HENRI POINCARÉ
Quelqu'un demandait un jour à J.-B. Dumas, à propos de Claude Bernard : « Que pensez-vous de ce grand physiologiste ? ». et Dumas répondit : « Ce n’est pas un grand physiologiste, c’est : la physiologie elle-même. » On pourrait dire pareïllement de Henri Poincaré qu'il ne fut pas seulement un grand mathématicien, mais la mathématique elle-même. Dans l’histoire des
sciences mathématiques, peu de mathématiciens ont eu, comme
lui, la force de faire rendre à l’esprit mathématique tout ce qu'il
était à chaque instant capable de donner. En mathématiques
pures, Sa puissance d'invention fut prodigieuse, et l'on reste confondu devant la maîtrise avec laquelle il savait forger l’outil
le mieux approprié dans toutes les questions qu'il attaquait.
Poincafé ne fut étranger à aucune des sciences parvenues à un stade assez avancé pour être susceptible de prendre, au moins dans certaines de leurs parties, une forme mathématique. Il a été en pärticulier un grand critique des théories de la physique
moderne, habile à les comparer et à mettre en évidence leur véritable origine, aimant aussi à signaler leurs points faibles et
leurs contradictions. Sa réputation, comme philosophe, fut considérable. Toute conception philosophique est de sa nature
controversable; mais, quelque opinion qu'on puisse avoir sur
certaines idées de Poincaré, l'admiration n’en est pas moins vive pour le noble penseur, le dialecticien subtil et l'écrivain au
‘Style personnel où rivalisent l'esprit géométrique et l'esprit de
finesse. À défaut d’une étude détaillée qui demanderait un long travail, je vais essayer de tracer une esquisse de l’œuvre du grand géomètre dont la disparition fut, l’an dernier, une perte irréparable pour la science.
(:) Extrait des Annales de l'École normale supérieure, 3° série, t. XXX,
Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c’est
sa puissance à embrasser d'emblée les questions daris toute leur
généralité et à créer de toutes pièces l'instrument analytique permettant l'étude des problèmes posés. D’autres, et c’est ainsi qu’'opèrent la majorité des chercheurs, commencent par s’en-
quérir de ce qui a été fait dans la voie qu’ils veulent explorer; la
documentation est pour eux un travail préliminaire. Poincaré s’attarde rarement à étudier les travaux antérieurs. Tout au plus, parcourt-il rapidement quelques-uns d’entre eux; de vagues indications lui permettent de retrouver des chapitres entiers d’une théorie. Au fond, les questions d’attribution lui
furent souverainement indifférentes, et le détail de l’histoire
des sciences l’intéressait très peu.
La théorie des groupes fuchsiens et des fonctions fuchsiennes, qüi illustra son nom presque au début de sa carrière scientifique, fournit des exemples à l'appui de ces remarques. Quand Poincaré commença ses études sur les groupes fuchsiens, c'est-à-dire
l i 1 ee eee sur les groupes discontinus de la forme (2 RE
qui transforment une circonférence en une circonférence ou, ce qui revient au même, un demi-plan en un demi-plan, de nombreux cas particuliers (depuis Jacobi et Hermite) se rattachant à la théorie des fonctions elliptiques avaient été étudiés. Poincaré ne les connaissait pas alors; son point de départ est simplement le pavage du plan entier par des parallélogrammes égaux, et c’est là qu'il s’élance pour résoudre dans toute sa généralité le problème du pavage d’un demi-plan par un ensemble de polygones curvilignes. Il paraît avoit été conduit à ce problème par l'étude qu'il faisait alors de la géométrie non euclidienne de Lobatschewsky, dont Beltrami avait donné une interprétation dans le demi-plan euclidien, les courbes jouant le rôle de
droites étant alors des circonférences orthogonales à la droite
qui limite le demi-plan. La loi de génération des groupes fuchsiens paraissait extrêmement difficile à trouver. On apercevait
-assez facilement une condition nécessaire; par une analyse pro-
fonde, où il montre en même temps un sens géométrique très affiné, Poincaré montre que cette condition est suffisante.
El
“C'était là une grande découverte. Il fallait maintenant dé-
montrer l'existence de fonctions invariables par les substitu-
= tions des groupes trouvés. Poincaré forme alors des séries entière- Ë rement nouvelles (fonctions thêtafuchsiennes) qui lui permettent |
# d'arriver au but; la théorie des fonctions fuchsiennes était créée. Une magnifique moisson allait en sortir : l'intégration des équations différentielles linéaires algébriques à points singu-
liers réguliers, et l'expression des coordonnées des points d'une courbe algébrique quelconque par des fonctions nous Dcieanes) d’un paramètre.
Mais Poincaré va encore plus loin dans ses mémoires célèbres des premiers volumes des Acta mathematica. Les substitutions - des groupes fuchsiens laissaient invariable une circonférence. - N'y aurait-il pas des groupes linéaires discontinus plus géné-
. raux ? La recherche de la génération de tels groupes, telle que
la donne Poincaré (groupes kieinéens), témoigne d’une audace
| extraordinaire ; il la déduit de la division d’un demi-espace . ” (espace situé du mêmé côté d’un plan) en polyèdres limités par
des surfaces sphériques orthogonales au plan limite. Certains de ces groupes kleinéens CONGRENT à considérer des courbes
= es surtout pour l’époque, ayant des tangentes mais - mayant pas de courbure; ce sont elles qui, dans une certaine mesure, jouent pour les fonctions kleinéennes le même rôle que
jouait la circonférence pour les fonctions fuchsiennes.
