mjm3...my=^, % (3,V

On prouvera de la même manière que 1112 divise ^,, puis que tlts, ..., Hly divisent ^2» •••> ^y-( quotients de ces divisions enchaînées. En nommant enfin ^• celui de la dernière, on obtiendra successivement les identités

dont la dernière formule précisément le fait à établir.

III. X^, n\L, 3T5 sont enchevêtrés chacun, de tout ou partie du groupe (3) et de x seulement dans Vautre (2), ceci à des degrés quelconques f, m, u; le théorème a été démontré dans tous les cas où chacun des trois polynômes ne l'est que de tout ou partie de (3).

Entre OTL, 2Ko nous éliminerons x par la relation

(28) ^yn. + ^x = f<f ,

où ^^^# est déchevêtré de x, où les degrés (en x) de ^, ^ sont p -< II, c^ < lu (5).

1° Sous les hypothèses actuelles (III), et si notre théorème est vrai pour n = y, entier ^i, il l'est encore pour it = V + i .

Supposons u = V + I .

A. Tout polynôme premier p dont le degré {en x) est £v, et qui divise le produit ^^X, divise ^ aussi.

Dissemblable au polynôme premier 3Î), comme étant de degré inférieur à v + i degré de celui-ci, il ne peut le diviser.

Si p est déchevêtré de x^ il divise ^ par application du dispositif de l'alinéa I.

S'il en est enchevêtré, ;^ l'est forcément aussi. Autrement ^ serait non divisible par p, le dispositif de l'alinéa II serait applicable aux trois polynômes â)b, ^, p (substitués respectivement à 4^, OTl, ^To du lieu cité), et ^ serait divisible par p contrairement à ce que nous venons de constater. Les polynômes :^, ^^ P sont alors enchevêtrés de x^ tous trois; le troisième est premier, de degré <[ v + i , et divise :^|rc> sans diviser ^\ il divise donc î^en vertu de l'hypothèse additionnelle propre au présent sous-alinéa i",

B. Le polynôme '^^^ est non-nul.

Autrement la relation (28) donnerait

ce dont nous allons reconnaître l'impossibilité.

Si ^ se réduit à une constante, — ^ ^ ^ serait un polynôme entier, et l'on aurait Oft == ( — ^', ^)dL, chose impossible puisque nous admettons que OTL n'est pas divisible par OL.

Sinon, tout facteur premier de ^ diviserait ^3^, ^ par suite (A), parce que son degré, égal au plus à celui de ^S qui est essentiellement inférieur à v -}- i degré de 2fL, est £v. En raisonnant ensuite comme tout à l'heure (II, 2°), on trouverait que OTL est divisible par SL, contrairement à ce que nous avons supposé.

G. Finalement, si l'on multiplie (28) par 4^, il vient

(29) (S{J^DK )-^^^(DL) = i:^^^é,

( 25) ceci montrant que 3X> divise -^^•^^^, comme divisant -(^Sl^ par hypothèse, DZ en fait, les deux parties du premier membre par suite (3, IV). Or, enchevêtré de x, il ne peut diviser le second facteur '-^'^ de ce produit, qui, non-nul (B), en est au contraire déchevêtré. 11 en divise donc l'autre facteur ^(11).

2" Sous les mêmes hypothèses (IH), notre théorème est vrai pour »= i .

Les raisonnements sont identiques à ceux des sections (A), (B), (C) du sous-alinéa précédent (i°), avec cette simplification pourtant que, p < u étant ici = o, tous les facteurs premiers de ^ sont, comme lui-même, déchevêtrés de ^. .

3" Sous les mêmes hypothèses (III), notre théorème est vrai pour toutes les valeurs de «. Conséquence immédiate de la combinaison des sous-alinéas 1°, 2".

IV. i^^ 3TL, Db sont enchevêtrés de œ, déchevêtrés de toutes autres variables ; rien du théorème n'a encore été établi.

Les raisonnements sont ceux de l'alinéa III, avec les menues modifications suivantes :

Dans la section A de son sous-alinéa i", p ne peut être déchevêtré de ^, puisque, ne dépendant alors d'aucune variable, il se réduirait à une constante et ne serait pas un diviseur du produit ^l> (3, II); si ^ n'était pas -enchevêtré de ^, il se réduirait à une constante pour la même cause, et, semblable alors au polynôme premier 3Î,, le produit en question ne pourrait être divisible par p, cortlrairement à l'hypothèse spéciale à cette section.

Dans la section B du même sous-alinéa, le polynôme

non nul <-^^^ se réduit à une conslanle <ï>, puisque, déchevêtré essentiellemeot de x, la seule Variable de la question, il ne dépend d'aucune.

