Supposons maintenant qu'on demande loga

La formule générale pour logo; du n.° 2 7 7 donne , en faisant «== K) , observant que \o^{^~^-P.X)^-P) = log(6'-» = /') H- \og{^^'P), puis mettant partout au lieu de 9 sa valeur et développant suivant y ,

log X = (m)

log(c"ç'^y ) +DMog^'/'.y H- pMogÇ'^j^^/ H- p'3.1og^'^JK^^ + etc.

^Ijy.C'^p.C'P^yP -\--ii.Ç p.-d'.S'p.jP H--D.C ^.p'2.ê"/'.jK'' +etc.

-H^p^.C ''.^'^.J'' +^P^-^ ''•^'•^"'•J'' +etc.

Sog. Dans l'équation ( 1 ) du n.° 3 00 le terme sans a: et^ manque ; soit donc à présent l'équation complette d'un ordre quelconque

a -\- bx -\-' cx"^ -^ etc. \ j H^y ^ c^xy H- etc. f

-H c'y2 f etc. r ' ^^'

H- etc. j

Yyy

270 DUCALCUL

on propose de transformer, en une série sans x , la série double ^ H- Bx -+- Cœ^ -+- etc.

-H B'j -H C'œy -+- etc.

■^,.'^ip 'à -h C'y } etct,- '-'^ •'«•'•

-— ^ - H- etc.

Je mets l'équation proposée sous cette forme

ç b -h ex -\- dx^ H- etc. ") ..... (3)

\ -t- c'y -4- d'xy -+- etc. f ^J ^ „/ > = — (« 4- ^y 4- o'Vt -+- d"'y^ -H etc. ).

b e-iio ,j + ^V -H etc. ( . , •;: ,,f:,,rr4 . *^ ^ ^

~ : V ^ ' ( + etc. J

Comparant avec le théorème du 11.° 2g5 , tout de même que n.° 3oo , j'ai r = 1 , ^ = 1 ; mais de plus je fais tt = — y^ 1 et C' = a, y" = b' , i'" z=z c" , etc. , et la formule (vi) du théorème donne u4 + JBx + Cx^ + etc.

m mon^ in^m: ^ ^y ^ e'o^ + etc.

+ ay + etc. ^ ~ ("'^

« > f , + etc.

A^^i'^^-D^A.y H- p'i.^.j^» + p'3.^.j3 + etc.

• — /z.è-».D.-^ ■— D'.j^.i-'.D.^j.j — p'2. j^z. è-»D.^].j^» — etc.

*^ ^ ^ ^^. + ^a»D.(*-2.D.^)j +fD'.{«*D.Xè-»*D;^)j..y + etc.

-,^ "^ — ^/z5pi.(è-3D. ^) — etc.

+ etc. , formule qui, quoiqu'elle ne soit pas ordonnée suivant les puissances dej^j présente une loi fort simple : si on vouloit l'ordonner suivant les puissances de j' , il n'y auroit qu'à écrire de suite les lignes obliques en commençant par celle sans /, alors chaque coefficient formeroit une série infinie. Le terme général se conclud aisément de la loi des termes.

5io. Voici à présent un problème très - général: §oit l'équation

a ■\' bx ■\- cx^ -f- etc. Y Ç oc + C^ + yx^ + etc.

+ bjy -{• éxy + etc. f t ) ^" O' "J" y^^y + etc. .

^ » + c"j2 4. etc. ( ~ y + y[r' + etc. ' ' ^^^

+ etc. J V + etc.

DES DERIVATIONS. 271

on demande la valeur en y et sans x de la fonction A -\- Bx -ir Cx^ H- etc.

F ^ + Sy -f- Oxy -j- etc. J. . (5)

-j- cy2 ^ etc.

La solution se déduit facilement de celle du problème précédent ; car , en développant l'équation proposée et en transposant, on a

D.^p^ — D.\(y« -t- (p2.cp« — D^.-v^a).^; H- ( p3.(pa — p^.'vj/a).^;* -f- etc. -f- (d'.d.Ç)^ — D'.D.\|/a).^ H- (n'.ps^^ — D'.p^-vJ/a).^ ■+- etc. I

^ H- (p'2.D.(p<z — p'^D.\)/«).j* -f- etc.l

H-'^tc.

— \{(pa — -vl/a) + {p^.(pa — d'.\|/«). j + {^^^.(pa — p'».\I/a5).^2 f etc. j. -. . . (6) De plus , la fonction ( 5 ) devient

¥A -+- n.^A.x -H p2.F^.a:a -f- etc. 4- nWA.y 4- d'.d.F^^. ^j^ -I- etc.