IV

L’art de la topographie doit être considéré comme récente Jusqu’au xvne siècle, les formes du terrain n’ont été représentées que par des vues. Sous Louis XIV, les ingénieurs militaires reconnurent la nécessité de sacrifier l’effet pittoresque à l’exactitude du plan. Pour figurer le relief du terrain sur la projection horizontale, ils essayèrent diverses méthodes de perspective, et ils finirent par se contenter de mettre des hachures sur les déclivités, sans règle précise.

Les premières courbes de niveau que l’on voit sur les cartes topographiques servent à indiquer le contour du rivage à différentes époques de la marée. En 1738, Philippe Buache, pour faire paraître les écueils et le fond des rades, supposa aux eaux des abaissements plus considérables que ceux qui résultent de leurs dénivellations. Trentetrois ans après (2), Ducarla proposa de représenter le relief du terrain par la même méthode, en traçant les limites des zones qui seraient submergées dans des inondations de plus en plus étendues.

Dans ce système, les cols deviennent des détroits*. Ducarla en remarque deux principaux en France, l’un à Naurouse, l’autre aux étangs de Long-Pendu; ils font

(1) Desargues s’est occupé de la gnomonique. Son procédé consiste' en constructions dans V espace, et, par suite, ne rentre pas dans les méthodes graphiques qui font l’objet de ce discours.

(2) Ducarla n’a publié son ouvrage sur X Expression des nivellements qu’en 1782; mais il avait exposé sa méthode à l’Académie des Sciences le 4 mai 1771%

communiquer la Méditerranée à l’Océan, en supposant leurs eaux élevées de cent toises pour le premier, et de deux cents pour le second. On trouve ainsi dans l’intérieur des terres des golfes, des isthmes, des promontoires, des archipels. La géographie maritime donne un nom à chaque forme remarquable du terrain.

Lorsque Ducarla eut publié sa méthode, du Fournis annonça qu’il avait été également conduit à l’emploi des courbes de niveau pour le figuré du terrain , mais par des considérations différentes : en remarquant que les lignes horizontales qui existent sur les façades des édifices donnent une grande facilité pour comparer les hauteurs de leurs diverses parties (i).

Les officiers du génie s’occupaient de la topographie en même temps que ces savants, mais on ne connaît pas exactement leurs travaux , parce qu’ils évita ient de donner de la publicité aux progrès des sciences militaires. On regarde que Châtillon a défini le premier le relief du terrain d’une manière géométrique , en inscrivant auprès d’un grand nombre de points les cotes qui indiquent leurs abaissements au-dessous d’un plan horizontal supérieur comme les sondes des cartes hydrographiques font connaître le brassiage. Plus tard, Millet de Mureau choisit tous les points à coter sur des alignements parallèles. Cette disposition encore quelquefois employée permet de construire des profils d’une manière rapide et exacte.

D’après Haxo, lorsque Ducarla fit connaître sa méthode, les ingénieurs militaires employaient déjà les horizontales et les lignes de plus grande pente pour définir la position des plans inclinés. L’idée d’en étendre l’usage au figuré du terrain fut promptement saisie à l’école de Mézières.

(i) Voir Y Expression des Nivellements , n° 14 1 • Les idées de du Fournis n’y sont pas exposées d’une manière bien claire, et il est possible que je les aie mal interprétées.

Le Trait était employé dans d’autres arts, notamment dans la navigation. Depuis longtemps, en effet, on avait ramené tous les problèmes du loch à des résolutions de triangles dont on était même parvenu à éviter la construction à l’aide d’un diagramme connu sous le nom de quartier de réduction. L’établissement et l’usage des cartes marines donnent aussi lieu à des opérations graphiques ; mais , dans ces exemples, le Trait se présente comme une conséquence du calcul, et non comme une solution directe de problèmes de la géométrie de l’espace.

Quelques constructions graphiques étaient utilement employées dans l’astronomie. La plus remarquable est celle qui sert à déterminer les circonstances d’une éclipse de Soleil pour un lieu donné, sans qu’on ait besoin de calculer les parallaxes. Elle consiste à représenter en perspective la marche du centre de la Lune, et celle du point considéré sur la Terre , en mettant l’œil au centre du Soleil et prenant un tableau perpendiculaire à la ligne des centres.