Dans le sous-alinéa 2", ^ se réduit à une constante II, et la relation finale (29) prend la forme

sur laquelle la divisibilité de -1^ par 3î> est plus visible encore.

V. Des cas examinés ci-dessus, on passe à tous les autres par la marche progressive dont les premières et principales étapes sont indiquées ci-après, avec leurs références.

a. — ^^ OîL, ^sont enchevêtrés de x seulement [(IV)].

^. — Jt) est enchevêtré de x seulement ; OR/, 4^ l& sont de x^ y seulement [(a), (I)].

y. — <DTi est enchevêtré de x^ y seulement; dV^ ne V est que de y ; *^est comme D^[(a), (jS), (II)].

ô. — 3X), OU, .^sont enchevêtrés de x^ y seule- /n^n^[(a),(^),(y),(lll)].

e. — .% est enchevêtré de x^y seulement; On, 4^, de x,y, z seulement [(a), (P), (y), (S), (I)].

t\. — 0Ï, est enchevêtré de x, y^ z ; 011 ne l'est que de y^ z\ 4^ est comme 3t. [(a), ([3), (y), (3), (e),

(La condition imposée à ^^ OFl, i^ de dépendre des variables successivement désignées, par voie d'enchevêtrement proprement dit, non à titre simplement nominal, a eu pour but de donner brièveté et complète précision à la spécification de ces divers cas, et

( 27) d'en montrer plus nettement la progression. Mais, dans le cas (^) par exemple, l'un des polynômes 2fïl, 4;^pourrait être déchevêtré de y, tons deux pourraient être enchevêtrés d'autres variables quelconques accompagnant X. Et de même dans les autres.)

7. Un polynôme premier 2f^ qui divise le produit 31L, OTLa. . .OULa de polynômes quelconques, divise Cun au m,oins d^ entre eux, lui est semblable en conséquence si ce facteur est premier aussi.

Car 5Ka divise le produit de deux facteurs seulement OTL, (3IL2 • • -311/*) = on, .. .Jdk'i si donc il ne divise pas DTLi , il divisera le produit rPdi . . . SfïLk (6). On verra de même que, s'il ne divise pas DÏL2} i' divise OTLs . . . OH^t, et ainsi de suite, puis finalement que, s'il ne divise pas -')TLyt,, il divise DTift.

8. En décomposant un même polynôme quelconque en facteurs premiers (3, III), on ne trouve jamais ceux-ci qu'en un même nombre et respectivement semblables, pour chaque décomposition, à ceux provenant de toute autre (conçus dans un ordre convenable).

1. Quand un produit /|lî de i polynômes premiers 5^,, ..., STsi est semblable à un autre produit ^^^|II de j'^i facteurs de ce genre, on a i = j, et les facteurs de chacun sont respectivement semblables à ceux de Vautre {conçus dans un ordre convenable).

Le facteur ^X» de {^ divise évidemment le polynôme semblable ^-Z^^, divise en conséquence l'un 3^' des facteurs de celui-ci (7), lui est même semblable puisque 3Î>,, 2f^' sont premiers (3, II), et les quotients

( 28 ) ,|î : é>t, = <DT:,2 . • . ^i, ^•'^î' : 5(L' ={...)' sont évidemment semblables aussi.

De là on conclut, de la même manière, que JGo, factenr de X2 . • • 3X>/ est semblable à quelque facteur 5Ï>" de (...y, que les quotients ,|l :(3îi,X2), ^^'>H :(3Î,'X") le sont encore, et ainsi de suite, jusqu'à épuisement des facteurs de ,-^ . A ce moment, le polynôme i^:{SIL,OZi... SK,i), auquel U)'f^ : {3fL' dV . . . 3^(')) est encore semblable, se réduit à une constante; il faut donc que ce dernier se réduise aussi à une constante, ceci entraînant i=^j-

II. De là notre théorème, puisque deux décompositions quelconques conduisent à des groupes de facteurs dont les produits sont égaux, au polynôme proposé chacun, mutuellement par suite, semblables en particulier.

9. Comme on amène immédiatement des polynômes semblables à l'égalité, en les multipliant par des constantes convenables, on peut sous-entendre Vintroduction préalable de tels multiplicateurs, et, par cette convention, simplifier considérablement le langage. Au lieu de l'énoncé précédent (8), on dira par exemple :

Tout polynôme peut, d^ une seule manière, être mis sous forme d'un produit de puissances de polynômes premiers inégaux ( c'est à-dire dissemblables).

Le seul mot décomposition est très commode pour désigner cette opération et aussi son résultat.