IX. On aperçoit immédiatement, que tout polynôme

est divisible, tant par lui-même, que par une constante quelconque (^ o). Dans le premier cas, le quotient est I ; dans le second, on l'obtient en divisant simplement les coefficients du dividende par la constante diviseur (VI).

3. A la notion de divisibilité, les suivantes se rattachent très étroitement.

I. Deux polynômes sont semblables quand l'un est divisible par l'autre et que le quotient de leur division se réduit à une constante, relation évidemment réciproque. Ils sont dissemblables s'il en est autrement.

II. Les diviseurs d'un polynôme donné sont ceux de degrés >■ o qui le divisent, c'est-à-dire par lesquels il est divisible (2). Parmi eux, se trouvent toujours lui-même (Ib. IX) et, visiblement, les polynômes semblables à tout diviseur qu'on lui connaîtrait déjà.

On notera que les constantes ne comptent pas comme diviseurs, bien qu'elles divisent tous les polynômes quand elles sont yé o [Ibid.].

\}n polvnome est premier, quand, étant de degré ^ o, il n'a d'autres diviseurs que ses semblables (I) (luimême compris). Tel est, visiblement, un polynôme quelconque du premier degré.

III. Tout polynôme non premier peut être mis sous forme d'un produit de facteurs premiers {dissemblables ou semblables); et le nombre de ces facteurs est limité, puisque leurs degrés, tous >► o, ont celui de proposé pour somme. Ce polynôme est dit composé (de tels facteurs).

{Dans le cas tout spécial d' un polynôme à une

( i3 ) seule variable, de degré lo, ces facteurs premiers sont de degré commun = \ , et en nombre = to. Ceci résulle du point fondamental de la théorie des équations entières à une inconnue.)

IV. Un diviseur est commun à plusieurs polynômes, quand il divise chacun d'eux séparément.

Quand des polynômes ont un diviseur commun, celui-ci divise aussi toute combinaison faite d'eux par des additions et soustractions ; le quotient est la combinaison homonyme de ceux de leurs divisions par ce diviseur. *

Des polynômes sont premiers entre eux, quand ils sont dépourvus de tout diviseur commun. Ils ne sont alors divisibles simultanément, que par des constantes yi^ o.

Des polynômes dissemblables et premiers chacun {dans le sens absolu du mot) sont toujours premiers entre eux.

V. Les multiples d'un polynôme donné sont tous ceux que celui-ci divise; ils se confondent évidemment avec ses produits par tous les polynômes imaginables; en particulier, ils comprennentses semblables.

Tout diviseur d' un polynôme divise l'un quelconque de ses multiples; le quotient est le produit de celui de la division du polynôme par le diviseur, et du multiplicateur qui a fourni le multiple considéré.

Les multiples communs de plusieurs polynômes sont tous ceux que divise chacun des proposés.

4. La division algébrique est susceptible d'une extension dont nous allons avoir besoin.

Les polynômes 3\L, SL du n" 2, VII étant repris, on peut en assigner un troisième ^^'Jj^ déchevêtré de ce, qui rende possible la division algébrique du produit ^^'^DïLpar ^, c'est-à-dire qui permette la formation de l'identité.

(5) <^)p3iL = (ei5r,4-'«,

où ^ et ^ sont des polynômes dont les degrés en x ont des valeurs = m — w et <C ".

[. Soient N,,^'^ toujours, le premier terme de OL, puis M,'^'a7'*h celui d'un dividende partiel 01L''' ordonné comment, Jb l'ont été. Aussi longtemps que wij sera ^u, on assurera la possibilité de la division partielle correspondante en multipliant OTt^'^ par quelque polynôme (^)p('^ déchevêtré de x, choisi de manière à donner avec M^\' im produit ^^^J)"^M^'^' (jui soit divisible par ]Nii; à cette fin, il suffira de prendre, pour le multiplicateur (^>p('), Na toujours (3, V), un poljnome de degré moindre parfois (16, in/.), i même seulement, quand la division partielle à exécuter sera possible d'emblée, c'est-à-dire quand M^^^ se trouvera divisible par N„.

