Du calcul des dérivations

\Jn s'est proposé dans cet oiiVrâge d'offrir un genre de calcul qui embrasse la théorie des suites, et dont le calcul différentiel n'est qu'un cas particulier : il fournit des procédés qui abrègent des opérations laborieuses , et des formules qui facilitent les recherches dans des matières compliquées ; il sert à lier entre elles plusieurs branches de l'Analyse : appliqué à une assez grande variété d'objets , il m'a conduit directement, et le plus souvent sans peine , à des résultats , dont plusieurs me paroissent nouveaux, et d'autres présentés sous un aspect nouveau.

Cette méthode de calcul est fondée sur une manière générale de considérer les quantités comme dérivant les unes des autres ; c'est ce qui me Ta fait nommei^ Calcul des dérivations.

Pour se faire une idée des dérivations , on observera que des quantités ou des fonctions qu'on déduit les unes des autres par un procédé uniforme d'opérations , sont des quantités dérivées ; telles sont les différentielles successives. Qn peut étendre cette idée en considérant des quantités qui dérivent les unes des autres , non en elles-mêmes , mais seulement dans les opérations qui les assemblent et les lient entre elles ; les quantités elles-mêmes étant quelconques , arbitraires , indépendantes. Ainsi , en supposant que de plusieurs lettres différentes la première entre seule dans une fonction, tandis que les deux premières entrent dans la dérivée de cette fonction, que les trois premières entrent par la même loi dans la dérivée de cette dérivée , et ainsi de suite ; on aura des dérivées dans le sens étendu que je leur ai donné. Ici les quantités désignées par les lettres différentes ne dérivent pas les unes des autres ; et les dérivées que je considère sont moins des dérivées de quantités que des dérivées d'opérations , comme l'Algèbre est moins un calcul de quantités que d'opérations arithmétiques ou géométriques à* exécuter sur les quantités.

La dérivation est l'opération par laquelle une dérivée est déduite de celle qui la précède ou de la fonction. La méthode des dérivations en

ij PREFACE.

général consiste à saisir la loi qui lie les assemblages de quantités quelconques les uns aux autres , et à se servir de cette loi comme d'un moyen de calcul pour passer de dérivée en dérivée.

Pour former Talgorithme des dérivations, il a fallu introduire des signes nouveaux ; j'ai donné une attention particulière à cet objet , persuadé que le secret de la puissance de l'Analyse consiste dans le choix et l'emploi heureux de signes simples et caractéristiques dt la chose qu'ils doivent représenter (*). Je me suis prescrit à cet égard les règles suivantes : i.°de rendre les notations le plus qu'il étoit possible analogues à des notations reçues ; 2.** de ne point introduire de notations inutiles et que j'aurois pu remplacer sans confusion par des notations déjà en usage ; 3.° de les choisir très - simples , en y faisant entrer cependant toutes les variétés qu'exigeoient les différences des opérations.

Apres cette idée générale de la méthode, jetons un coup d'œil sur les matières traitées dans cet ouvrage.

Le calcul différentiel donne avec tant de facilité le développement en série des fonctions de binômes , qu'il est naturel de désirer une méthode qui s étende avec la même facilité à des fonctions de polynômes d'un nombre de termes quelconque. M' étant proposé cette recherche , je fis varier les coëfficiens des termes des polynômes , en les regardant comme dérivant les uns des autres , lors même qu'ils étoient indépendans. Cette considération me conduisit à la méthode générale de développement que j'expose dans les trois premiers articles , qui forment comme la première partie de l'ouvrage.

J'y considère non-seulement les séries et les polynômes simples , c'està-dire ceux qui sont ordonnés suivant les puissanees d'une seule lettre ,-

(*) ËULER, dans un mémoire intitulé : Subsidium calculi sinuum ^ et imprimé dans le tome V des nouveaux commentaires de Pétersbourg , dit, page i65 : Ac si quidem ipsius Analysis prœstantiam spectamus^ eam prœcipue soli idoneo quanti" tates signis denotandi modo tribuendam esse deprehendimus ; quo minus erit miran" dum si commoda sinuum, in algorithmum introductio tantum lucri attulerit.

PREFACE. lij

mais encore les sërîes et les polynômes ordonnes suivant les puissances et les produits de deux , de trois lettres différentes , qu'on peut appeler séries et polynômes doubles , triples. Le sujet des trois premiers articles est la solution du problème général suivant :

Etant proposée une fonction quelconque d'un ou de plusieurs polynômes simples, doubles, triples ; i.** développer la fonction en une série pareillement simple , ou double , ou triple , en faisant dériver les uns des antres les termes successifs du développement : 2.° dans tous ces cas, trouver immédiatement un terme quelconque du développement, sans le faire dépendre d'aucun des autres termes.

Les coëffîciens dans ces développemens de fonctions de polynômes se présentent composés de deux espèces de quantités ; de celles qui conservent le signe de la fonction ou qui dépendent de la fonction , et dans lesquelles n entre que le premier terme du polynôme ; et de celles qui , dégagées du signe de fonction , demeurent les mêmes pour des fonctions quelconques , et forment des groupes composés uniquement des coëfficiens du polynôme , à commencer par celui du second terme. Comme ces quantités dépendent du nombre des termes dont le polynôme est formé, • j'ai cru pouvoir les désigner par la dénomination de quantités polynomiales.

Les règles pour faire dériver les unes des autres les quantités qui dépendent de la fonction , sont les mêmes que celles du calcul différentiel pour prendre les différentielles successives d'une fonction , la différentielle de la variable étant constante et égale à Funité ; ainsi on pourra .toujours former à part ces quantités.

Les règles de dérivation relativement aux quantités polynomiales donnent des procédés ^i simples et si expéditifs, qu'en faisant dériver ces quantités les unes des autres , on pourra écrire sans s'arrêter le développement tout réduit , et le pousser aussi loin qu'on voudra ; bien plus , on pourra écrire de même l'expression toute réduite d'un terme quelconque de la série du développement , indépendamment des autres termes.