CHAPITRE III

Des Mathématiques.

Objet des mathéinati:iues. — Division des mathématiques en mathématiques proprement dites et en mécanique. — Méthode déductive propre aux mathématiques. — La science des mathématiques est expérimentale. — Axiomes. — Définitions. — Les mathématiques n'offrent pas plus de certitude que les autres sciences. — Elles, sont applicables à l'étude de tous les phénomènes. — Rang des mathématiques dans la hiérarchie des sciences.

D. — Quel est l'objet des mathématiques?

R. — L'étude des phénomènes de la quantité, de rétendue et du mouvement.

D. — Quelles sont les branches des mathématiques?

R. — Il y en a deux principales : les mathématiques proprement dites et la mécanique,

D. — Quelles sont les subdivisions des mathématiques proprement dites?

R. — Vaiithmétique, qui s'occupe des propriétés des nombres; V algèbre, qui étudie les propriétés des grandeurs quelconques : la géométrie , qui traite des propriétés des lignes , des surfaces et des vol unies ; \h. géométrie analytique ^ qui étend et généralise cette étude par le concours de Talgèbre.

D. — Comment la mécanique se subdiviset-elle?

R. — En cinématique , science qui traite du mouvement indépendamment des causes qui le produisent , et en dynamique , étude du mouvement et de ses causes.

D. — Quel est le procédé particulier aux mathématiques?

R. — La méthode de raisonnement par déduction.

D. — En quoi consiste cette méthode?

R. — A tirer d'un fait toutes les conséquences qu'il contient.

D. — Les mathématiques ne forment donc pas une science expérimentale , puisque le raisonnement y joue un rôle dominant?

R. — Les mathématiques constituent une science expérimentale, parce que les faits qui

servent de point de départ au raisonnement sont dus à l'observation .

D. — Quels sont ces faits?

R. — En arithmétique, un et un font deux; en algèbre, deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles, le tout est plus grand que la partie; en géométrie, la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; en mécanique, Tinertie de la matière, Fin dépendance des effets d'une force sur un corps et du mouvement qu'il possède déjà, Tindépendance des effets simultanés de plusieurs forces , l'égalité de l'action et de la réaction.

D. — Ces faits que, dans le langage des mathématiqueij proprement dites, on nomme axiomes, sont-ils des vérités évidentes, innées à notre esprit?

R. — Nullement; mais, comme on les acquiert de très bonne heure par l'observation , on on en oublie la provenance , et l'on se figure aisément qu'ils ont toujours été dans notre esprit.

D. — Les faits qui sont le point de départ de la mécanique, ont-ils la même évidence que ceux qui sont la base des mathématiques proprement dites?

R. — Us sont beaucoup moins apparents; ce sont des hommes de génie qui out dû les dégager des phénomènes nombreux où ils sont contenus.

D. — N'y a-t-il pas, outre les axiomes, un autre élément qui joue un très grand rôle dans la science des mathématiques?

R. — Oui, les définitions.

D. — A quoi servent les définitions?

R. — A déterminer un objet (nombre , figure, mouvement, etc.) au moyen de caractères qui le distinguent de tout autre.

D. — Les objets qu'étudient les mathématiques et que les définitions distinguent, existent-Us tous réellement dans la nature?

R. — La plupart ne se rencontrent pas dans la nature avec les caractères rigoureux de la définition; il y en a beaucoup que la nature n'a jamais présentés , même avec une approximation grossière ; njais la définition permet toujours de les réaliser avec plus ou moins de précision ; on peut ainsi vérifier les propriétés que la science y découvre, et les regarder comme des résultats d'expérience.

D. — La qualification à' exacte^ qu'on donne

à la science des mathématiques, doit-elle en-' traîner la conviction que cette science offre plus de certitude que les autres?

R. — La science des mathématiques n'est pas plus certaine que les autres; seulement les chances d'erreur y sont moindres, parce que, les faits d'observation y étant peu nombreux et faciles à découvrir, ces chances ne portent guère que sur le raisonnement.

D. — Les mathématiques peuvent-elles s'appliquer à l'étude de tous les phénomènes et de toutes les questions?

R. — Les mathématiques étant la science des propriétés des nombres, de l'étendue et du mouvement, tout phénomène, toute question leur est accessible. On exprimera par une formule mathématique la relation qui existe entre tous les éléments, et on pourra déduire de cette formule toutes les conséquences qu'elle renferme, puisqu'on n'opérera plus que sur des grandeurs algébriques. Le danger de cet emploi des mathématiques, c'est d'omettre ou de mal déterminer quelque élément de la question ; car, la formule fondamentale n'étant pas l'expression réelle des faits, ou étant fausse, les conséquences déduites

manqueront de réalité, ou seront fausses; c'est ce qui arrive fréquemment, quand on applique les mathématiques à des questions compliquées, comme les phénomènes vitaux ou les phénomènes sociaux.

D. — La science des mathématiques a-t-elle été constituée avant les autres sciences? Quelle est sa place dans la hiérarchie?

R. — Elle a précédé de beaucoup les autres sciences; cultivée dès la plus haute antiquité historique, elle était déjà avancée au temps d'Euclide et d'Archimède, et les raisons de ce développement précoce sont le petit nombre de faits d'observation qui lui servent de base et son indépendance complète vis-à-vis des autres sciences; c'est aussi pour les mêmes raisons qu'elle a toujours été considérée comme le point de départ de l'enseignement scientifique.

DOCTRINE DU REEL. lîK