II. Les quotients

sont premiers entre eux. Réciproq uement, un polynôme A est le plus grand commun diviseur des proposés (3o), sHl les divise tous, en donnant des quotients premiers entre eux.

III. Si le groupe (3o) est partagé dune manière quelconque en plusieurs sous-groupes

(30 (X, Db, ...), (,!:, ^, ...),...

ayant respectivement A<, A2, . . . pour plus grands communs diviseurs, celui du groupe total est le plus grand commun diviseur de A,, Ao,

Cette observation réduit la recherche du plus grand commun diviseur de poljnomes en nombre quelconque, à de simples réitérations de celle concernant deux poljnomes seulement.

( 3i ) J2. En plaçant chaque facteur des décompositions des mêmes polynômes (3o) sous un exposant égal au plus grand de ceux qu'il porte dans les unes et dans les autres, puis en faisant le produit de ces puissances, on forme un autre poljnome V, unique encore, qui est caractérisé par des propriétés inverses, en quelque sorte, de celles du plus grand commun diviseur.

I. Tout miilliple de V (^lui-même compris) est un multiple commun de tous les polynômes {Zo)^ (3, V). Inversement, ceux-ci n^ont pas d'autres multiples communs que les multiples de V.

Ce polynôme est donc celui de moindre degré (total) parmi les multiples communs des proposés; à cause de cela, on le nomme leur plus petit commun multiple.

[Quand les polynômes (3o) sont premiers entre eux deux à deux, leur plus petit commun multiple est leur simple produit (10, III).]