IX

L’art du Trait, appliqué à la topographie, a fait de notables progrès. Meunier, qui s’occupait des questions de défilement presque en même temps que Monge, a donnépour la construction de la ligne de contact d’un cône circonscrit au terrain un procédé très-facile.

Après des études sérieuses et de longues discussions , on a adopté, pour le figuré du terrain, la méthode des lignes de plus grande pente avec quelques règles conventionnelles simples et précises.

M. Noizet a établi dans tous ses détails la géométrie des projections cotées; il a montré que ce mode de représentation, moitié arithmétique, moitié géométrique, se prêtait à toutes les constructions avec une merveilleuse facilité. Depuis ses travaux les projets de fortification peuvent être étudiés d’une manière plus exacte et plus rapide.

Deux ingénieurs dont les sciences ont déploré la mort

prématurée, Brisson et Dupuis de Torcy, ont signalé ces lignes de plus grande pente suivant lesquelles se font le partage et la réunion des eaux. Leur considération a été fort utile pour la géographie et le tracé des voies de communication, mais jusqu’à présent leur nature géométrique ne paraît pas avoir été nettement définie.

M. Lalanne a utilisé la méthode des courbes de niveau pour construire des tableaux graphiques destinés à remplacer les tables numériques à double entrée. Il est parvenu ainsi à rendre sensibles aux yeux les variations d’une fonction de deux variables, comme on le fait par une courbe pour une fonction d’une seule variable (i). Puis généralisant la belle idée de Mercator pour construire des cartes où les loxodromies fussent représentées par des droites, il a imaginé de modifier la graduation naturelle des échelles de ses tableaux, de manière à simplifier la construction des courbes de niveau. Il a pu ainsi construire avec plus d’exactitude des tables graphiques très-utiles.

M. Cousinery a tracé sur un même tableau les courbes de deux fonctions différentes de deux mêmes arguments. Un diagramme ainsi disposé permet de résoudre facilement les problèmes que présente la combinaison de quatre variables liées par deux équations.

La Géométrie descriptive théorique a pris un développement considérable. Son histoire a été exposée par divers géomètres, principalement par MM. Dupin, Poncelet et Chasles. Je ne pourrais que répéter les détails intéressants donnés par ces savants. Ce serait d’ailleurs sortir un peu

(i) Quelques tableaux de ce genre avaient été construits avant ceux

de M. Lalanne (voir le chapitre IV de son Mémoire ; Annales des Ponts

et Chaussée s y 1846).

de mon sujet, car la Géométrie descriptive ne sera considérée dans ce Cours qu’en vue de ses applications. Je me contenterai de citer un passage où M. Chasles apprécie la destination et le caractère scientifique de la Géométrie descriptive.

<c Dans ces derniers temps, dit-il, après un repos de près d’un siècle, la Géométrie pure s’enrichit d’une doctrine nouvelle, la Géométrie descriptive , qui était le complément nécessaire de la Géométrie analytique de Descartes, et qui, comme elle, devait avoir des résultats immenses, et marquer une ère nouvelle dans l’histoire de la Géométrie. »

M. Chasles nous montre ensuite la Géométrie descriptive « servant de flambeau dans les recherches et dans l’appréciation des résultats de la Géométrie analytique, et doublant nos moyens d’investigation dans la science de l’étendue; » puis il ajoute :

« En la considérant en particulier comme simple doctrine géométrique, nous trouvons encore qu’elle apporta un immense secours dans la science de l’étendue, car elle devint par ses principes et par la corrélation constante qu’elle établissait entre les figures à trois dimensions et les figures planes, un véritable moyen de recherche et de démonstration en Géométrie rationnelle; et, par ses procédés qui sont en Géométrie pratique ce que les quatre règles de l’arithmétique sont dans la science du calcul , elle fournit un moyen de solution à priori dans des questions où la Géométrie de Descartes , toute puissante en tant d’autres circonstances , se trouvait arrêtée par les bornes que rencontrait l’algèbre elle-même. »

« Monge nous donna dans son Traité de Géométrie descriptive les premiers exemples de l’alliance intime et systématique entre les figures à trois dimensions et les figures planes. C’est par de telles considérations qu’il démontra avec une élégance rare et une évidence parfaite les beaux théorèmes qui constituent la théorie des pôles dans les courbes du se-

cond degré ; la propriété des centres de similitude de trois cercles pris deux à deux, lesquels sont trois à trois en ligne droite 5 et diverses autres propositions de géométrie plane. »

« Depuis , les élèves de Monge cultivèrent avec succès cette géométrie d’un genre vraiment nouveau . Les dé¬

couvertes faites de cette manière sont nombreuses ; leur exposé présenterait certainement une page intéressante dans l’histoire de la Géométrie. »

M. Chasles examine ensuite dans de remarquables exemples la puissance et la fécondité de la Géométrie descriptive considérée comme méthode.

Je regrette que l’étendue de ce passage éloquent de Y Aperçu historique du développement des méthodes en géométrie ne me permette pas de le rapporter en entier*, toutefois la citation que je viens de faire suffit pour indiquer le rôle que la Géométrie descriptive joue dans la science.

