ESS

: va d’ailleurs remplacer le plan (x, y) par une sphère qui lui correspond homographiquement. Après la discussion des divers. points singuliers (foyers, cols, nœuds, centres exceptionnelle-

. ment) vient la distinction entre les caractétistiques dont la continuation se trouve arrêtée par un nœud et celles qui, à

partir d’un certain moment, ne passent plus par un nœud. Au

sujet de ces dernières, Poincaré établit qu'elles sont, ou bien des

À cycles (courbes fermées), ou bien des courbes asymptotes à un - cycle limite (qui peut se réduire à un foyer). Il faut alors fixer -

approximativement la position des cycles limites; c'est là une.

question très délicate, qu’on ne ue espérer r résondre que si les

cycles limites sont en nombre fini.

La question est plus difficile encore pour les équations du pre-

mier ordre et de degré SUPÉEUT: Il peut arriver ici, contraire-

ment au cas precedent, qu'une caractéristique puisse se rapprocher, ‘autant qu'on voudra, d’un point arbitraire dans une.

aire convenable. De plus, et cela est capital, le genre riemannien d’une certaine surface fermée attachée à l'é équation différentielle intervient dans la discussion des caractéristiques. Ce n’est

pas un des moindres mérites de Poincaré d’avoir montré le rôle.

de l’analysis situs dans ces questions; depuis cette époque, il ne cessa d’ailleurs de s'intéresser aux problèmes de la géométrie.

de situation, qui exigent une si grande tension d'esprit dans le : cas des multiplicités à plus de trois dimensions, et sur lesquels il

écrivit de profonds mémoires, d’une lecture difficile. Plus complexe encore est le cas des équations d'ordre supé-

rieur au premier; les mémoires consacrés aux équations du

second ordre sont pleins d'idées suggestives et mettent en évidence les éléments fondamentaux du problème. L'étude des points singuliers ne suffit plus; il est nécessaire d'introduire une

notion nouvelle. Soit une courbe fermée quelconque et un …

domaine comprenant tous les points voisins de cette courbe; il faut étudier la forme générale des caractéristiques à l'intérieur de ce domaine, et les problèmes si délicats relatifs à la stabilité se présentent d'eux-mêmes. Tout était à créer dans ces

études, alors toutes nouvelles, où Poincaré a été un précurseur

et qui ne seront pas de sitôt épuisées.

Poincaré ne cessait de penser aux applications de ces résultats

à la mécanique céleste et d’une manière générale à la mécanique analytique. Comme par une ironie singulière d’un dieu malin poursuivant les mathématiciens qui veulent appliquer leurs études aux phénomènes naturels, la forme des équations de la mécanique analytique correspond aux cas où la discussion est la plus délicate. Le fruit de ces longues méditations fut l'apparition d’un ouvrage en trois volumes : Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. L’effort analytique dont témoignent

œuvre sont en elles-mêmes extrêmement importantes pour l'analyse, et peuvent être utilisées pour d’autres questions. Sans doute, le problème de mécanique céleste qu'avait d’abord

.ces volumes ne saurait être trop loué; les méthodes mises en

a Le que la solution même de ce problème et contriront un jour à sa solution (').

. résultats négatifs. contenus dans le grand ouvrage de 1CArÉ attirent tout d’ abord l'attention. L auteur établit que

| pue uniforme que. les intégrales des forces vives et des aires.

5 péee de dass dans la démonstration de ce

| ste, go on suppose les conditions initiales arbitraires; cela n'empêche pas d’ailleurs leur utilisation courante en astro- * nomie, où il arrive que les termes employés commencent par # décroître. Ces résultats toutefois ne sont pas établis par Poin- caré dans toute leur généralité. Ainsi, dans le cas de trois corps, - les masses de ceux-ci ne sont pas quelconques; l’une étant », les masses des deux autres sont de la forme «, 1 et x, 1, étant une constante suffisamment petite. Il n’est guère douteux que Fa conclusions alent, quelles que soient les masses, et dans le

