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à une de ses plus mémorables découvertes, je veux parler dela

la théorie des équations algébriques, Jordan a étudié les équations à groupe composé, abordé et résolu le problème posé par Abel : celui de rechercher les équations de degré donné résolubles par radicaux et de reconnaître si une équation rentre ou non dans cette classe. D’autres travaux algébriques de Jordan se rapportent au problème des groupés linéaires d’ordre fini, dont il indique la formation dans ses grandes lignes: c’est la question des équations différentielles linéaires à intégrales algébriques. Goursat à approfondi un cas particulier intéressant de ce problème, en recherchant les divisions régulières de l’espace en un nombre fini de régions congruentes.

Laguerre à apporté d'importantes contributions à la théorie des équations algébriques. Il fait preuve d’une rare finesse dans ses notes sur le théorème de Descartes, le théorème de Sturm,

la méthode de Newton, et reste toujours soucieux des applica- … tions particulières. On a plaisir à retrouver ces résultats ras-

semblés dans ses Œuvres complètes récemment parues.

Les recherches de géométrie pure et de géométrie analytique

sont depuis longtemps en honneur dans notre pays, comme le

montrent assez les noms de Lamé, de Dupin, de-Poncelet et de

Chasles. Après Bertrand, Jordan s'occupe des polyèdres dans un beau mémoire consacré en fait à la géométrie de situation, et dans un autre travail donne la condition pour que deux surfaces ou portions de surfaces flexibles et extensibles à volonté soient applicables l’une sur l’autre sans déchirure ni duplicature. Une partie importante des travaux de Laguerre est consacrée à la géométrie ; il eut, tout jeune encore, l'heureuse fortune de compléter l’œuvre de Poncelet en géométrie projective, en montrant comment se fait la transformation des relations angulaires, étendit la théorie des foyers à toutes les courbes algébriques et fonda la géométrie de direction. De Jonquières a donné le premier exemple des transformations birationnelles de degré

quelconque dans‘le plan, dont Cremona devait indiquer ensuite

la forme générale.

Halphen se fit d’abord connaître par ses travaux sur Ja célèbre théorie des caractéristiques de Chasles, résolvant un problème qui avait arrêté l’illustre géomètre. Les cyclides, c’est-à-dire les surfaces du quatrième ordre ayant pour ligne double le cercle de l'infini, occupèrent de nombreux auteurs, parmi lesquels

tre, D us et Moutard : ces deux derniers découvrirent

simultanément le remarquable système triplement orthogonal

ee - formé de cyclides. Dans son ouvrage, paru en 1873, sur une . classe de courbes et de surfaces algébriques, Darboux a fait con-

naître un grand nombre de résultats intéressants sur les courbes

- -cyclides et les surfaces cyclides, et a étudié les relations de ces

dernières avec les fonctions abéliennes hyperelliptiques. A . propos « de la géométrie de Cayley, Darboux donne une interprétation de la géométrie non euclidienne dans un demipe euclidien, souvent attribuée à Poincaré.

Les courbes gauches algébriques ont fait l’objet d’un grand | mémoire d'Halphen, qui est peut-être sa plus belle œuvre mathé-

. matique. Ce travail touche en bien des points à la théorie des

fonctions ; c'est aussi une étude profonde de géométrie analytique. L'auteur a réussi à énumérer et à classer en diverses

__ familles les courbes gauches d’un même degré; il montre la 5% précision de ses méthodes en donnant, comme exemple, la classification complète des courbes de degré 120. Entre tant

de résultats bien dignes de remarque, Halphen fait connaître la limite inférieure du nombre des points doubles apparents d'une courbe gauche de degré donné, et démontre que les courbes répondant à cette limite sont sur une surface du second ordre. <

Certaines surfaces particulières ont attiré particulièrement l'attention des géomètres : telles les surfaces de Steiner et de Kummer. Darboux a indiqué une génération géométrique des

lignes asymptotiques de la première, et Picard a montré qu’elle - était la seule surface non réglée dont toutes les sections planes

sont unicursales. Humbert a fait connaître de nouvelles pro- priétés de la Seconde, notamment que toute courbe algébrique ” tracée sur elle est l intersection de celle-ci avec une surface qui

- la touche tout le long de la courbe. Les surfaces de Kummer singulières ont fourni à Humbert le premier exemple du fait . très curieux qu'une surface peut avoir une infinité discontinue

dè transformations birationnelles en elle-même, sans avoir

une infinité continue de telles transformations. Dans un ordre

d'idées plus particulièrement géométrique, on doit aussi à Humbert de curieux théorèmes sur les aires sphériques et ellip-

È. soïdales, qui étendent à la sphère et à l’ellipsoïde des propriétés “ fondamentales du cercle et de l’ellipse.

