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condition pour qu’une fonction d’une variable réelle puisse être développée en série de polynomes. La théorie des ensembles intervient das la solution; pour le cas d’une série simple, la condition est que la fonction soit ponctuellement discontinue * par rapport à tout ensemble parfait. Les recherches de Lebesgue « sur les fonctions représentables analytiquement sont connexes de celles de Baire, et posent de graves questions sur le sens qu'il

convient d'attribuer au mot défini.

Il est une branche de l'analyse, qui prend aujourd’hui une É

grande importance : c’est le calcul jonchionnel. Un des pre-.

miers chapitres du calcul fonctionnel est le calcul des variations

auquel reste justement attaché le nom de Lagrange. Le problème du plus court chemin d’un point à un autre sur une surface est sans doute le premier type de problème relatif à ce.

calcul, qui s’est ensuite développé avec diverses questions posées par la mécanique, et qui englobe aujourd’hui la mécanique analytique tout entière. Le traité que publie en ce moment

ie fe di bee. : AS le ?

Hadamard sur le calcul des variations fait connaître les plus “

récents travaux en cette matière. De nombreux problèmes de

l'électricité et de la chaleur relèvent aussi du calcul fonctionnel.

La théorie des équations intégrales, brillamment créée tout 4

d’abord en Italie et en Suède par Volterra et Fredholm, a fait

en France l’objet de nombreux travaux, parmi lesquels ceux de :

Le Roux intégrant en même temps que Volterra les équations

à limite supérieure variable, de Goursat sur les noyaux ortho- :

gonaux, de Picard sur les équations de première espèce et les équations singulières, de Marty sur les noyaux symétrisables.

Hadamard s’est surtout attaché à mettre en évidence l'influence

de la forme de la frontière du domaine dans divers problèmes de physique mathématique, appelant l'attention sur les éguahons aux dérivées fonchionnelles ; il a été suivi avec succès dans cette voie par P. Lévy. L'étude du continu fonctionnel, nécessitant la création d’un nouveau chapitre de la théorie des ensembles, a été abordée très heureusement par Fréchet. L'extension de nos idées sur les fonctions et les opérations fonctionnelles n’est pas la seule qu'aient poursuivie les mathématiciens. La question des quantités complexes a fait, surtout à l'étranger, l’objet de nombreuses recherches. Si on laisse tomber la loi commutative, ne gardant que la loi associative, on a une algèbre beaucoup plus générale; un exemple célèbre à quatre

unités est fourni par les quaternions de Hamilton. Une remarque fondamentale de Poincaré ramène toute la théorie des quantités complexes à une question concernant la théorie des groupes. Elle consiste en ce que, à chaque système d'unités complexes à multiplication associative, correspond un groupe continu linéaire de substitutions linéaires, et inversement. Le rappro- % .. chement entre la théorie des groupes de Lie et les nombres complexes donne la véritable origine de ces symboles. Divers auteurs étrangers avaient utilisé l’idée de Poincaré; dans ses travaux sur le même sujet, Cartan applique une méthode | directe qui le conduit à des résultats nouveaux. Ces quantités complexes plus générales sont-elles susceptibles d'accroître la puissance de l'analyse ? Jusqu'ici l'emploi des quaternions de a seul rendu quelques services en physique mathématique. On are espérer que les nouvelles quantités complexes présenteraïent quelque intérêt pour l'analyse générale; les essais tentés no ici n'ont pas été couronnés de succès.