Divers géomètres et notamment Lagrange (i) se sont occupés de celte méthode. C’est, d’après Lalande, une opération très-commode qui donne le commencement et la fin d’une éclipse, pour un lieu donné, avec l’exactitude d’une minute de temps.

On doit à Képler l’idée de déterminer les circonstances d’une éclipse de Soleil pour la Terre en général, par la considération de la route du centre de l’ombre de la Lune sur le

(i) Lagrange a lu son Mémoire à l’Académie de Berlin le 20 janvier 1778. On le trouve en allemand dans les Éphémérides de 1781, et en français, dans la Connaissance des Temps de 1819. Quand on l’a étudié , on comprend que le célèbre géomètre ait pu dire, après avoir écouté une leçon de Monge : « Je ne savais pas que je savais la Géométrie descriptive. »

plan du disque de la Terre. Quant au procédé graphique qui fait connaître les phases de l’éclipse pour un lieu donné, on l’a souvent attribué à Cassini qui l’aurait publié à Bologne dans un ouvrage dont Weidler donne le titre, la date et le format ; mais Lalande, qui a vainement cherché ce livre , pense avec plusieurs savants italiens qu’il n’a jamais existé, et adopte l’opinion de Flamsteed qui fait honneur de cette méthode à Christophe Wren. Une longue pratique de la stéréotomie avait fait connaître à Wren les ressources du Trait.

D’après ce que nous venons de voir, Messieurs, avant Monge on savait résoudre graphiquement un grand nombre de problèmes , mais il n’existait pas de méthode générale pour ces solutions. Le Trait avait ses règles spéciales dans chaque art, tel que la perspective ou la coupe des pierres. s’Gravesande avait donné un moyen de ramener le pro-* blême de la gnomonique à celui de la perspective , mais ce n’était au fond qu’une manière particulière de construire les cadrans.

Monge, cherchant une méthode générale pour déterminer la ligne d’ombre d’un corps, imagina de le couper par des plans parallèles aux rayons de lumière et de mener aux sections des tangentes parallèles à ces rayons. Pour faire ces constructions , il eut recours aux règles de la stéréotomie , c’est ainsi qu’il s’exprime dans un manuscrit que possède l’école de Metz et qu’Olivier a publié. Le Trait de stéréotomie devint ainsi pour lui un art abstrait. Toutes les constructions de la coupe des pierres , très-variées en apparence, résultent delà combinaison d’un petit nombre de tracés élémentaires*, il les groupa, constitua une méthode générale pour la solution des problèmes de la Géométrie de l’espace, et en exposa les principes d’une manière rapide et claire.

Il représenta les lignes et les points par une ichnographie et une orthographie, les plans par leur intersection avec les plans des deux figures , les surfaces par des lignes et des points suivant la loi de leur génération. Assez souvent en stéréotomie pour définir les plans et les droites on fait intervenir d’autres éléments, tels que leur inclinaison, et cela modifie généralement les tracés, mais on peut toujours déduire des données immédiates du problème celles qui doivent être employées dans les procédés généraux de Monge .

Une méthode a besoin d’expressions précises. Monge rejeta les mots de plan et d’élévation, d’ichnographie et d’orthographie; il pensa que des figures identiques, sous le rapport de la génération géométrique, devaient être désignées parle même nom. Il adopta celui de proj ection qui était employé depuis longtemps. Les ingénieurs et les géomètres du dernier siècle s’en étaient servis très-fréquemment.

En perspective on appelait ligne de terre l’intersection du tableau et du géométral. Monge adopta cette expression pour désigner l’intersection des plans des deux figures.

Les ouvriers nomment traces l’intersection d’une surface sur laquelle on fait battre un cordeau avec le plan dans lequel on l’a tendu. Monge adopta ce mot pour désigner l’intersection d’une surface quelconque avec le plan de l’une des deux figures.

Les projections et les traces furent dites verticales ou horizontales, suivant qu’elles se trouvèrent sur l’élévation ou sur le plan.

Monge nomma la méthode Géométrie descriptive. Le but de cette géométrie est en effet de donner la description complète des figures à trois dimensions, de manière qu’on puisse étudier leurs propriétés et résoudre graphiquement les problèmes qui les concernent.