” Les mémoires précédents mettaient, à moins de 30 ans,
Poincaré hors de pair. Sa carrière scientifique ne faisait cepen- dant que commencer. D’autres travaux d’analyse pure vont,
= dans les années suivantes, asseoir définitivement sa renommée.
Il généralise en 1884, dans un court article, le théorème d’uni- formisation des fonctions algébriques d’une variable, en faisant voir que, si y est une fonction analytique quelconque de x, on peut exprimer x et y par des fonctions analytiques d’une variable, uniformes dans tout leur domaine d'existence. C’est - dans ce mémoire qu’on voit apparaître pour la première fois les
— surfaces de Riemann ayant un nombre infini de feuillets. Poin- - caré y est revenu récemment pour compléter quelques points :
- la question revient, au fond, à établir la possibilité d’une repré- -sentation conforme d’une surface de Riemann simplement
Er 7-9 = . » . -
connexe ayant un nombre infini de feuillets, soit sur un cercle,
- soit sur un plan entier. L’uniformisation des courbes algé-
Le 90m 2
briques, établie d’abord par Poincaré dans sa théorie des fonctions fuchsiennes, n’est plus alors qu’un cas particulier d’une loi très générale. Théoriquement au moins, l'étude des fonctions analytiques multiformes d’une variable se trouve ramenée à l’étude des fonctions uniformes.
C’est un des grands titres de gloire de Cauchy d’avoir créé la théorie des fonctions de variables complexes et d’avoir ainsi ouvert un domaine immense à l'analyse mathématique. Cauchy avait considéré les intégrales simples, mais l'extension aux intégrales doubles de son théorème fondamental relatif aux intégrales prises le long d’un contour présentait de très sérieuses difficultés. Poincaré est parvenu à les surmonter. Il définit d'abord avec précision ce qu'on doit entendre par l'intégrale
double [ £ F (x, y) dx dy d'une fonction analytique F (x, y)
de deux variables complexes x et y, prise sur un continuum à
deux dimensions situé dans l’espace à quatre dimensions cor-
respondant aux deux variables complexes, et il établit que, si
le continuum d'intégration est fermé et si l’on peut le déformer
sans rencontrer des singularités de F, l'intégrale double garde la
même valeur. Ce résultat, capital dans la théorie des fonctions dé: deux variables, a posé un grand nombre de questions. Si F est une fonction rationnelle, il y a lieu d'envisager les résidus de
l'intégrale double; si F est une fonction algébrique de x et y, on
a été ultérieurement conduit à considérer les périodes de l'inté-
grale double. Il nous faut encore citer, dans le domaine des fonc-
tions analytiques de deux variables, le théorème d’après lequel
toute fonction uniforme de deux variables présentant partout
à distance finie le caractère d’une fonction rationnelle peut se
mettre sous la forme d’un quotient de deux fonctions entières.
La démonstration en est très délicate; l’auteur sait y manier. habilement les quatre équations différentielles auxquelles satis-
fait la partie réelle d’une fonction analytique, dont la seule
considération eût arrêté un chercheur moins puissant.
C’est dans une période de cinq à six ans (1880-1886) que Poincaré a publié les travaux dont nous venons de parler. Jamais il ne fit preuve d’un plus grand esprit d'invention, jamais n’apparurent mieux ses dons de voyant. Sa merveilleuse intuition sautait par-dessus des difficultés qui auraient troublé des esprits obligés d'avancer pas à pas. De son regard pénétrant,
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$ : l voit les points où il faut donner l'assaut et il arrive d'un bond au cœur de la place attaquée. Aussi a-t-on parfois l'impression
qu'il y a dans le développement de sa pensée quelque chose
de heurté, comme si le voile cachant la vérité se déchirait brus- quement devant lui. Il y a, dans ses mémoires, rapidement écrits
d'assez nombreuses erreurs de détail, mais sans importance, sauf
= de rares exceptions, sur les résultats essentiels. Poincaré était . de ces rares savants pour qui n'est pas faite la devise pauca,
Sed matura, et les mathématiciens trouveront longtemps des
. mines à exploiter dans les idées qu'il jetait à la hâte.
Nous sommes loin d’avoir fait allusion à tous les travaux -
importants de Poincaré dans la théorie des fonctions ana-
lytiques ; rappelons seulément d'un mot ses études sur les fonc-
tions entières et ses recherches concernant les développements
asymptotiques des intégrales des équations différentielles
Jinéaires sur les droites aboutissant à-un point singulier irrégu-
lier au sens de Fuchs. En même temps qu'il continuait ses tra-
vaux précédents, Poincaré poursuivait des recherches pouvant
ns trouver une application immédiate à des questions de géo-
métrie et de mécanique. Il a consacré de nombreux mémoires à l'étude des courbes définies par des équations différentielles,
… c'est-à-dire à l'étude des équations différentielles dans le champ réel. Le premier mémoire montre nettement le point de vue.
auquel il va se placer; il s’agit de se rendre compte de l'allure
É générale des courbes intégrales (ou caractéristiques). Ainsi soit.
dy
= l'équation — 7, où X et Y sont des polynomes en xet y; on -
