JJ
= a{ct + Cx)'" ~V- àa.77i(cc-^Cx)'"-'Cx -h A^a.-^ ^-{oc + Cx)'^-'^C'x^
.„ 7n(m— i)(7n — Q) . . ^ . ^ «,-r ^ ^ ,ov
De là on tire , en faisant tu = — 1 ^ ce -\- Cx = i — x ,
a -\- hx -\- cx^ -H dx^ -+- ex^ 4- etc. = (4)
a iSa.x bfia.x"^ ■ A^a.x^
et si l'on fait x = H- 2" , (« H- Cx)"» = (1 H- z«)-» , et qu'après le développement on multiplie tout par z^ , on aura
az^ ^Z''+« -h CZ'' + 2n j2'' + 3n 4- etc. = .... (5)
)âJ — /Sa. h A2^. ■; — ; — lS.^a.- — ; — -tt + et(
De là on tire , par exemple ,
log(i -1-2) =, z — \z^ + i23 — iz4 + 1^5 etc. = . ...(6)
i 1 4 1 -u i -— -\- etc.- '^
Si dans ( 3 ) on suppose ^=15 €■= — 1, a;=i,« = i, &>= — - — ,
aura A^ = ^, A^^ = 4^, ^^^=^^^^47^^» ^t^' ^^^"^ la formule (3) donne, dans le cas de m entier positif,
4o4 D U C A li C U L
p-\-t {p-^-tYp^ t + r)m(m—i) (p + t)...(p + t -\- gr) m(m-i)(m-'i}
1 J— T^-t- ^(^^^^ ,,2 ù{t'^r){t + Qr) 1.3.3
H-etc, =(1-1)'"— ^/7^(i-i)'"-VH-^^^;^^j ;^ ^ (i-i)'^-g H- etc.
4 p(p-r)(p-7r).. . .(;?-yyir + r)
^(^.+ r)(^+2r;.. . .(^ + mr— r) ' ^^-^
car tous les termes du second membre , le dernier excepté , disparoissent , parce qu'ils sont multipliés chacun par i — i = o.
On peut consulter, sur l'usage des transformations (4) et (5), le chapitre 1." de la seconde partie du calcul différentiel d'EuLER ; et Ton voit combien d'autres formules particulières du même genre on peut tirer de notre théorème.
472. Nous nous proposions d'ajouter des applications du calcul des dérivations aux fractions continues , aux éliminations des inconnues dans les équations, et à d'autres objets; et de présenter des réflexions sur les opérations analytiques considérées en général. Mais cet ouvrage passe déjà les bornes que nous nous étions prescrites, quoique nous ayons supprimé beaucoup de détails et d'exemples qui auroient pu faire ressortir l'utilité de nos méthodes \ et de nos formules ; et nous nous voyons forcés de remettre à d'autres occasions la publication de ce que nous avions préparé sur les sujets dont nous venons de parler. Nous sommes bien éloignés de penser que nous ayons, parcouru tout le champ d'applications et de recherches qu ouvrent les méthodes de dérivations ; et il nous paroît que ce n'est pas trop présumer de ces^ méthodes que de dire avec New^ton : Eu his 'via ad majora sternitur.