Les noms que Monge a adoptés sont peu nombreux, sim-

pies, parfaitement appropriés. L’expression de ligne de terre représente clairement la ligne suivant laquelle le parement vertical d’un mur vient rencontrer le sol 5 elle est bien préférable à celle de commune section fréquemment employée avant Monge , et à celle de base de V élévation qu’on trouve dans ses premiers manuscrits.

Lacroix s’est occupé de l’art du Trait considéré d’une manière abstraite, mais ses travaux sont postérieurs à ceux de Monge , et il ne leur a donné que peu de développement.

Monge n’a publié sur la Géométrie descriptive qu’un traité peu étendu , mais on trouve des développements importants dans la collection d’épures formée par lui ou sous ses yeux pour l’Ecole Polytechnique. Ces épures, du reste, ne sont pas toutes nouvelles ; celles de coupe des pierres sont extraites de l’ouvrage de La Rue, et représentent, en général, des appareils déjà étudiés par Philibert de l’Orme et tous les auteurs qui l’ont suivi. On en a complété plusieurs par des constructions qui donnent plus de certitude au trait. Je remarquerai principalement les tracés relatifs aux surfaces gauches qui, pour la première fois, sont exacts et complets. Je crois que pour ces surfaces on a parfois dépassé le but , et que certaines constructions ne comportent pas la précision qu’on a voulu leur donner : tel est l’emploi des développées des courbes de jour dans les escaliers pour obtenir les normales à l’intrados. Ce trait d’ailleurs est peu utile; il n’a pas été adopté par les praticiens.

Monge a donné une loi sur la division des voûtes en voussoirs. Il venait de créer la théorie des lignes de courbure; il remarqua que dans les appareils généralement employés pour les coupoles et pour les berceaux cylindriques ou tournants à tête droite, l’intrados était divisé suivant des lignes de courbure, et que les lits et les joints étaient dressés suivant des surfaces développables normales. Son esprit généralisateur y vit une loi ; il crut l’établir par des raisonnements de pure géométrie et il écrivit : « La

division d’une voûte en voussoirs doit toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte , et les joints doivent être des portions de surfaces développables. . . , en sorte que , pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints, et celle de la voûte soient toutes rectangulaires. »

« Avant la découverte des considérations géométriques sur lesquelles tout ce que nous venons de dire est fondé, les artistes avaient un sentiment confus des lois auxquelles elles conduisent, et, dans tous les cas , ils avaient coutume de s’y conformer. »

La loi des lignes de courbure n’est satisfaite que dans quatre des douze épures de coupe des pierres de la Collection de l’Ecole Polytechnique. Elle ne l’est ni dans l’Escalier suspendu, ni dans les deux appareils du Biais-passé, ni dans les Lunettes, ni dans l’Arrière-voussure de Marseille, ni pour le conoïde de la Voûte d’arêtes en tour ronde, ni pour le trompillon de la Trompe biaise. Malgré les termes positifs qu’il emploie , Monge ne regardait donc pas sa loi comme absolue. M. Dupin a remarqué le premier qu’elle souffrait des exceptions. En réalité, de toutes les voûtes que l’on construit fréquemment, les coupoles et les berceaux cylindriques ou tournants , à têtes droites ou peu biaises, sont les seuls où l’on puisse suivre la loi de Monge, et seulement encore dans le cas où la charge doit être reportée uniformément sur les impostes.

L’erreur de cette loi, considérée comme absolue, devint évidente quand la question des arches biaises se présenta. On reconnut qu’il pouvait être nécessaire de modifier les lits et les joints sans que la nature géométrique de l’intrados changeât. M. Lefort a montré en 18^9 que la question était dominée par des considérations de mécanique que Monge avait presque entièrement négligées.