En représentant alors par i^"^ le quotient

[('-V"'Miu,):N.,]:r"^-",

par 3Tt('+*^ la difterence (-^^pC^OrL^'^ — i^^'^^^, dont le degré en x est <; la,, il vient

(6) (*)}»('•' D]U'^ = q('' JL -h 011"+»'.

11. En faisant successivement ici ;" = o, 1,2, . . ., on trouvera

( «5 ) et l'on poursuivra aussi longlenps que mi^^ degré de OfL''"*"'^ restera ^u. Comme les entiers m, nn, ma, ••• vont sans cesse en diminuant de i au moins chaque fois, on atteindra certainement une différence Olt^-/"^'^ dont ie degré sera <C i»^, à laquelle, en conséquence, on sera forcé de s'arrêter; et la récurrence (7) se terminera par

Pour obtenir enfin la relation cliercliée (5), il suffit maintenant d'ajouter membre à membre celles de l'ensemble (7) et (8), multipliées respectivement par les produits

1 (:i-)j)(l)(x)j,(2)lx),..pCy) i^ U)|,(2)la:)pC3).(x)p(yi {^

puis de noter (•'*^"|), QIX et tl les sommes des produits de ces multiplicateurs par les '•'"^p, . . ., par les q, ... et

Les multiplicateurs (9) étant, comme leurs facteurs (•^^p, ..., tous déchevêtrés de a;, on observera : que '■■^■'P est tel, que le degré de Cl en a^est m — n puisque

ceux de H, q^'^, il^'^^ ...sont m u, nu u, mo — II, ...,

en suite sans cesse décroissante, que celui de

est <; 11, ce que nous avons déjà vu.

m. 11 est essentiel de noter que la construction de la relation (5) comporte simplement l'algorithme de la division algébrique à une seule variable ordonnatrice^ combiné avec le maniement de polynômes déchevêtrés de cette variable, c'est-à-dire en contenant une de moins que les proposés. On supprimerait même toute difficulté dans ce maniement, en pre-

( ^6) nant invariablement N„ pour chacun des multiplicateurs ^-^^p, '-^^p^'^,

On pourrait donner à cette opération le nom de quasi-division relative à la variable ordinatrice x, de OTL par 5X>, à ces polynômes et à Ct, 'H, ceux de quasidividende, quasi-diviseur et quasi-quotient, quasireste, à '•^^'^ celui de préparateur.

La division algébrique n'étant que le cas particulier qui se présente quand le préparateur se réduit à i, ces dénominations lui seraient bien mieux appropriées que celles du langage courant, puisque la divisibilité proprement dite du dividende par le diviseur n'est qu'une éventualité tout à fait exceptionnelle.

Au n° 16 (in/.), nous verrons qu'on peut toujours s'arranger de manière à rendre premiers entre eux le préparateur et le quasi-quotient.

5. Les mêmes polynômes .OU, dZ, (2, VII), (4) étant encore repris, on peut en assigne/- trois autres,

(g bis) $, ^, '•^■)^,

dont le dernier est déchevêtré de x, dont les deux premiers sont non-nuls (1, IV), avec des degrés p, c\ en X remplissant les conditions

et qui, tous trois, donnent avec DIL, J^ la relation

(lo) ^i)\\-\-<^r<o = ^^^§.

l. La suite de polynômes

■^y-i) ^"^ji a^y-4-1) i^y+2)

qui commence par les proposés et se poursuit par ceux qu'on rencontre successivement à partir du troisiènie, en prenant chaque fois le quasi-reste de la quasi-divi-

( '7 ) sion de ranliprécédent par le précédent (4, III), s'arrête forcément à un terme SKaj^^ déchevétré de x. Leurs degrés en x forment effectivement une suite décroissante

(il) m^ u > Il 1 > Il j > . . . > iiy+i > lty^.J ( = O ),

puisque, dans toute quasi-division, celui du quasi-reste est inférieur à celui du quasi-diviseur; et un entier non négatif décroissant finit toujours par atteindre la valeur o.

Si ces quasi-divisions ont

(12) te)|), (')pi, ..., (*)p^, (^)p^+„ ..., (^'py, (^Jpy+i,

pour préparateurs et quasi-quotients, ceux-ci changés de signes, elles seront formulées par les relations.