Dans un discours prononcé en 1846 à la Faculté des Sciences de Paris, M. Chasles a exprimé une opinion qui semble différente. Il reconnaît que la Géométrie descriptive peut faciliter les recherches théoriques en donnant le moyen de représenter par une figure plane les corps que l’on doit considérer, et qu’en familiarisant avec les formes de certaines familles de surfaces , elle habitue l’esprit à les concevoir intellectuellement 5 mais, après avoir énuméré ses applications, il ajoute : « Il ne faut pas perdre de vue que, dans toutes ces questions , la Géométrie descriptive n’est toujours qu’un instrument dont l’ingénieur se sert pour traduire sa pensée et exécuter sur le papier les opérations que la science, je veux dire la Géométrie générale, lui indique. La Géométrie descriptive exécute, mais elle ne crée pas. Si elle montre aux yeux la courbe d’intersection de deux surfaces, elle n’en fait pas connaître les propriétés \ elle ne saurait même indiquer, mathématiquement parlant, si cette courbe est plane ou à double courbure. Elle 11’a point de

méthodes pour ces recherches, qui sont exclusivement au domaine de la Géométrie rationnelle. »

Olivier a combattu cette appréciation. Il a établi la puissance de la Géométrie descriptive comme méthode de recherches par des exemples, et en s’appuyant sur l’autorité de Monge et de Carnot.

La discussion s’est prolongée jusqu’à ces derniers temps. J’ai eu d’abord la pensée d’y remplacer Olivier dans la mesure de mes forces. Acceptant l’exemple indiqué par M. Chasles comme témoignage de l’impuissance de la Géométrie descriptive, je pouvais rappeler qu’en stéréotomie il faut savoir d’avance si une arête est plane ou à double courbure, car les procédés pour l’application du trait ne sont pas les mêmes dans les deux cas *, que dans certains appareils on combine la génération de deux surfaces d’intrados, de manière que l’arête soit plane, et que les considérations trèssimples de géométrie descriptive suffisent à la solution de ces problèmes. Je pouvais citer de belles recherches faites à l’aide de la Géométrie descriptive, telles que celles de M. Dupin sur la catoptrique. Mais j’ai cru que la discussion provenait d’un malentendu, M. Chasles ne faisant consister la Géométrie descriptive que dans l’exécution des tracés , et Olivier y voyant surtout une méthode de géométrie basée sur les relations qu’on peut concevoir entre les figures à trois dimensions et les figures planes. J’ai pensé qu’il suffirait de montrer comment le savant professeur de la Faculté des Sciences appréciait la Géométrie descriptive considérée comme méthode, pour prouver qu’au fond il est entièrement d’accord avec Olivier (1). Que, si M. Chasles a mo-

(i) Il eût été facile de multiplier les citations. Ainsi M. Chasles a écrit: « La Géométrie descriptive de Monge, qui appartient essentiellement à la science des propriétés de l’étendue , peut servir pour trouver la mesure des corps ; mais ce n’est certainement là que le moindre de ses usages. »

difié son opinion, il me pardonnera d’avoir, pour combattre ses appréciations nouvelles , emprunté à sa parole une autorité qui manque à la mienne (1).

(i) La pensée de M. Chasles ne peut être douteuse pour quiconque connaît l’ensemble de ses ouvrages ; mais il y a des personnes qui , s’autorisant de son nom , répètent que la Géométrie descriptive ne peut indiquer si une courbe est plane ou gauche. Il est facile de montrer que c’est une question de mots.

En mathématiques, les problèmes d’application peuvent être résolus par des calculs numériques ou par des opérations graphiques. Chacune de ces méthodes a ses avantages et ses inconvénients. La science recherche les vérités et les rend sensibles par des formules ou par des constructions. L’exécution des calculs et des tracés dans les diverses questions particulières , forme l’art du calculateur et celui du dessinateur : l’un présente les équations numériques de l’intersection de deux surfaces données, l’autre montre ses projections; tous deux peuvent vérifier si cette courbe est dans un plan , mais ni l’un ni l’autre ne peut dire si une ligne dont on fait connaître la génération est plane, mathématiquement parlant.

La question est de savoir si l’on veut appeler Géométrie descriptive la partie de la Géométrie qui s’occupe de manifester par des constructions les propriétés de l’étendue, et de résoudre les problèmes par les tracés, ou si l’on n’entend appliquer cette désignation qu’à l’art d’exécuter les opérations graphiques.

Dans tous les cas, il est nécessaire que l’appareilleur sache, comme par le passé, si tel ou tel mode de génération de deux surfaces d’intrados doit lui donner une arête plane ou gauche. Si la Géométrie descriptive , réduite à l’exécution des tracés , devient impuissante à résoudre ce problème, il est indispensable de la remplacer par la Géométrie rationnelle appliquée au Trait. Ce sera un changement de nom.

D’ailleurs, si l’on fait rentrer les théories relatives aux constructions dans une certaine Géométrie générale ou rationnelle, qui seule ait le droit de raisonner, il faudra également comprendre dans cette science jalouse tout ce qui tient à l’établissement des formules ; car ce sont des questions de même ordre. Alors il n’y aura plus que des sciences naturelles et une seule science mathématique indivisible. Il est inutile d’examiner plus longtemps ce sujet : on voit clairement que tout se réduirait à des changements de nom , mais que ces changements devraient être assez nombreux.