Une voûte est composée de pierres qui s’appuient les unes sur les autres, et sont soutenues en équilibre par les réactions qui se développent. Ces forces varient suivant

l’appareil j les lits doivent être disposés de manière qu’elles soient toujours parallèles aux parements. Dans la partie d’une voûte éloignée des têtes, il est convenable d’établir les lits de telle sorte que la ligne des pressions ait la plus petite longueur possible d’une culée à l’autre. Les voussoirs d’une même assise ne doivent exercer aucune pression les uns sur les autres (i) : cette condition exige que les joints soient des plans ou des cylindres verticaux quand la voûte n’est soumise qu’à son poids et à des charges verticales. Telles sont les règles auxquelles conduit l’étude des poussées dans les voûtes simples, mais il est nécessaire d’avoir égard à d’autres considérations : il faut que chaque pierre ait dans toutes ses parties une épaisseur suffisante, qu’aucun angle ne soit trop aigu , que la taille ni la pose ne soient trop difficiles. Ainsi, dans les arches très-obliques et dans plusieurs autres appareils, on ne peut pas rendre verticales les surfaces des joints , car elles couperaient l’intrados trop obliquement (2). La question est tellement complexe , qu’il ne paraît pas possible d’en donner une solution générale.

Les épures de charpenterie de l’Ecole Polytechnique présentent sur celles de Fourneau de nombreuses améliorations de détail. Ainsi, souvent les petites lignes des assemblages des grandes pièces sont déterminées directement par les procédés généraux de la Géométrie descriptive, et non plus seulement par leurs points extrêmes dont elles servent au contraire à vérifier la position.

Nous avons vu que dans ses premiers travaux Monge construisait les lignes d’ombre et de perspective d’une surface en la coupant par des plans contenant des rayons lu-

(1) Sauf dans les voûtes sphériques ouvertes à la clef, et dans quelques autres constructions analogues.

(2) La verticalité des joints n’est utile que quand les lits sont normaux aux pressions. Elle serait sans intérêt dans les appareils ordinaires des descentes.

milieux ou visuels. Il développa bientôt une autre méthode dans son enseignement.

Dans h ancien Trait on construisait le contour apparent d’une surface en enveloppant d’une courbe les perspectives d’un certain nombre de génératrices, Ce procédé, où l’on voit le cône circonscrit envelopper les cônes perspectifs des génératrices , a probablement suggéré à Monge sa féconde et sa brillante théorie des Enveloppes. Il montra que le contour apparent d’une surface était le lieu des points de rencontre des contours apparents de ses enveloppées par les caractéristiques correspondantes, et déduisit de ce principe très-simple des constructions faciles pour la perspective des surfaces enveloppes de cônes , de cylindres ou de sphères , quand les caractéristiques peuvent être aisément construites.

On doit à l’école de Monge la méthode actuellement suivie pour construire les lignes de contour apparent des surfaces gauches à l’aide de surfaces du second ordre doublement réglées.

Monge a donné une loi pour la description des hachures par lesquelles les graveurs expriment les teintes des différentes parties de la surface des objets qu’ils représentent. D’après lui, ces courbes doivent être les projections des lignes de courbure de la surface, quelles que soient les directions des rayons lumineux. L’exactitude de cette loi , présentée comme générale, devient très-douteuse quand on étudie les œuvres des grands graveurs. Il serait à désirer qu’un artiste distingué fît quelques dessins comparatifs de surfaces géométriques, d’après ses propres idées et d’après la loi des lignes de courbures.

Monge n’a pas rattaché le Trait de topographie à sa méthode générale de projection orthogonale dièdre. Si l’on ne devait considérer que le terrain naturel, on pourrait lever une série de profils parallèles à un même plan vertical sur lequel on les projetterait tous} mais les terrassements et les

maçonneries donneraient au dessin une complication extrême. Le Trait de topographie, basé sur une projection horizontale cotée, est devenu plus tard l’origine d’une géométrie descriptive d’un genre spécial.

Je n’examinerai pas ici les travaux de Monge sur le défilement-, je dirai seulement qu’il détermine le plan de site à l’aide d’un cône circonscrit au terrain. La question ainsi considérée présente une grande analogie avec le problème de la perspective. On voit que si Monge a jugé nécessaire de conserver à la topographie un trait distinct, il a voulu cependant en rattacher les opérations au même ensemble de considérations géométriques.