. les <aRÈæ la présence d’un mére très petit 1, que se 2 place. Poincaré en étudiant certaines solutions particulières remarquables des équations de la mécanique analytique, et en. : | particulier du problème des trois corps. De solutions’ périoee connues pour # — 0, on peur déduire ne continuité

ro) On sait qu'un savant finlandais M. Sundmann vient de des une solution complète du problème des trois corps. Il serait injuste de ne pas reconnaître que les travaux antérieurs de Poincaré ont eu une grande F inffuence sur les recherches de l'astronome d’Helsingfors. J'ai fait une 3 “étude des mémoires de M. Sundmann-dans un article récent de la

Revue générale des sciences (15 octobre 1913) et dans le Bulletin des Sciences s mathématiques (octobre 1913).

= 1 Prin é

— 203 — Re: ?

l’existence de solutions de même nature pour y très petit. Par cette voie est établie dans des cas très variés l'existence de solutions périodiques pour le problème des trois corps. Cette étude des solutions périodiques est un chef-d'œuvre. Nous sommes loin avec elles des deux cas particuliers considérés par Lagrange, où les trois corps restent au sommet d’un triangle équilatéral et où les trois points restent en ligne droite. Outre les solutions périodiques, Poincaré établit aussi l'existence de solutions asymptotiques aux solutions périodiques, et de solutions doublement asymptotiques à ces solutions (c’est-à-dire asymptotiques pour { = — x» et # — + +). La démonstration relative à ces dernières était extrémement diff.cile et, de tous les théorèmes dont il enrichit la mécanique analytique, aucun ne coûta un aussi grand effort à Poincaré qui dut se borner ici au cas très particulier qu'il appelait le problème restreint. On peut espérer que les solutions périodiques pourront être employées comme première approximation dans les calculs de la mécanique céleste, mais il serait prématuré de se prononcer à ce sujet.

Le tome IIT des Nouvelles méthodes de la mécanique céleste renferme les parties les plus profondes de louvrage. On avait rencontré incidemment des invariants intégraux, Liouville par exemple en mécanique analytique, et Helmholtz dans la théorie des tourbillons; maïs la théorie générale de ces invariants est une création originale de Poincaré, ainsi que les belles applications qu'il en fait à l'étude de la stabilité. Dans des problèmes très étendus de mécanique analytique, il est conduit à démontrer qu'il y a stabilité à la Poisson, c'est-à-dire que, parti d'une position, le système dans la suite du mouvement vient à repasser, sinon par la même position, du moins par une position infiniment rapprochée de la première. Il est curieux de remarquer que, dans cette question, l’idée initiale de la démonstration est la même que celle utilisée bien des années auparavant dans

‘ l'étude de la convergence des séries thétafuchsiennes. Le théo-

rème général sur la stabilité à la Poisson n’est valable que sous

certaines conditions qui, en particulier, ne sont pas remplies dans le cas du problème des # corps. Dans ce dernier cas, Poincaré est conduit à envisager le prolongement analytique des solutions après un choc (!), et il établit que, sauf pour des solu-

