On aura de la même manière

u — Aw H- A^u — A^u 4- etc. ± A^u = (qo)

-f- etc.^ ± (72-f-i)E''w qi: E"+'w,

les signes supérieurs étant pour 72 pair et les inférieurs pour n impair.

En effet , en détachant l'échelle , le premier membre peut être mis sous la

C 1— ( — A)'' + * ) forme ) ^^ ■[ xu: or , en mettant au lieu de — A sa valeur 1 — E,

cette expression devient j ^^ [ xu^ qu'il sufEt de développer pour

avoir le théorème (20).

Si on prend la différence , non en soustrayant l'état proposé u de l'état varié Ui , mais l'état varié Ui de l'état proposé , et qu'on désigne cette différence par lAu, on aura xAu =.u — Ew, ^A'^u=. u — qEm + E^m , xA?u =. u — 3ew -h3E2i^ — E^w, etc., lA = — A, et généralement 1 A" = (i—E)'' =(— A )« = (— i)"A''; de sorte que le second membre de (qo) est aussi égal à la suite u -f- iAm -h xA^u -h lA^w + etc. 4- iA"«. On trouve pareillement

u — ^u -\~ '^'^u — ^u H- etc. zh 2"^ = (21)

(72 4- 1) w -^ -i Eï^ 4- ^ — ^ ^^u 4 W — - F?u 4- etc.

En effet , en détachant l'échelle , le premier membre peut prendre la forme

( i-(-A-i)"+M ' .1 . (A + (-A)-'') CE-i 4-(i-E)-»)

' ^ xu, qui devient ] jr — [ xu = j [ xu;

( 14- A-' ^^'-1 ji^A) ( E

et, en développant, on a le théorème (21). La série se termine avec le terme

affecté de E'^M , si l'on suppose E''w un dernier terme.

45 o. On trouve aussi bien simplement , au moyen de nos notations , les règles pour prendre la différence et l'intégrale -somme d'un ordre quelconque des quantités factorielles , comme on va le voir.

Ddddd

Soit àx constante et = r, en exprimantpar çM*!»"', n.» 4.q3 , lafactorielle

,. . , x(x — r)(x—2r) (x — nr+r)

divisée — ^^ — h; ^^ — > on aura

car p». i*-''- = p"-!. l*:^ = p«-«. i*:»"' — rp»-».!*^'"- =z=

p«,i(* + r):r. — rp"- ». 1* = ''•. Donc p". 1 (* + *■) = '"' — p«. 1* = '"• = rp»-». 1*: ''•. Or le premier membre de cette dernière équation est = Ap«. i*-^- , si x varie de rpar rapport à A et i de rpar rapport à d; ce qui donne le théorème (22). De plus, A=^p". i**''* = rAp^-M*:»^- = r2p«-2. i«:r.^ partant

^OTp«, l*:r. __ ^mp«-m, i*;r., ..", ..(23)

En multipliant par i , q . 3 rij il vient

et si dans cette équation on change m en — m y on a

OU bien(n.°42 8)S'»DM*î''- = -r -. — — r ^^ — ^ r— ~ — - .

Si dans (24) et (25) on fait n négatif, on a aussi

^mjy-n^ix:r, __ jj-w j-a. /"-«D-n-f-m j*; r.^ (27)

Ces deux dernières formules contiennent les règles pour prendre les différences

et les intégrales des quantités de la forme -^ rz ■■ ;; .

° ^ {x-\-r){x^<2r)[x-h3r). . .{x-hnr)

Pour ne pas avoir dans les factorielles de différences négatives, de l'espèce de celles dont nous avons parlé au n.° 44g, et que nous avons désignées par 1 A ; il ne faut jamais faire r négatif dans les notations par lesquelles nous représentons les factorielles. Si donc on a la factorielle x(x'+-r)(x-h 2r)(a;-}-3r)

(a; -H /zr — r) , on ne la représentera pas par d«. i»i-r- , mais par

D». 1 (*■+-'"- 0 5'- ; et l'on aura, comme précédemment, Ad''.i(*+'""-0!'' =^ 72rD«-^i(*-*-«''"^0''''- = nr(x -h r){x H- 2r){x -h 3r) . ... (a; -I- nr^r) ; ce qui est en effet la différence de a;(a; + r)(^x -\- 2r) . . . .{x-\- nr—r), que l'on obtient en mettant a; -h r au lieu de x et, en soustrayant l'état proposé de l'état varié. On aura aussi

^±»»0«.l(» + »r-r):r. - p±w j». /.iw.D'^F'». iC' + ^'-Oî^ i.,..(28)

DES Dl&RIVÀTIONS. 383

Si l'on fait n négatif, d-».i (*-«''-')* »•• étant= / , = -, r-, —-^ ; r i

(n.° 428); on aura pour les quantités de cette dernière forme