Monge a montré que les tracés de la Géométrie descriptive présentent souvent des résultats remarquables et inattendus d’où découlent des théorèmes, et qu’en supposant des constructions on pouvait faire naître des rapprochements et obtenir des démonstrations d’un genre spécial. Il a ainsi créé une méthode que l’on peut considérer comme une extension de celle des anciens , mais qui s’en distingue par l’emploi des projections et par une certaine manière indirecte d’envisager les problèmes. La Géométrie descriptive présente deux avantages sur la Géométrie des anciens : d’abord les démonstrations sont souvent intuitives-, ensuite le raisonnement est généralement indépendant des divers agencements que les parties de la figure peuvent présenter dans une même question , ce qui lui donne une plus grande généralité.

On trouve dans Pappus et dans quelques autres géomètres anciens des démonstrations que l’on peut rattacher à cette méthode.

Maintenant, Messieurs, je vais m’occuper de l’art du Trait depuis Monge. Je parlerai d’abord de la stéréotomie.

Ferry et Hachette ont travaillé avec Monge à la collection d’épures de l’Ecole Polytechnique. On croit que les constructions relatives aux surfaces gauches sont principalement dues à Hachette, et que Ferry s’est surtout occupé de la charpente. Plus tard, Hachette a apporté à ces épures quelques modifications utiles; je citerai entre autres l’emploi dans la voûte d’arêtes en tour ronde, d’une demi-ellipse enroulée sur le cylindre de tête pour former la directrice du conoïde. Par cette disposition, les arêtes qui ne peuvent être planes, eu égard aux conditions de symétrie obligées pour le berceau tournant, se projettent sur des arcs de spirale d’Archimède et participent de la beauté de cette courbe (i).

Olivier a proposé pour les portes situées à l’extrémité d’un berceau une arrière-voussure nouvelle, dont on voit un modèle dans les galeries du Conservatoire. Elle est ingénieuse et d’un aspect agréable, mais son appareil est un peu compliqué.

Les appareils modernes des arches biaises forment en stéréotomie un progrès très-important. Les anciens ouvrages de coupe de pierre contiennent deux dispositions pour les passages obliques : dans l’une, les lits sont disposés par rapport à l’intrados comme si le berceau était droit; dans l’autre, les lits sont des plans perpendiculaires au plan de tête et obliques sur l’intrados.

Le premier appareil ne peut pas être employé quand le biais est considérable, par suite de la poussée au vide qui résulte de l’obliquité des lits sur les plans de tête. Le second, connu sous le nom de biais passé , présente de meilleures conditions de stabilité, mais l’obliquité des lits sur l’intrados est un grave défaut. La partie de chaque voussoir

(i) Voir les observations de Hachette sur cette voûte, dans le journal l’ Architecte , février 1 833 .

voisine de l’angle aigu reçoit une pression qui ne peut être détruite que par la résistance de la pierre à la rupture. D’un autre côté, les voussoirs des têtes ne sont pas disposés d une manière symétrique; enfin cet appareil ne peut être employé que quand les plans de tête sont très-rapprochés l’un de l’autre, de sorte qu’il faudrait le plus souvent diviser la voûte en zones indépendantes, et ces zones seraient trèsétroites si l’obliqüité était grande. Le biais passé ne mérite donc pas le nom de voûte oblique parfaite ( arcus obliquus perfectus) que lui donne lie P. de Challes.

Les anciens ingénieurs n’avaient pas à élever de grandes arches très-obliques, ou si exceptionnellement ce problème se présentait, ils l’éludaient en construisant une série d’arceaux droits. Perronet a employé un artifice du même genre pour un ponceau près de Coulommiers; il a construit à chaque extrémité une voûte d’arêtes qui retourne l’intrados normalement au plan de tête.

Gauthey a abordé plus franchement la difficulté. Il donhc au corps de la voûte un appareil d’arche droite qu’il raccorde à joints brisés, près de chaque tête, avec une zone appareillée en biais passé. Comme on ne peut pas donner à la zone une grande épaisseur, cette disposition ne détruit qu’imparfaitement la poussée au vide, et par suite on ne peut l’employer pour des voûtes très-obliques.

La question était donc à peu près neuve quand les longs alignements des chemins de fer et leurs courbes à grand rayon ont exigé une solution complète.

