c'p'"-2.^-i | fi?'Ap'"-2.a-i}.Aw

j jc'pw-5.^-2 4 ^.Ap'n-5.^-2j.^y^ ....(qJ)

H- {c'p^-8.^-3 | ^'Ap'«-8a-3|.AV2i^

H- etc

-h 6?'p'«-5. ^-a.AaVa

etc

ce qui s'accorde avec la formule que trouve Laplace à la fin du n.° vu du mémoire cité. Laplace a déduit de ses solutions plusieurs conséquences importantes , pour lesquelles nous renvoyons à son mémoire.

468. En partant des formules sur les séries doubles , triples , répandues

dans cet ouvrage , on peut étendre aux suites doubles , triples , les applications que nous avons faites aux suites simples depuis le n.°458 ; et, en associant à ces mêmes formules les théorèmes du n.° 445 , on peut donner aux résultats différentes formes, parmi lesquelles on pourra choisir celle qui sera la plus convenable aux recherches qu'on se propose de faire.

En général , les principes que nous avons établis relativement aux échelles conduisent à généraliser plusieurs des théorèmes que nous avons trouvés sur les séries ordonnées suivant les dimensions d'une ou de plusieurs lettres , pourvu qu'il soit possible de détacher les échelles ; car , si l'on avoit , par exemple, (p(«M -t- Cu^ -^ yu^ -+- etc.), il est aisé de voir, par le n.** 407, que cette expression n'est pas égale à (p (« -I- Ê'E -f- y E^ -f etc. )xu : ainsi il n'est pas toujours possible de séparer l'échelle.

469. Voici encore un théorème qui donne des transformations utiles dans plusieurs rencontres.

Théorème. «, 3, c, ^, e, etc. étant des quantités quelconques , si l'on fait A^ = b — a, A^a = c — ab -\- « , A^a = d — 3c + 3b — a , etc. ; on aura , <p étant une fonctio© quelconque ,

acpcc ■+- b-D.Cpoc.x -\- cD^.(poc.x^ -j- dD^.(pcc.x^ H- etc. = ....(1) a(p{x -{- Cx -h yx2-f-etc.) -h xAa.D.(p{K -h Cx 4-ya:2 | gtc.) 4- x'^A^a.:g^.(p{cc -^Sx-\-yx^ H- etc.) -hx^A^a.y^.(p{cc-i-Cx-^yx^-h etc.) -h etc.

Pour démontrer cette proposition , il suffit de développer le second membre , lequel, en ordonnant" suivant x, devient

a(px H- aiy.cpc^'X H- a-^^.(pcc.x^ -f- a^^.(pcC'X^ -h etc.

■ -f- Aa.i>.(pcc»x -h Aa.D.T>.(poC'X^ H- Aa.i^.B'^.cpoc.x^ 4- etc.

H- A2<z.p2.(pa;.a;2 f A^^z.pa. 13.^,^.^3 j etc.

+ A^a.-D\(pcC'X^ -h etc.

-h etc.

Or, à cause de a -{- Aa = b ^ a '\- qA<2 + A^a = c, a -\- 3Aa -^ 3A^a -^ A'^a = d y etc. ; il est évident que ce développement se réduit à aÇoc H- bj).(pc6'X -H c^^.(pcc,x^ H- d-g^.<poc.x^ H- etc.

DESD^RIVATIONS. 4o3

470. Corollaire. Par le n.° 369 la formule précédente (1) devient aussi acpoc H- bn.cpoc.x -t- C^^^Cpoc-x^ H- d^"^ .(poc.x'^^ -f- etc. = •••(2) a(p{cc'\- ^x + yx^ + etc.) + xù.a.'à.(p{oc + ^x + yx^ + etc.)

H- x''^'^a.^•^.(p{oc+^x■\'yx''■\-etc.)-[-x^^^a.'^^.(p{cc-\^Çx + yx^■\^Qlc.)-\-Qtc.y où b n'affecte que a?, qui varie de la constante àx.

471. Exemples. Supposons que u -'r- ^x -\- yx"^ -\-' etc. se réduise à un binôme : soit, par exemple, (p{oc -4- ê'x -H ya:^ -h etc. ) = (« + g'o:)'" ; on aura par la formule ( Q )