w . (Ax
4o2. Donnons présentement quelques développemens des formules à échelles du numéro 444.
Pour avoir la différence et l'intégrale -somme de l'ordre m de la fonction <p{oc^y); après avoir développé (A''-}- A'^E'»)"* et (A'' + A'^E'')""?^^^^ ^^g'® du binôme, on multiplie par <p(a:,^), et l'on trouve sur-le-champ, lE^'*(p{x,y) étant ï= (p(E'a;,^) = <p(ar,,^) par la formule (O) du numéro 40g,
584 DUCAIiCUIi
A"'(p(ar,j) = .(i)
. Tn(m—i')
V H i i^ -^A'"-3,A'3(p(E3a:,y) + etc.
S'»cp(a:,jK) = ** .....(2)
^^ — -î--^^- — ^ ^ S'"+^'A'^(p(E^^,jK) -f- etc.
Si l'on développe (A'^E''-ha^')~'" = ^^ ®^ commençant par A»'E»', on trouve , au lieu de ( Q ) ,
^^ ^V -L — i.2:.'» + 3A3,(p(E-'«-3j:,y) -4- etc.
Dans ces formules x etjj^ sont des quantités quelconques qui varient indépendamment l'une de l'autre ; elles peuvent étr« fonctions chacune d'une même variable t, ou de différentes variables ; Aa: etz^y peuvent être constantes ou variables, ensemble ou séparément.
453. Si au lieu de la fonction (p( a; ,7) on a le produit i^w de deux quantités vetw qu'on peut faire varier indépendamment l'une de l'autre, i^ etw pouvant être fonctions chacune de la même variable ^ ou x , ou de plusieurs variables ; on voit que ce cas est renfermé dans le précédent ; mais comme on peut séparer t' de tv, on peut donner aux développemens une forme un peu plus simple par la suppression des virgules des caractéristiques A » 2 , E ; et l'on aura A'^Ct'w) = (A''-l-A''E»»)'«x(t'w) = (A'*" ■+• Di'*.A''"~*A^'E'' -f- p2iOT. ^,m-2^2,£,2 ^ etc.)x(t'w)
yn(7n — i)
= i'.A'^w -\- wA(^.A'»-»Wi H- — ^^ -A'^v./^'^-^Wfi
^ ^ j\ — — ^ASç'.A'^-^ws -h etc. •
Changeant m en —. ttï , on a
1 — -î- — '^ ' ' ^^v.^L^+^wz 4- etc.
Dans le cas de w = i , cette dernière formule devient
i:{vw) = (6)
V.2W — Ai'.s^wi 4- A^i'.i.^Wi — à^v.-L^ixvs -h A4 V. 25^4 — etc. Si dans la formule (3) du numéro précédent on met v au lieu de x, w au lieu de/, et i'w au lieu de (p(x,j) , on en tire
z^Cvw) = -(7)
f'w.S'"TV — mAç^-m-i.s^ + ^M^ H ^^ ^A2f'„.2.2:'" + 2^
!^ — -L—Ll — 1__Z a3ç;„3.2'"+3w H- etc.
Les suites (4) , (5) et (6) ont déjà été données par Taylor dans le tome XXX des Transactions philosophiques de Londres , pages 676 et suivantes ; mais elles y sont démontrées moins simplement qu'ici. Les autres suites du numéro précédent et de celui-ci me paroissent nouvelles.
454. Si l'on veut avoir, pour les intégrales - sommes , des formules d'un nombre limité de termes, on comparera A~^ =i (A'* -HA'» E'O"' avec(a + ^)-i du n.° 391 ; et, en faisant ^ = A'*, ^ = A''E'*, a -\- b =z à, la première valeur de (^ H- ^)-' donnera, en changeant A-* en 2,
partant 2(p(x,j) = X''^{x,y) — 2[A*'2'»<P(x, Ey)], (9)
«t 'l{vw) = vzw — z[Aç'.2Wi]. ....(10) Si l'on faisoit <z = A^'E'» , ^ = A»^ et « -f- ^ = A , on auroit
2 = 2^'E'-i — sA.^Zi'E'-'; (il)
partant I.<P(Xjj) = S»'(p(:E, E->j) — Z[A.i5:''(P(ar,E-»j)] , (iq)
et S(vw') = Z^'.w-i — .S[Zv.Aîi'.i]. (i3)
Les théorèmes (9)et(ia) sont de la plus grande importance dans la méthode inverse des différences : ils donnent la manière d'intégrer par parties les quantités aux différences. Comparez avec (11) du n.° 391.
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DU CAIiCUIi
En prenant la puissance entière m^es deux membres de (8) et (ii), ou
a pour l'intégrale-somme d'un ordre quelconque les formules finies suivantes
Z'^(p{x.j) = {£.« — SA».É.^2'M'"X<P(a:,jK), .....(S)
S^^C^rj) = {Z^'E>-» — ZA.iZ^'E'-ij'-XCpCarjj) (@)
Si l'on reprend les valeurs de (^ -+- ^)-i du n.** Sgi , et qu'on fasse a = A'^ ^ = A^'E'^ , il est aisé de voir que la dernière de ces valeurs donne
(S'' — A>'E»i2'* -+- A2,E»22:»3 — A3.E'^24 -f- etc.)
partant , en élevant l'échelle à la puissance in , on aura
Z'"cp(a:,jK) = (5)
Si l'on fait au contraire « = A»»E'» , ^ = A»» , on aura
CS^'E'-* — A»»Z*'E'-* + A'^'Z^'E'-S __ a,5z4'E»-4^ I 4-" etc. zh A.'-ïZ^'E'-' zp z(A.^z^'E'-O) ^^^"^'-^^ '
et , en élevant pareillement l'échelle à la puissance m , on aura une formule
pour Z'"(f>(^»j)-
Ces formules sont en général d'un nombre fini de termes,