La théorie des formes algébriques avait jadis conduit à la

notion d’invariant. Dans une note mémorable, Laguerre fit voir que cette notion peut s'étendre aux équations différen-

tielles linéaires. De son côté, Halphen faisait une étude appro- ee: fondie des équations différentielles restant inaltérées par une

transformation homographique quelconque. L’équation diffé-

rentielle des lignes droites et celle des coniques donnaient les … deux premiers exemples; la découverte d’un invariant du se septième ordre amenée par d’ingénieuses considérations géo métriques permit à Halphen de développer la théorie générale … qu'il étendit aux courbes gauches. Après l'apparition de la note de Laguerre, Halphen vit de suite le rapport entre ses

recherches antérieures et la notion introduite par Laguerre, et il édifia une théorie complète des invariants des équations

linéaires. Il montra ensuite l'intérêt de ces recherches pour le calcul intégral, en apprenant à reconnaître si une équation -

différentielle linéaire est susceptible d’être ramenée à certains types déjà intégrés.

La théorie des groupes est fondamentale en algèbre ; elle ne joue pas en analyse un moindre rôle, depuis que le géomètre .

norvégien Sophus Lie a édifié la théorie des groupes de trans-

formations, faisant une étude approfondie des groupes d'ordre fini et posant les bases de la théorie des groupes infinis. Dans :

les travaux de Lie, la théorie des groupes intervient essentiellement comme un principe de classification; dans les applications qu'il a faites de sa théorie aux équations différentielles, celles-ci sont des équations particulières. La théorie des groupes

a apparu comme un principe de réduction depuis que Picard a …

montré comment les idées de Galois sur les éqüations algébriques pouvaient être étendues aux équations différentielles linéaires ; il a été suivi dans cette voie par Vessiot et par Drach.

On doit à Drach d’avoir montré le premier comment la notion

de groupe de rationalité pouvait être étendue à toutes les équa-

tions différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles; c’est ce qu'il appelle l'intégration logique qu'il oppose à l'intégration

géométrique ou intégration par séries. Vessiot s’est occupé

de la théorie de Galois et de ses diverses généralisations à un.

point de vue un peu différent, et a publié de beaux mémoires

d’une forme parfaite sur l'intégration des systèmes différentiels

nt ds groupes continus de transformations, et sur à réductibilité et Vintégration des systèmes complets; il a aussi

-- des tions ET Dans plusieurs domaines, celles-ci ne sont pas toujours faciles à trouver, et des théories très géné- rales risquent quelquefois de rester confinées, si j'ose le dire, dans leur extrême généralité. Il arrive aussi que les applications tentées ramènent seulement à des cas déjà connus; dans ce cas, . la théorie, intéressante au point de vue de la classification, n'apparaît pas comme une arme pour la découverte de faits nouveaux. Aussi est-il intéressant de rappeler que la recherche du groupe de rationalité de l'équation différentielle des lignes . de courbure: de la surface des ondes a conduit Drach à l’inté- gration de cette équation, cherchée en vain depuis longtemps. Les recherches de Cartan sur la théorie des groupes sont très importantes. Elles concernent surtout la structure des groupes - et la détermination des groupes simples. Pour les groupes con- tinus et finis, les principes avaient été posés par Lie et ses L | élèves; pour les groupes infinis, tout était à créer. Cartan a - réussi à déterminer tous les groupes infinis simples, transitifs ou intransitifs. Je dois encore rappeler les travaux de Cartan sur . les systèmes de Pfaff et les systèmes en involution.

ON Re: 0, LA TT

IV. — THÉORIE DES FONCTIONS DE VARIABLES RÉELLES MERE ET THÉORIE DES ENSEMBLES.

CA Un des principaux objets de l’analyse abstraite est l'étude de l'idée de fonction, c’est-à-dire de dépendance entre deux ou plusieurs variables. Il a fallu longtemps pour qu’on se rendît compte de l'étendue de cette notion; c’est là d’ailleurs une cir-

constance très heureuse pour les progrès de la science. Si Newton et Leibniz avaient pensé que les fonctions continues

- n'ont /pas nécessairement une dérivée, le calcul différentiel

n'aurait pas pris naissance; de même les idées inexactes de

Lagrange sur la possibilité des développements en série de

Taylor ont rendu d'immenses services. Les fonctions analytiques

sa généralité. Cauchy, dans plusieurs de ses écrits, avait donné

plus de précision à certains résultats intuitifs sur les fonctions continues admis sans démonstration. En Allemagne, Dirichlet

en donnant des conditions pour la possibilité du développement en série trigonométrique, Riemann en établissant la

distinction entre les fonctions intégrables et les fonctions non -

intégrables, Weierstrass en donnant un exemple de fonction continue sans dérivée, allèrent beaucoup plus loin. En France, le mémoire de Darboux sur les fonctions discontinues marque une date; on y trouve une proposition qui permet de définir de la manière la plus nette l’intégrabilité d’une fonction, et de nombreux exemples de fonctions continues sans dérivées. Jordan a introduit dans cette partie de l'analyse d'importantes notions : telle la notion de fonction à variation bornée. Les courbes dites «de Jordan », séparant le plan en deux régions distinctes, sont également devenues classiques.

Le géomètre allemand Cantor a fondé la théorie des ensembles

qui sont les seules usuelles, ont pris une importance considé- rable, et l'on a vu plus haut que la théorie de ces fonctions est « une branche maîtresse de l’analyse. Un jour devait venir cependant où l’idée de fonction serait approfondie dans toute …

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