(!) C'est en approfondissant cette idée, et en ne craignant pas de

tions tonnes, il y aura stabilté à la Poisson pour la * trajectoire ou son prolongement analytique. É - Qu'on me permette ici une remarque. Dans des questions E relatives à la réversibilité, Poincaré et d’autres après lui , pat sur ce théorème général que, dans les mouvements - hamiltoniens, il y a stabilité à la Poisson, au sens où nous venons de l'employer. Il ne faut pas oublier qu’il peut y avoir une infinité de solutions où se présentent des circonstances analogues au choc, c’est-à-dire des discontinuités dans certaines fonctions figurant dans les équations, et pour lesquelles par consé- quent il n’y aura stabilité à la Poisson qu’en supposant le mou- F- vement prolongé analytiquement. Ces solutions, qui deviennent d'autant plus fréquentes que le nombre des degrés de liberté est eee grand, ne risquent-elles pas de rendre illusoiïres les argu- F- ments invoqués dans les questions concernant la réversibilité ? PS Les recherches de Poincaré sur la figure des corps célestes à témoignent d’une singulière force d'analyse. Il s'agissait d’étuà ce certaines figures d'équilibre d’une masse fluide homogène dont les éléments s’attirent mutuellement suivant la loi de Newton et qui tourne uniformément autour d'un axe. Il est connu depuis longtemps que, si la vitesse angulaire w ne dépasse pas une certaine limite, la figure d'équilibre peut être ellip- - soïdale; il y a deux vitesses angulaires w, et 6, (», < «), telles > que, pour & < w,, on a les deux ellipsoïdes de révolution de - Maclaurin et, pour » < »,, on a en outre une ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi. L'ensemble des ellipsoïdes de Mac-. * Jaurin constitue deux séries de figures d'équilibre variant avec 4 la vitesse angulaire, l'ensemble des ellipsoïdes de Jacobi en cons- - titue deux autres. Si l’ on considère une de ces figures ellipsoï- dales E d'équilibre avec la vitesse angulaire correspondante s, et si l’on donne à » un petit accroissement n, on peut se re mander si, pour la vitesse angulaire » + n, il existe des figures * d'équilibre, autre que les ellipsoïdes, qui, en variant d’une ma- F. nière continue avec n, se confondent pour n — 0 avec l’ellip- £ soïde E. C'est le problème que se posait Poincaré en 1885, ce cqui Va conduit à une infinité de nouvelles figures d'équilibre; - à la vérité, il se borne dans cette recherche à la première

PO TER Vis dE je

au FF NUrU 7

- comprendre dans son analyse le cas des chocs que M. Sundmann est = arrivé à une solution du problème de trois corps (voir la note ci-dessus).

Ex

approximation, et il ne conclut l'existence effective des nouvelles figures qu’en étendant d’une manière peut-être contestable, au cas des fluides, des remarques très ingénieuses sur les équilibres de bifurcation démontrées seulement pour des systèmes dont:la position ne dépend que d’un nombre fini de paramètres. Les nouvelles figures sont toutes instables, sauf peut-être une célèbre figure piriforme correspondant à la vitesse angulaire la plus petite qui donne des ellipsoïdes de Jacobi stables. Il semble bien, d’après les dernières recherches de M. Liapounoff qui a étudié de son côté avec une grande rigueur les problèmes précédents par d’autres méthodes, que la figure piriforme est instable. Les figures piriformes ont-elles joué un rôle cosmogonique ? C'était l'avis de Sir Georges Darwin. Dans le refroidissement lent, il est possible que la figure piriforme se creuse tout d’un coup et qu'il y ait une séparation du corps en deux : telle aurait été, dans cette vue, la Lune sortant de la Terre. Il ne faut pas d’ailleurs oublier, dans les applications à la cosmogonie, que, dans ce qui précède, il s'agissait de substance homogène, ce qui risque d’éloigner beaucoup de la réalité.

Aucune partie de l’astronomie prise dans son acception la plus étendue n’est restée étrangère à Poincaré. Un de ses dérniers cours fut consacré aux Hypothèses cosmogoniques. Toutes les hypothèses faites depuis Kant et Laplace sur la formation du système solaire y sont discutées d’une façon très serrée, mais Poincaré ne se borne pas à notre système et étend son regard perçant jusqu'aux étoiles et aux nébuleuses. Avec quelle critique pénétrante il discute les vues d’Arrhénius sur la possibilité-qu'a l’univers d'échapper à la mort thermique que semble lui réserver le principe de Carnot, et que de vues pleines d'une imagination grandiose dans le chapitre où la Voie lactée est comparée à la matière radiante de Crookes. Aucun livre ne saurait donner une plus haute idée de la poésie de la science.

De la mécanique céleste à la physique mathématique, la transition est facile. La physique mathématique offre au mathématicien de nombreux sujets d'étude, soit qu’il se propose de faire un examen critique des principes des théories, soit que, sans dis-