Pour qu’il n’y ait pas de poussée au vide dans une arche biaise, il faut que la surface des lits ait tous ses plans tangents perpendiculaires aux plans de tête, et par suite qu’elle soit un cylindre normal à ces plans. De plus, pour que la voûte soit dans de bonnes conditions de construction et de solidité , il faut que les surfaces des lits soient normales à l’intrados, et comme elles font déjà des angles droits avec les plans de tête, leur intersection avec l’intrados doit être

une trajectoire orthogonale des sections parallèles aux têtes. Elles se trouvent ainsi complètement définies.

Telle est la solution rigoureuse du problème des arches biaises. Onia doit à MM. Lefort et Adhémar. M. Lefort a adopté le premier les trajectoires orthogonales ; il forme la surface des lits par le mouvement d’une droite contenue dans un plan mobile parallèle aux têtes et normale à la courbe de section de l’intrados par ce plan. M. Adhémar a montré qu’une étude exacte des pressions conduisait à substituer aux surfaces gauches de M. Lefort des cylindres ayant les mêmes directrices et normaux aux plans de tête. Nous ne croyons pas que cette modification ait été appliquée : on peut sans inconvénient employer des surfaces gauches pour les lits, pourvu qu’elles soient normales à l’intrados.

Dans cet appareil qui est dit orthogonal , les cours des voussoirs diminuent de largeur près des angles aigus des culées , et les lignes des assises ne se raccordent pas d’une tête à l’autre. Pour obvier en partie à cet inconvénient, on modifie ordinairement les trajectoires de manière que celles qui partent des points de division d’une tête voisins de l’angle aigu de la culée, arrivent à des points de division sur l’autre tête. Les trajectoires intermédiaires sont aussi un peu modifiées et successivement arrêtées dès que les cours de voussoirs deviennent trop minces. La construction définitive des lignes d’assises et leur tracé sur les couchis sont des opérations longues et minutieuses.

Pendant que ces spéculations se faisaient en France, les Anglais adoptaient un appareil qui détruit moins complètement la poussée au vide, mais qui doit être généralement préféré, parce que son exécution est beaucoup plus simple. Ils employaient pour lignes d’assise sur l’intrados des hélices normales en développement aux cordes des sinusoïdes transformées des courbes de tête. Les assises ont partout la même largeur, ce qui simplifie la taille des

pierres, et permet de faire le corps de la voûte en briques. Les lignes des lits étant des hélices, on les trace en pliant des règles piales sur les couchis.

Cet appareil, nommé hélicoïdal, a été décrit par Nicholson dès 1822. Cet ingénieur prend pour lignes des lits sur les têtes, des droites normales à la courbe d’intrados. La surface des lits est formée, comme dans l’appareil de M. Lefort, par une droite qui se meut en restant dans un plan parallèle aux têtes, et normale à la section de l’intrados par ce plan.

En 1829, M. Watson Buck fit remarquer que les lits de Nicholson étaient obliques sur l’intrados \ il leur substitua des surfaces de vis à filet carré, qui avaient l’avantage d’être normales. Tous les lits sont alors formés de surfaces hélicoïdales identiques , ce qui simplifie la taille et la vérification des pierres, et assure une exécution meilleure.

Dans ce nouvel appareil , les lignes des lits sur les têtes sont courbes. M. Buck remarqua que leurs cordes passaient toutes par un même point , dont il détermina la position , et qu’il appela foyer . On a reconnu , plus tard , que c’étaient les tangentes des courbes des lits aux points situés sur l’intrados , et non pas leurs cordes, qui passaient par le foyer.

On peut remplacer les courbes des lits sur les têtes par des droites dirigées vers le foyer. Les lits engendrés par le mouvement de ces droites seraient normaux à l’intrados , comme ceux de M. Buck , mais leurs diverses parties ne seraient plus identiques. Cet appareil serait surtout convenable quand les têtes seules sont en pierres de taille.

Des recherches ont été faites en France et en Angleterre sur l’avantage que présente le surbaissement des arches biaises, sur la détermination du pas des hélices intradossales pour lequel la poussée au vide atteint son minimum, sur les variations de cette poussée suivant le biais, sur les voussures évasées qu’il est nécessaire d’établir près des têtes quand l’obliquité est grande, et enfin sur l’application as-

sez difficile du trait sur la pierre. Plusieurs de ces recherches offrent beaucoup d’intérêt. Je dirai seulement qu’on”a été conduit à des tracés et à des procédés d’exécution qui diffèrent sensiblement de ceux de l’ancienne stéréotomie.

