etc. J

ou.

DES DERIVATIONS.

OU , en développant et faisant attention qu'ici h n'a point de dérivées suivant d', et qu'ainsi il faut toujours mettre b et lA hors du signe d', K^'-^ + D.(Z'r.C'-«).x H- p2.(^.^'-éj.,^2 | etc. -h ^ïd'.C'-«.j -h d.(^'ïd'.Ç'-«).x^ + etc. -\- èïp'2.Ç'-ô.j2 | etc.

* -f- etc.

= yty. ...(3)

Je compare à présent cette équation (3) avec l'équation (11) du n.<* Qg3, et je vois que ces deux équations coïncident si l'on fait dans celle-ci r = 1 , j= o , ^' = 1 , et qu'on change h en b^C'-^ : ainsi la formule (vi) du n.° Qg5 donne sur-le-champ la suivante, en mettant partout^ hors du signe d',

Bx B'jy

Cxy

etc.

etc etc.

etc.

-f. ^KA

+ ^-ÏD'.(C'^D.^).7r hÎD.{Z'-2«.C'2«.D.^j.7r^

H- ^-tp'2.(C'^D.^).7r

H->.j^-2ÏD'.(C'^«.D..^)j.7r^

-^etc.

Le théorème que présente cette formule est aussi général que celui du n.° Q93. On voit qu'il règne entre ces deux théorèmes une sorte de réciprocité symétrique : ici C' a des dérivées selon d et d', et h n'en a que selon d ; là h a des dérivées selon d et d', et C' n'en a que selon d'.

3i3. Si l'équation est

b -\- ex -\- dx^ -H etc.

+ d^xy -h etc.

-h ^'^2 | etc.

-4- etc.

= 7rjK

.ya;-f-(J'^2 4.etc.

y'y-*-<^"^jK+etc.

l^f'ya^etc.

-h etc.

et la série à transformer la même que la série (1) du numéro précédent; dans ce cas , 6*' et ^ ont chacun des dérivées tant selon d que selon d' ; et par une analyse semblable à la précédente, on conclud du théorème du n.° 295 le suivant, plus général : ,- ,

Bx -f- C\x2 -h etc.

By -f- Oxy -h etc.

-f- Cy2 j etc*

+ etc.

+ iD.D'.(^-2'-.C'2M).^^.^2 -+- etc. , (q) H-|p2.(^-3r.^/3.c.^).^3

formule dans laquelle h et C', ainsi que A , entrent également sous les signes D et d'. Au reste , b etÇ' sont toujours des premiers termes, et d.A est un second terme. Cette formule comprend comme des cas particuliers celles des n.°^ 2g5 et 3 12.

3i4. Venons au retour des fonctions. On peut proposer, pour les fonctions à deux quantités , différens cas plus ou moins étendus , analogues à ceux des n."^ 278, 279, 280, 282; arrêtons -nous seulement à une extension du cas du n.o 282. <i*^>.s'

Étant donnée l'équation

ù = a -+- jk^(^»JK) 1 ^"^ bien

^(^ïJK) étant une fonction quelconque de t et à^y ; trouver la valeur de 4/^, fonction quelconque de ^, par une série sans ^, ordonnée suivant les puissances de y.

Je fais t z= a '\- X ^ et je mets «' + j^ au lieu de y dans le dénominateur de ( 1 ) , et après les développemens je ferai «' == o ; de cette manière j'ai

<p(. + r,.'+j.) =.y----(^).etvP^ = vK^ + ^); (3)

et , en développant le dénominateur de l'équation (q) ,

(pia^a!) H- D(p{a^a'),x 4- -D'^(p{a^a^).x^ -f- etc. ^-^

-h l>'<Ç>{a^a').y H- D'Dq)(a^a').xy + etc. f . .

oi^m^nfu ^ p,,^(^^^,).^. ^ etc. f ~^' " '^^^

-H etc. j

Les signes d et d' indiquent des dérivations différentes , d en faisant varier a seul dans (p{a^a!)^ et d' en faisant variera' seul; d« = 1, et n'a' = 1. De plus,

y^/t = sl^a H- D-\l/a,x -+- ^^y^/a.x^ -\- n^yl/a.x^ ■+- etc. ... .(5)

Je compare l'équation (4) avec (11) du n.» qqS , ce qui donne r = 1 ,

b=i(p{aya^) j s =0 , 7F=i , Ç' = j ; je compare aussi le second membre de (5) avec la série A -h Bx -\~ Cx^ -+- etc. du corollaire II n.» Q97 , et , en observant ce qui a été dit dans ce corollaire, le théorème du n.^ 295 donne

+ fD{D\)yâ!.[<P(«,a')]^}

etc.

