Soit proposée cette équation plus générale
T = HP -t- jk.<P(^,^,jk)î, (10)
P étant fonction de p seul; on demande ^pv en p et y y sans v.
On suppose, comme n.° q83, t = P -\- y(p{Pi ^^j); substituant dans
(10), on a i^ == h ^ partant
t — P ——, r r = r (lO» et •J/ç' = xLf^, (iq)
ou , en faisant bz=zP -\-x ^ et mettant a! -\-y au lieu de j^ dans le dénominateur de (11), sauf à faire ^z' = o après les dérivations , on a
En comparant (i3) et (14) avec (8) et (9) ci-dessus, on voit que ce ca^ se ramène au précédent et qu'il est résolu par la formule ((S), pourvu qu'on y mette ÎP au lieu de /*, partant -^ÎP au lieu de \)>P, et(p{p^ïP^a') au lieu de (p{p^P^a') = Q. T>P est toujours = 1 : on prendra P pour la variable dans \(/fP : dans les dérivations D',Q = (p(yw,fP,a') sera considéré comme fonction de a' dont la dérivée dV est = 1 ; mais dans les dérivations d , Q sera considéré comme fonction de fP dont la dérivée est miP ; ainsi , mettant un point après d lorsqu'il se rapporte à Q, on fera D.Q=:DQ.DfP, d^. Q = nQ.ç^fp + p2Q.(DfP)2, etc.
5 18. Quelle que soit l'équation , (p(^, w) = o, qui donne tenu^ algébrique ou transcendante ; on propose de trouver une série sans t , qui donne la valeur d'une fonction quelconque F (^^, w). *
Ce problème général fait le sujet d'un mémoire de Lambert, inséré parmi ceux de l'Académie de Berlin pour 1770; mais la solution qu'il en donne me paroit laisser beaucoup à désirer.
Je fais t = a--{-xetu=^{:é-\-j^ a et a! étant des quantités quelconques; la fonction F ( ^ , u) devient
F(^,m)=: F(a,«^) H- DF(a,<z').^ +ç2Fc^^^'j.^2 f etc.
•4- •c!Y[a^a}).y H- DD'F(«,<z').as7 -h etc.
■ -\- p'2F(a. «')-JK^ "+~ ^^c-
H- etc. ; . •
ayS DUCALCUIi
série qui a la même forme que la série (i) du n.° a 93. Le signe d se rapporte à ^ et le signe d' à ^z' , d^z = 1 , et d'^z' = 1. L'équation proposée ^(^, w) = o devient de la même manière
G = (p{aya') + ji(p(aya').x -f- ^^(p{aya').x^ •+- etc. -+- n^ (p{a^a^).y -f- ■DJi'(p{a,a').xy -\- etc. + ^'^(p{aya').y^ + etc.
H- etc. ; d'où Ton tire , en transposant ,
iD(p(â^, a') -é- p^<p(^7 âj').a; -{- etc. J (3)
-H DD'(p(âf, «'). j + etc. V := — {(p(<7,«')-4-D'<p(<z,^').j-+-p'2(p(<z,«').7=»H-etc.j, + etc. j équation de la même forme que l'équation (11) du n." Qg3. Comparant, on a r= 1 , s = 1 , 7F = — JK~S ^ = r><p(«,^')» ^' =<p(«,^'), u4 = F{aja'). Ainsi l'équation (vi) du n.° 295 donne sur-le-champ la formule suivante :
Fit,u) = (©)
- 1 [(p(^, «')] ^. p^ î [D^ (^, «')]- ^. df(«, ^'; }
Dans cette série , B(p (^, a') et <p (^t, ^') sont des premiers termes, mais t)F(a,a') est un second terme : ainsi il faudra mettre ^^(p{a,a^)j i^^(p(aya'), etc. au lieu de DD^(a,«'), -^^B(p(aya'), etc.; mais on écrira ^^^F^aya')^ 3^^F(a,a')j etc. au lieu de ddF(<z,«'), ^^BF^a^a'), etc.
Sig. L'équation (q) du numéro précédent se met aussi sous cette forme :
(4) ( (p(aja') +D'(p{aja'),y +dd' (p [a ya').œy + etc. J
a){D(p{a, a') 4- p2(p(iz,a').a; -|-etc.}=— ■{ + ^^^(pi^^a'^j-^ + etc. \ ^
( 4- etc. \
où D<p (tf, «') n'a que des dérivées d , et où (p (a, a') n'a point de dérivées indiquées
DES DERIVATIONS. • 279
par D seul , mais des dérivées d' et des dérivées affectées des deux signes d' et d. Comparant avec l'équation (2) du n.o3iQ, on aura r= 1 , b = ii(p{a^a!)^ 6=1^ Tf = — JK~ ^ î C = <p(«,a') j et la formule (|j) donnera la suivante :
-H p'3F(«,^').jk5 - [D(p{a,a})YK^^(p{a,ayTyYia,a')\.y^ H^ etc •
-f- iDÎ[DCpKa')]-«.D'{[Ç)(.Z,«')^DF(^,«')i !-7
série dans laquelle Dcp («,«'), (p(a^aJ) et F(<ï,^'), sont des premiers termes: mais en faisant les développemens on aura soin d'observer ce qui a été remarqué ci -dessus à l'égard des dérivées de ji(p{a^a'') et de celles de (p{a^a!) , et la formule n'est vraie que sous ces conditions.
