaux analytiques les plus récents. Les leçons de Darboux sur la théorie générale des surfaces et ses leçons sur les surfaces

orthogonales forment des ouvrages considérables, où l’auteur

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expose ses recherches et aussi celles de ses devanciers,-en leur donnant une forme nouvelle et originale. Parmi ces devanciers, nous devons citer Liouville, Bertrand, Bonnet, qui ont été au milieu du siècle dernier les dignes continuateurs de Monge. Relativement à l'intégration effective des équations aux dérivées partielles du second ordre, il n'avait été, pendant de longues années après la publication du mémoire d'Ampère de 1818, rien ajouté d’essentiel à la théorie développée par le grand géomètre et physicien. Darboux, en 1870, publia un mémoire fondamental faisant connaître une méthode nouvelle, où il substitua aux équations de Monge une suite indéfinie de systèmes analogues, trouvant même l'intégrale générale si. celle-ci ne renferme pas de signe d’intégrale définie. L'étude des systèmes orthogonaux, des surfaces applicables, de la représentation sphérique des surfaces doit à Darboux des progrès considérables; il a tiré aussi d'importants résultats de la considération de l’équation linéaire aux variations correspondant à une équation quelconque aux dérivées partielles. :

Goursat a consacré plusieurs mémoires à élucider les questions que suggère la méthode de Darboux; on lui doit aussi de pénétrantes recherches sur des équations intégrables. comprenant la première classe d'Ampère, et sur les caractéristiques des équations à plus de deux variables indépendantes. Guichard, qui a montré un esprit inventif dans toutes les parties de la géométrie infinitésimale, a été un heureux continuateur de Darboux dans ses travaux sur les systèmes orthogonaux et les systèmes cycliques, et sur la déformation des quadriques. Les recherches de Kœnigs sur la géométrie réglée, sur les systèmes conjugués, sur les surfaces ayant certains éléments linéaires, et sur les mécanismes dont il a rattaché la théorie à des principes généraux, le placent également parmi les maîtres de la géométrie infinitésimale et aussi de la géométrie cinématique.