'*^Pf^., DLi -+- q/+, 3^i+, = 3î;,,+2,

(*)py ^y , H- qy ^y = ^y+, ,

**'P/-t-l SfLj-^ qy-^.l 3'ï>y-M = dZ>j+i,

desquelles, en procédant de bas en haut, comme nous allons l'indiquer, on déduira successivement celles-ci en même nombre j -\- i :

?3ÏL -4-QX =Xy+„

Py (Xy 1 -+- Qy <D^y = (D^y+2 ,

Py-f-1 (Dby -<- Qy+i «)T^.y^.l = 5'^->y^.2.

( '8 ) Pour la dernière de (i5), on prendra simplement celle de (14)5 c'est-à-dire qu'on fera

(16) Py+i = t^)j)y+i, Qy+i = Hj+i.

Ensuite et généralement, on formera celle de (i5) où l'indice commun de P, Q est i (<^J + i), en prenant le résultat de l'élimination de SfLi^i entre celle du même tableau où cet indice est i-\- 1, et celle de (i4) où ^'^^P, m portent l'indice i, élimination faite de manière à donner

Tout ceci ayant été exécuté, il suffira, pour former la relation cherchée (10), de prendre

OÙ SfLj^.2 est déchevêtré de x, et nous allons constater que P, Q remplissent les conditions imposées à ^, ^ par l'énoncé.

II. Nous représenterons par . . ., X/, ... les degrés en X (effectifs) des poljnomes (i3) tous non-nuls comme quotients de quasi-divisions possibles à dividendes non-nuls, et par . . ., H,, . . ., par . . ., X/, . . ., ceux des ..., P,-, .. ., des Q/, ..., dont nous allons reconnaître la non-nullité.

r' On a

Conséquence immédiate de l'égalité '^j=n^, — h,et des inégalités (i i).

2° Si les inégalités

(19) P/-ti7^o, Qi+i^o,

( 19 ) existent, on aura encore

avec

{■il) ni=X,-+i, X,'=y^,--HX/+i,

d'où, soit

(•i3) n/<X,-, si i>o (i°),

soit

(24) n^X, 51 1 = 0, selon que y^^^M — n est ^o (Ib.).

A cause de Qz+i 7^ o (19), de l'inégalité de principe (^)p,^o, la première formule (17) donne immédiatement 9i^o (21), puis n,=:Xi4., (22), par sa combinaison avec le fait que les préparateurs (12) sont déchevêtrés de a;.

Pour la même cause, et parce que lî/^z^ o, la dernière partie de l'expression de Q,- (17) est non-nulle, avec X, -i- X/^i pour degré (en a:); la première partie étant non nulle aussi (19), mais de degré 11/^, qui est •< X,4.i (20), cette expression est non-nulle et de degré X/H-X/+,. La seconde relation (19) conduit donc aux secondes relations (21) et (2a), d'où ( 28) ou bien (24) suivaot le cas.

3° A cause de (16) entraînant

Bj+i = o, Xy^-i = ij+t > o,

les inégalités (19), (20) ont lieu pour « =y -j- i ; elles subsistent donc pour i =J, j — i, . . ,, 1, o (2°).

4" En faisant f= 1, 2, ...,j successivement dans la seconde égalité (22), se rappelant que Xy+i =Xj^i (i()) = iiy — liy^, parce que i\j^i est le quasi-quotient

de la quasi-division de 3î.y par i)I^y^, , et ajoutant membre à membre, il vient

/ ^'^i = Xi + X2^- ••• +Xy+i

(25) I = (it, — II, )-f-(u, — iij)-h ... -}-(lly— M-y+i)

( =11, lly^,.

On en conclut II = X, (92) < n (i r).

Enfin, la seconde égalité (22) et (25) donnent immédiatement X = (iiv — a) + (11, 'V+i) = '^ — "/+M

d'où X <; m, dernier point nous restant à établir.

III. La formation de la relation (10) sous les conditions posées peut se nommer V élimination de x entre les polynômes ,')1I, SK, ; les polynômes (9 bis) en sont les multiplicateurs et le ( polynôme) ^/«a/.