On aura soin de faire a^ = o après les dérivations effectuées.

3i5. Si l'équation proposée n'avoit pas de j^ devant (p, si elle étoit

É = a -h <P(^,jk) , ou

alors, tout demeurant comme précédemment, il suffiroit de faire 7f ==JK~S et en mettant , pour abréger , © au lieu de cp («, «' ) , la série seroit

-vf/a

+- D\|y«. p'2 0.j^2 i D-v|y^. p'30.JK^ H- etc. 7D(D\);â!.D'02).J H-7D(D\|/«.p'202).j^2 i etC.

+ ip^(i>\|>«. 0^^) ^-etc.

H- etc. ,

expression qui, quoique non ordonnée suivant les puissances dej^, présente cependant une loi fort facile à saisir.

3 16. Étant donnée l'équation t = F{p, ^, j^)» ^^nt le second membre est une fonction quelconque de /? , ^ , ^ , qui devient fonction de p seul lorsque y z=: o; trouver la valeur de ^, et même d'une fonction -J/^ de ^ en p et j^ > par une série ordonnée suivant les puissances de j^.

276 DUCALCUIi

C'est le cas de Cousin, dont il a publié une solution, pour la première fois dans les mémoires de V Académ^ie des sciences de Paris , année 1783, pages 66 1 et suivantes, ensuite à la fin de son Introduction à l'Astronomie physique , et encore au n.*» 5gQ de son traité de Calcul différentiel et intégral , Paris , an 4.^ La solution que nous allons donner en diffère à plusieurs égards (*).

Puisque "F {p <,t ^ y) devient fonction de p seul lorsque j^ = o , il faut que cette fonction soit de la forme P -\~ y(p{pi ^iJK)^ ^ étant ce qu'elle devient lorsque y =z o , et l'autre Tpartie y (pip , t, y) étant affectée de y hors du signe Çf c'est-à-dire, tous les termes qui n'entrent pas dansP étant multipliés pary^ afin qu'ils disparoissent quand on fait y = o. L'équation proposée devient

dOIlC „ ^, ^ n . t — P , .

^ = P -^ y^^P-» ^J). ou bien ^(^^^^^^^ =JK (7)

Je fais ^ = J* H- ^ , et je mets «' -f- j' au lieu de y dans le dénominateur de ( 7 ) , et après les dérivations effectuées je ferai «' = o ; de cette manière l'équation ( 7 ) et la fonction cherchée -vp b deviennent

^J/^ = -vKP + x).

Ç{p,P -^œ^a'-hy)

Pour développer on regardera p comme invariable , P eta' comme variables, mais P ne variant que par rapport à d , et a' que par rapport à d' , dP étant = 1 , et n'a' = 1 .

Comparant les équations (8) et (9) avec (q) et (3) du n.° 3i4, on voit qu'ici P remplace a , et qu'au reste les équations sont de même forme ; d'où il s'ensuit, qu'en mettant, pour abréger, Q au lieu de (p{Pi P, a')j on a par la formule ( 31 ) ,

x|;P+D%pP.Q.JK -h D^^P.D'Q

•^t = y2 +D-4yP. ç'2Q

etc.

+ fp2(Dv);P.D'03)

On effectuera les dérivations D et d' comme nous l'avons indiqué ci-dessus; puis on fera a' = o.

f (*) Il y a long- temps que j'ai trouvé cette solution ; mais je m'aperçois, au moment de livrer la feuille à l'impression , que le Professeur Pfaff, un des meilleurs Géomètres de l'Allemagne, a tiré du théorème de Lagrange , n.** 382 , une solution peu différente de la mienne. Voyez page 338 du premier volume de se» Disquiiitiones analycicee.