La correction apportée par M. Buck aux lits des arches biaises peut être étendue à d’autres appareils. Dans la vis Saint-Gilles, telle qu’elle est donnée par Philibert de l’Orme et par tous les auteurs qui l’ont suivi , les lignes des lits dans le plan méridien sont des droites normales à la génératrice méridienne ; les surfaces de vis à filet triangulaire qu’elles engendrent, sont obliques à l’intrados. Pour les rendre normales, il suffit de les engendrer par les tangentes aux sections des surfaces gauches normales par le plan méridien.

Les Anglais nous ont devancés pour les appareils modernes des arches biaises. Cela tient au développement plus rapide que l’industrie des chemins de fer a pris en Angleterre. Jusqu’au xixe siècle , les auteurs dont les écrits sur la stéréotomie méritent d’être cités , étaient tous français.

VIH,

La perspective et la détermination des ombres ont fait, depuis les travaux de Monge, des progrès importants.

M. Dupin, ayant continué les recherches de son illustre maître sur la courbure des surfaces , a trouvé la loi qui lie entre elles les positions de la génératrice d’une surface développable circonscrite, et de la tangente à la courbe de contact. Son beau théorème des tangentes conjuguées a permis de mieux étudier les courbes d’ombre et de contour apparent.

Une première conséquence que l’on peut déduire de ce théorème, c’est que lorsque la surface d’un corps est formé de zones appartenant à des surfaces géométriques différentes qui se raccordent avec un contact du premier ordre.

ses lignes d’ombre sont brisées à. la rencontre de chaque courbe de raccordement. Si cette circonstance avait été connue lors de l’établissement de la collection d’épures de l’Ecole Polytechnique, on n’aurait pas altéré la forme de la courbe d’ombre d’une surface de révolution représentant un vase, de manière à faire disparaître ses angles , ou plutôt on eût évité de former la méridienne d’arcs n’ayant entre eux qu’un contact du premier degré.

Hachette , en étudiant les ombres du piédouche, reconnut à l’aide du théorème des tangentes conjuguées, que quand la génératrice de la surface développable avait un contact du second ordre avec la surface inscrite, elle était tangente à la courbe d’ombre et formait ligne de rebroussement. Il donna une construction simple et élégante pour déterminer, sur les surfaces de révolution, les points où ces circonstances se produisent.

Pour compléter cette théorie il restait à montrer que ces points remarquables sont toujours les limites des parties utiles de la courbe de l’ombre propre ou du contour apparent, et de la courbe de l’ombre portée ou de l’étendue occultée. Il fallait en outre reconnaître que ces lignes se raccordent et se continuent à ces points limites.

Divers auteurs, et entre autres Hachette, Léveillé, M. Vallée et M. Cousinery , ont fait sur les courbes d’ombre et de perspective beaucoup de recherches utiles. Ce dernier a donné, pour la construction des perspectives, une méthode déduite des principes d’une géométrie descriptive d’un genre nouveau , où les points , les droites et les plans sont représentés par des projections polaires sur un seul plan.

Monge n’a pas parlé de la perspective cavalière; ses disciples ont imité son silence sur ce mode de représentation qui, par suite, a été momentanément abandonné en France. Les ingénieurs étrangers ont continué à employer des perspectives cavalières toutes les fois que les plans, les

coupes et les élévations ne suffisaient pas pour faire comprendre facilement la forme d’un ouvrage. Farisli a simplifié la construction et l’usage de ce mode de dessin , en donnant au plan de la figure une inclinaison égale sur les trois directions orthogonales qu’on remarque généralement dans les produits de l’industrie. Cette nouvelle perspective est dite isométrique. L’habitude qui s’est répandue dès l’origine de joindre une échelle à chaque figure isométrique a donné à ce mode de représentation un caractère d’exactitude géométrique qui manque, en apparence, à la perspective cavalière.

La perspective isométrique altère plus l’apparence des objets que la perspective cavalière judicieusement employée, mais elle est d’un usage plus facile. On l’emploie beaucoup en Angleterre et en Allemagne. Elle commence à se répandre en France.