Telle est la solution du problème proposé lorsque a! et a sont des quantités quelconques , arbitraires , indépendantes l'une de l'autre. Mais si «' et a sont des quantités correspondantes, c'est-à-dire, (piptu) = o étant l'équation d'une courbe , si a^ est une valeur de l'abscisse et a la valeur de l'ordonnée correspondante ; alors a n'est plus arbitraire , mais il est une des racines de l'équation <p(^,^') = o , et cpi^a^a!) est zéro. Nous allons voir ce que deviennent dans ce cas les formules (^) et (^).
520. Soit a^ une valeur quelconque de u dans l'équation (p(/^,«) = o, et a une des valeurs correspondantes de ^, de manière que l'on ait aussi ^(^, a') = 0; on demande l'expression sans ^ de F (^, u).
Nous supposons ici que l'équation (p{ty a') = o n'a qu'une seule de ses racines t égale à a ; alors (p (a, a') = o , mais ni D<p(<2, a') , ni d'(P(^ï, a') ne sont plus zéro , et, en mettant a-\- x et aJ -\-y k\a. place de ^ et de w, l'équation o = (p{tyu)
devient ^ __ ji(p(a,a').x -h p2^(<i,a').a?2 -f- etc.
-h d'(P(«,«')-JK "+- D^'^?» («,«')• -^7 -4- etc. -f- ^'^(p{a,a').y^ -t- etc.
etc.
fl8o DUCALCUL.
qu'on peut mettre sous l'une ou l'autre des formes suivantes , savoir :
D^(/3,^')-hp2^(^^^^'). ^}etc. ) (5)
H-DD'(p(^,â^').jH-etc.>=-jKλ'^(a,«0+p'^Ç'(«»ûO-JK+p'^<P(«,aV^ + + etc.)
ou bien
(6)..... fD'(p(«,a')+DD'(p(«,fl').^ + etc.
xJD(p(^,a')+p2{p(^,«').a;+p3^(<2,/3^').x2+etc. } = —y\ +p'^Ç'(^»^ )-JK +etc.
( +etc.
En comparant la première de ces équations avec l'équation (ii) du n.°Qg3 ,
on a r= 1 , jrz= 1 , Tj-ir^z — 1, Z'=D^(a,^'), ê'' = D'(p(<a^,«'), et la formule (vi)
du n.° Qg5 donne
• -h ç'3F(^,«')jy
■-4-^D'{[D'(p(«,a')]2.DJ[D(p(«,a')]-2.DF(^ïy)iJ — f [D'(pr^,«')]3.p2{[D(p(^,«')]-3.DF(^,«')j
série où d'<P(^,«') , Ti(p(^a,a')y F(a^a') sont des premiers termes, et qui est ordonnée suivant les puissances entières de j. Ici , par la formule même , j}'(p(a^a') n'a de dérivées que suivant d' , tandis que D(p(/z,«') en a suivant d' et suivant d , ainsi que cela doit être en vertu de l'équation ( 5 ).
321. En comparant la seconde des équations précédentes, savoir (6), avec (q) du n.« 3iQ, on aurar= i , ê=i , tt = — i , ^ = DCp (<«,^') , C == i>' (pi^^a') , et la formule (p) du même numéro 3iq donnera
etc. ;
-~ [D(p{a,a')]- KT}l(p{a,a').j)F{a,a')
— l^(p{a,a^)] - ». d' { ji^(p{a,a}), dF(^,^') |
DES DEHIVA-tlONS.
— [d^(<2, «')] - '. p'2 J d'^ {a, a}), DF(a, <z') }
dans cette série i3(p(a,a')^ ■D'ip(a,a') et F (a, a') sont encore des premiers termes, et la série est également ordonnée suivant les puissances entières de y. Ici ncpia^a^) n'a point de dérivées d', tandis que D'(p(/2,^') a des dérivées d et d'. Quoique cette série (@) diffère pour la forme de la série (§) , il est cependant aisé de s'assurer que ces deux séries coïncident , en développant les coëfficiens de JK^^^JK^ etc.