6. Quand un polynôme premier SIL (3, II) divise le produit 4^31L de deux autres {premiers ou composés), mais non le second facteur d\L, il divise Vautre J(^ forcément.

Notre démonstration comporte l'examen successif des cas distingués ci-après.

I. 3X> n'est enchevêtré que de tout ou partie du groupe (3); ^, 011 le sont, tant de [3) que de {2) ; le théorème a été démontré dans tous les cas où chacun de ces trois polynômes ne l'est que de tout ou partie de (3).

1° Sous ces hypothèses, et si notre théorème est vrai quand J^^ d\l, enchevêtrés de (3), ne le sont en outre que de quelque sous- groupe de (2), il subsiste après C adjonction d' une nouvelle variable x à ce sous- groupe.

Cette adjonction ayant été faite, soient

(^ =)L/a7'-(-L,,ar'-i-f-..., ( on = ) M,„a7'« -h M,„i ar'«-> •+-...

les résultats de l'ordination de ces polynômes par rapport à X, dont les coefficients L, M en sont déchevétrés, et dont les termes ont été écrits dans l'ordre où leurs degrés (en x) décroissent.

Comme les M ne sont pas tous divisibles par %, sans quoi 011 le serait (2, VI), contrairement à l'hjpothèse, l'un d'eux au moins M^^ sera non divisible à l'exclusion de ses précédents M„j, M,w,, ..., M(|,,, et en écrivant

le second membre sera divisible par DZ puisque les deux parties du premier le sont (3, IV), l'une par hypothèse, l'autre à cause de la même divisibilité des coefficients M;;,, M„,,, . , ., M(j,,. Mais on a

^(M^x\>--^ . . .) = (L/x' -h . . .)iM^^x\>- -h . . .) = LiM^xi+\^-^...,

développement où le terme laissé en évidence n'en a visiblement aucun autre semblable. Il faut donc (2, VI) que L/M(x, coefficient de ce terme, soit divisible par 5^, et, par suite, en vertu de l'hypothèse spéciale au présent sous-alinéa, que L/ le soit, puisque M^ ne l'est pas.

On a ensuite

J^(M^,,xi^-h...)—Llxl{My,x\^^...)

= (L/, ip'-i H- . . . ) ( M jA arîA -h . . . ),

produit encore divisible par 3^, comme les deux parties

du premier membre où L/ l'est. De même qu'à l'instant, et en vertu de la même hypothèse, la non divisibilité de M(i entraînera la divisibilité de L/,,puis, successivement, de L/2, ..., Lo, puis finalement celle

2° L'exactitude du point en question ayant été admise pour le cas oii 4^, OTL sont déchevêtrés de (2), ce qui précède l'étendra à ceux où l'on introduit dans ces polynômes les variables x d'abord, puis y après x, puis z après x et y, puis . . ., puis w finalement.

II. DXl n'est enchevêtré que de tout ou partie de (3) ; 41,j 3T;> le sont de tout ou partie,, tant de {1) que de (3); le théorème a été démontré dans tous les cas où chacun de ces trois polynômes ne Vesl que de tout ou partie de (3).

Nommons ^ le quotient de la division du produit 4^ÎL, par ^^ qui est supposée possible.

1° Si OÏL est déchevétré des variables (3) encore, il se réduit à une constante, et le point en question est évident. Car le quotient '^: OTL est un polynôme entier semblable à ^(3, I), et l'identité

donne immédiatement JÇj= (^ : Oïl) 5X>.

2° Sinon, soient nt|, llla, lits, ..., llty des facteurs premiers en lesquels OÏL peut être décomposé (76., III), facteurs tous déchevêtrés de (2) puisqu'il en est ainsi pour leur produit OÏL (1, VI). L'identité (26) s'écrira

(27) 4Ln»imtms. . .nty = ^0Î,,

et, comme tît, divise le premier membre (3, V), il divisera le second, mais non le facteur premier ^ dé

( 23 ) celui-ci ; car il lui serait semblable {Ib., H), et, divisant m,, SP^ diviserait OIL {Ib., V) contrairement à l'hjpothèse. Ce facteur ttli divise donc ^(I), et, en nommant ^1 le quotient ^: m, de cette division, celle des deux membres de (27) par le même diviseur conduit à