CL CL

rapport de la circonférence au rayon. (*)

Si dans les formules ci-dessus on écrit (— i)''(i — E)" au lieu de (E— i)" , et qu'on commence le développement par 1 ; on aura ces deux autres formules :

N f w(/z— 1) n{n—\){n — ^\ A«w = (-l)«U-/zEw H î^ E2w i ^^ ^ eJ>u-\- etc. I .. .(iq)

^nu ^{^iyn^U'{-nEu^-^—^E^u-^ % E^u-{-Qlc.\. ..(i3)

Ainsi l'on a, en faisant « == 1 et A:r constante ,

^(px=^—\(px-^^{x-\'/^x) + (^{x + 'i^x) -l-(p(.«+3A^)-f-etc. J. . . .(14) La sorte de paradoxe que présentent les deux valeurs (11) et ^14) de S^p'c comparées entre elles , n'est pas difficile à résoudre ; ainsi je ne m'y arrêterai point.

(*) On peut voir sur la manière de compléter ces sortes d'intégrales un mémoire d'EuLEH dans le tome III des nouveaux Commentaires de Pétersbourg , intitulé de determinatione serierum; Laplace, Mémoires présentés, etc. , tome VII , page 78 ; un mémoire de Monge sur les fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales aux différences finies , Mémoires présentés, tome IX.

DESDI^RIVÀTIONS. Z^g

Si l'on fait Aa; = i , dans le cas de x entier , la formule (i i) devient

XCpx = (i5)

Ç>(x-i)-{-(p(x-2) -H (p(x-3)-^etc. -f-(p(i) -H <p(o) -{- <p(- i)-l-(^(-Q)-hetG. Si donc on suppose que x soit le quantième du terme d'une suite, (px son terme général; et si l'on suppose que la suite ne se continue pas au-delà de ^(o), qui répond au quantième zéro, (p(o) étant une constante ; où si l'on fait (p(o) H- ^(— 1)-|-^( — 2) -h etc. égale à la constante — C, on aura l'expression

^(px H- C = (p(a:— i) -f- <p(a:— q) H- (p(x — 3) -h etc. + (p(i); ...(16) c'est la somme des termes de la suite depuis celui qui répond au quantième 1 jusqu'à celui qui répond au quantième x — 1 inclusivement. Si l'on veut que le terme (px qui répond au quantième x soit compris dans la somme, comme cela se pratique dans la sommation des suites, on aura E(p{x -{- 1) -h C égale à cette somme ; et l'on déterminera C par la condition que tout doit s'évanouir quand on fait x = o. On voit par là que SE(pa; ~\- C = ^px -+- Ji(px H- C.

On a /S^E'u = (E— i)«E^Xw; donc

A'Wr = E'' + ''u — nE'' + ''-^u -+- ^~^^ E^ + ^'^u — etc. , . . .(17)

et , en changeant n en — 72 ,

Z''Ur=z £''-«« -+- /ïE''-«-»w H \ ^ E''"-^u 4- etc. ...(18)

Remarquons en passant que la séparation des échelles , comme nous la pratiquons , présente un procédé plus simple et en même temps plus sur que celui qui consiste à considérer les indices o, 1, 2, etc. de A^u, A^w, A^m, etc. , et ceux des états successifs w(") , w(0 , u(^) , etc. comme des exposans de puissances dans les développemens , et à changer, après les développemens réduits , ces exposans en indices ; car on pourroit se tromper sur le moment où le changement doit se faire. Ainsi il est arrivé (*) qu'en suivant ce dernier procédé pour le développement de A-*w = (m(0 — «(o))-», on a eu

A-^u = u-^ -h M-2 -f- Z/-3 | etc. , qu'on a fait = 1 1 =- -f- etc. :

puis , en convertissant les exposans de u en indices , on en a conclu

^'* = ir, + -^ -^ -^ + etc. =

- etc. .

u+Au u-^2Au+A^u w + 3AM + 3A2w+A3a

(♦) Mémoires de l'Académie de Turin, pour 1786 et 1787, page 45a.

380 DUCASiCUI.

résultat erronné. Il falloit faire la conversion des exposans en indices dans l'expression w-»-+-m-2^2^-3| etc. , et Ton auroit eu A-^w = w(-0 -+- w(-a) H- w(-3) j etc. , ce qui est vrai. Par la séparation de l'échelle on a A-iw=(E — i)-^Xw, et, en développant, A-'w = (E-»4-E-2-f-E-3|etc.)x w

= ( h- -— - H- -z:r -+- etc.)x«; mais, comme il faut exécuter une multi-

plication par u , on aura A- * m = -— -+- -—- H 5 — |- etc. = E- * m -f- E- ^ ^^

-t- E-5i^ + etc. , et non A-^w= — h 1 = — h etc. ; car, pour arriver

Eu E^M wu ' ^

à ce dernier résultat , il faudroit qu'on eût à diviser chaque terme par u.

448. Quelle que soit A a:, on demande la valeur de la suite u -\- Ui -h U2 -\-' uz -\- etc. -]- Un = u H- Eu -H E^u -+- E^u + etc. 4- E^u en différences A w , A^w, etc.; u étant une fonction quelconque de x.

En détachant l'échelle, la suite proposée prend cette forme

(1 -4- E + E2 + e3 -f- etc. -{- E«) X M = I ^~^ ' I X u.

Or , en mettant 1 + A au lieu de E , ce second membre devient

} ^—^ xu = {{n-i-i)-h^ . A + ^— ^ ^^-^A2 4-etc. XM.

Donc, u étant = <pa:, on a pour la suite de n -{- i états successifs de w,

u -i- ui -+- U2 -^ U3 -{- etc. 4- w„ = ..... (ig)

(n + i)u-\- ^ ^ au + '^ ^ ^ ^ — ^à^u -h ;H^^^ ^A^w

^^ i.îi 1.Q.3 1.2.3.4

Si la suite u -{- Eu -i- E^u ■+■ etc. ne se termine pas , sa somme sera

=z= ( — )xu = — — xu =— A->w =— 2".

Puisque la suite u-i-Eu-{-E^u-i- etc. H- E«w représente en général une suite quelconque terminée , u étant une fonction qui en donne un terme quelconque ; la formule (19) sert à trouver les sommes des suites au moyen des différences de u : elle se termine d'elle-même si n est entier positif.

Pour donner un exemple , supposons qu'on demande la somme des cubes x^, (^+r)^, (ar+QA')^, (a; + 3r)3, etc. {x+nr)\ Dans ce cas uz=zx^, Aa: = /*, Aw = 3x^7' + 3xr^ -h r^ , A=^w = 6xr^ + 6r3 , A^u = 6/'3 , A^u , A^w, A^;^, etc. = o j de sorte que la somme cherchée sera , par la formule (19),

DES DERIVATION 6. 38l

Comparez la suite (19) avec la formule (7) ci -dessus, 11,° 446.