322. Si, en supposant donnée l'équation (p(^,w)=:o , on met, dans îa formule (§) ou (@), t au lieu de ^, w au lieu de a\ A^ au lieu de x^ ^u au lieu de jj^, et par conséquent ^ + A^ et u -{- ^u au lieu de ^ et de w ; on aura pour la valeur de F (/^ H- A^, u -f- A") une série régulière , dont la loi est aisée à saisir ; elle sera sans A^ > et ordonnée suivant les puissances entières positives de A"»
Dans le cas particulier, où étant donnée l'équation (p{ù,u) = o, on demande ^ -H A^ en une série ordonnée suivant les puissances de A" j V{a^aJ) devenant = ^ et 13F {a^a^) = 1 , on aura , par la formule (®) 1
t -h At
t — [d<P(^, uj\- '. D'(p(^, m).aw — [d(P(^,z/)]- '. r>'2(p(^, u)
{b.uy
+ ^d{[d(P(^:,m)]-2.d'[d'<P(^,w)]2} -h etc.
Or , puisque l'on a l'équation cp (^, w) = o , qui donne b en w , il est clair que t est une fonction de w : on a donc aussi par le théorème de Taylor ,
àt
(Aï.)2 -f-
dw ' '"" ' 1 . Q àu'^ ' V" / ' 1 . Q . 3 di/3 On voit donc que les coëfficiens de la série (S?) donnent immédiatement les
valeurs des différentielles -5— , - — , -3-^ , etc. , et il est aisé de conclure de la
au ' aw^ au^ '
loi qui y règne la valeur générale de -^ — : cette formule est utile dans le calcul
dw«
282 DUCAL CUIi
différentiel , où Ton n'a jusqu'à-présent trouvé les valeurs de -7—7 » -j-r 7 etc. que
par des différentiations successives de l'équation Ç (t, u) = o y et par les substitutions de ces valeurs les unes dans les autres , au lieu qu'ici on les a par des formules qui n'exigent aucune substitution , et dont la loi est manifeste.
323. Soit(p(tja')=o l'équation en laquelle se change la proposée (p(ù,u)=o lorsqu'on y fait u z= a' ; on suppose que (p{t:,a') =1= o a plusieurs racines t égales chacune a a, blu. nombre de A: , et l'on demande l'expression de F {t, u) ,• pour ce cas.
Puisque k est le nombre des racines t égales à a lorsque u = aJ ^ <p (t, a') aura cette forme (^— a)^f(^,^'); ainsi, en mettant a' -\- j au lieu de u dans l'équation (p (t, u)' = o , elle deviendra
0 = C^— aY£{t,a^) H- T}'(p{ù,a').y 4- ^'^(p{t,a').y^ -f- etc. , et il est visible par là , que si on met aussi a -{- x kla place de t dans (p(^, ?/), non-seulement (p(a^a') sera zéro, mais encore D(p(^, «') , ^^(pia^a^), ^^(p(a,a'), etc., ^^-^(p(a,a'); et ^^(p{aja') sera la première des dérivées selon d seul qui ne s'évanouisse pas : de plus, puisque d' fait varier «' , B'(p(a,a') ne sera ^ plus zéro en général, ni THD'(p{a,a') , non plus que toutes les autres dérivées dans l'expression desquelles entre le signe d' , ou seul ou accompagné de d.
De là il s'ensuit qu'en mettant à la fois a -\- œ et ^' H-^ au lieu de l et de u dans (p{tj u) z= o, cette équation devient
G = B^(p{a,a'),x^ -\- D*-t-»(p(^,/2'). a:^+» + etc. ' -1-d'<P(«,^').j -h ■DJ)'(p{a^a').xy ■+- etc.
^ 'D'^(p{a,a').^^ H- etc. *
H- etc. ; . "
équation qui donne , en transposant tout ce qui est affecté de y et en extrayant
ensuite la racine A^*™*,
x\^^(p{aja') 4- p^H-ï(p(^,a').a; -+- •D^+^q)(a^a!).x^ ^- etc. |^ ==
Y^^(p{a^a}) H- DD'(p(âr,«'). X H- -^^Ji^ (p{a^a!). x^ -+- etc. '"^
(i)T.^T) ^ B'^(p{a^a').j -+- Dp'2Ç)(^,a').^j -u etc.l : •••(7)
p'3<p(â^,^').^2 H- etc.
etc.
— 1 ayant k racines A'*"", je mets fx au lieu d'une de ces racines , et comparant
avec l'équation (q) du n.° 3 1 2, j'ai r=-7-, ê = 7-»7r=jwjK^ >^== P*^(^)^') »
C' = D'(p(âJ,a'). Substituant dans la formule (f) du même n.° 3iq , on en tire cette autre formule ,
-H[p*(p(a,a')]'"^.D'{[D'(p(a,a')]^".DF(a,a')l-)«JK^"^' 2 2 a
-HiDÎ[p^<P(a,a')]~'^.[D'(p(«,a')f.DF(û,a')i./.^jK'^ ....(5).
-h p'3F(a,a';.jK^ 1 1 1
