FA.y^ -h etc. •••••W

-+- etc.

Comparant avec ( 3 ) et ( q ) du numéro .^recèdent , on voit qu'il suffit de mettre FA au lieu de A , (pa —^ \|;«.au lieu de a , n.cpa — D.-vj^a au lieu de ô, et ainsi du reste, et de considérer les expressions ■D.(pa — d.\1/cc et (pa — \|;«, chacune comme un premier terme, dans les dérivations; la formule (n) donnera la série demandée.

3ii. Les cas des séries simples ne sont que des cas particuliers de ceux des séries doubles ; on peut donc déduire ,de la solution précédente celle du cas suivant, qui est très-général ; mais il est encore, plus simple de la déduire du n.** Qg5 ou du n.** Q99; elle se tire aussi très - facilement du n.^ 25;.

Soit y = a -h bx -h cx\ + dx"^ -+- etc., •••(8)

on demande à convertir

F{A -h Bx + Qc2 H- Dx'^ H- etc.) (9)

en une série dans laquelle entrent (py et ses puissances , sans x.

On aura , en prenant la fonction (p des deux membres de ( 8 ) ,

x{-D.(pa -h ^^.<pa.x -j- p3.(p^. ^2 -h etc.) = (py — Ça (10)

2^72 ' DUCALCUL

Je compare cette équation avec l'équation (n) n.'^QgS; j'aurai r == 1,5=1, b = l>.(pa ( qu'il faut prendre pour un premier terme dans les dérivations ) , 7f = (cpv — (pa)j-^, ë"' = 1 , et 7", ^"', etc. = o ; de plus A = ¥A ; et l'on voit que tout ce qui est affecté de d' dans la formule (vi) du n.° 295 en doit disparoître ; ainsi cette formule donnera

F(^ H- Bx + Cx^ 4- Dx^ -\- etc.) = (0)

VA -\- (B.(pa)-K-D.FA.((py — cpà) + jD,{{D.<pa)-^.iy.FA].{(py — (pa^ +f p2. { (p.(pa)-l-D.FA ] .{(py - (p^)3 +etc. + -p«-^ { (D.(p^)-«.D.F^ ] ■{(py-(pay + etc.

Si on vouloit que la série fut ordonnée suivant les puissances de (pjy alors chaque terme deviendroit une série infinie ; il suffît , pour donner cette forme à la série (0) , de développer ((pj — <p«)% (<PjK — <P^)^ï etc. , {(py — <p«)", etc. par la règle du binôme. Comparez avec le n.° 286.

3x2. Tirons encore du théorème du n.° Q95 deux autres théorèmes, dont l'un en est pour ainsi dire le pendant , et l'autre en est une généralisation. Étant proposée la même série double (i) qu'au n.° agS , savoir A 4- Bx 4- Cx2 4- etc.

4^ BW 4- C^xv 4- etc.