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de points. On doit attacher une grande importance à la distinc- e

tion entre les ensembles énumérables et les autres. Il en est de même pour la notion d'ensemble dérivé et d'ensemble parfait. Le nombre des mémoires consacrés aux ensembles est considérables : ils sont de valeur très inégale, au moins au point de vue purement mathématique. Un certain nombre d’entre eux n’ont

actuellement aucun intérêt mathématique : c'est ce qui arrive .

pour les études sur les nombres transfinis qui n’ont conduit jusqu'ici à aucun résultat inaccessible par une autre voie. On ren-

contre dans cette métamathématique quelques paradoxes et des «

difficultés qui ont fait couler des flots d'encre. Plusieurs de ces

difficultés proviennent de ce qu’on ne s'entend pas sur le mot existence, et l’on pourrait faire des comparaisons avec certaines \ querelles célèbres dans la philosophie scolastique au moyen

âge. Reconnaissons d’ailleurs que les discussions des mathéma- ”

ticiens sur ce mot intéressent d’autres questions, notamment …

- celles qui concernent les théorèmes dits d'existence et se ren-. - contrent dans diverses parties des mathématiques. - Nous envisageons seulement la partie de la théorie des en- .sembles, qui, jusqu'ici, a été un instrument de découverte entre . lès mains des mathématiciens; c’est celle qui a été utilisée dans la théorie des fonctions et en géométrie. Jordan avait donné une 4 définition de la mesure d'un ensemble. Borel a repris la question - sous un jour nouveau, en utilisant des définitions constructives: il à aussi introduit la notion importante d’un ensemble de mesure nulle. Dans plusieurs théories, on connaît maintenant | * des propositions qui sont exactes à peu près partout, en enten- . dant par là que réserve est faite pour un ensemble de mesure : - nulle. Citons, comme exemple, le théorème de Borel, d’après " lequel toute fonction bornée définissable analytiquement, est - égale, sauf, peut-être, pour un ensemble de mesure nulle, à une … série convergente de polynomes. Les séries de Fourier et celles qui les généralisent offrent des exemples analogues. ï Riemann, semblait-il, avait approfondi autant qu'il est possible la notion d’intégrale définie. Lebesgue a montré qu’il n’en | était rien. L'idée de fonction: sommable, qu'il a introduite dans - la science, est plus générale que celle de fonction intégrable de - Riemann, au moins pour les fonctions bornées. Une consé- 3 quence de cette notion généralisée de l'intégrale est que toute fonction bornée sommable est la dérivée de son intégrale indé- finie, sauf, peut-être, pour un ensemble de points de mesure nulle. Ces travaux ne sont pas restés sans applications, et les - idées nouvelles ont montré leur fécondité entre les mains de Lebesgue et de ceux qui l’ont suivi. La théorie des séries de Fourier notamment s’est trouvée renouvelée. Loin de conduire à des complications nouvelles, l'emploi de l'intégration des fonctions sommables apporte d’heureuses simplifications. Borel a repris récemment la théorie de l’intégrale définie en se plaçant au même point de vue que dans sa théorie de la mesure. Les notions d’aire et de surface sous leurs formes les plus générales sont liées à la théorie des ensembles. Lebesgue a été très . loin dans cette voie, où l’on rencontre vite des énoncés différents de ceux auxquels on est habitué, par exemple celui-ci : . qu'il y a d’autres surfaces que les surfaces développables qui ? sont applicables sur le plan.

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