Démonstration. Supposons

5r = g* -h- y:r + ^x^ + etc. + ««a;«-* + etc. ; •••(!)

la fonction du polynôme deviendra (p ( 05 + tt x ) , et en développant on aura ( n.°* 2 et 3 )

^(oc + Tra;) == (p« + D(p«.;ra; + " ^^. tt^o;^ + ^'^.tt^x^ + etc,

+ ^^^— -. 7r"x« + etc.

Or, puisque tt, tt^^ tt^,, etc. , Tf'^ sont aussi des fonctions de polynôme , on aura (n.° 7 )

TT^ = 0*2 ^ D.ê^2.^ ^ 1-^X2

;r3 = g^S ^ D.ff3. X -h ^-—X^

etc. , et en général

DS.g'^

etc.

Oî'

etc.

^'" -H etc. ;

formules , dans lesquelles C est le premier terme du polynôme ( 1 ).

Actuellement , si l'on substitue ces séries dans le développement de(p(«^-7r^),

et qu'on ordonne par rapport à ^, on aura

Bx 4- Cx^ H- Dx^ -+- Ex^ H- etc. -+- ^„a;« H- etc. =

(p«-f-D(p«. C X-i-B(pcC'-D.C

r>(pa. x3-hD(p«. ^44-etc. -f-DCD^. — ■

D3(pc^^

r>2(paD2.g'2 H X

D^(pQg 1.2.3.4

etc.

série dans laquelle le coefficient de x« est tel que nous lavons énoncé.

D K s D lé R 1 V A t T^ O K s. l5

Corollaire I.

22. On peut aussi ordonner les termes qui forment le développement du terme général An de la manière suivante , en écrivant la formule à rebours , ce qui est plus commode pour effectuer les dérivations relatives à Ç,

-I 2: — . + DCD«. .

CorollaireII.

23. Il résulte du n.° 21 , que « est la seule lettre dans le développement qui soit affectée de la fonction (p ; les suivantes 6", y, J, etc. forment proprement les quantités poîynomiales. Ces quantités ne sont affectées d'autres fonctions que de puissances entières , et sont toujours les mêmes pour toutes les fonction^ possibles de polynômes. ^ • . •

24. Tirons à présent du théorème précédent et de sa démonstration des conséquences propres à faciliter les dérivations.

Dans le développement (2) n.° 21 , le coefficient de x^ est

celui du terme suivant de la sérié , affecté de a:4 , est

et l'expression du terme général de la série fait voir que le coefficient du terme suivant , affecté de a:J , sera

et ainsi de suite.

De là découle cette règle :

Pour faire dériver d'un terme donné d'une série celui qui le suit immédiatement, 1.° on regardera comme constante la lettre ot ou ses fonctions , et l'on prendra seulement les dérivées des quantités oii entre S , en divisant chaque nouvelle dérivée par le nombre qui compte les dérivations.

l6 DUCALCUL

2,<* Ensuite on fera encore uarier la lettre précédente et de'D,oc'=-Ç, mais seulement dans la t/uantité qui a déjà subi le plus de dérivations ; on prendra une nouvelle dérivée de cette quantité ^ qu'on divisera pareillement par le nombre qui compte les dérivations.

-Ainsi D(po6. 1 ^^^—B.C^-\ ^^'C^ ...;... (i)

donnera d'abord

et en faisant une nouvelle dérivation sur — ^ quantité en «, qui a subi

le plus de dérivations , on aura — -î-— — , et i on ajoutera le terme nouveau

- — %: — ^4 à la formule (2) , laquelle deviendra par là

ce qui est précisément le coefficient du terme suivant de la série. On peut continuer ainsi tant qu'on voudra, '

2.S. Passons au développement des quantités où entre C et où toutes les fonctions sont des puissances entières.

Soit en général à développer : en comparant cette expression à

celle-ci — -^ — , on voit que C remplace a, que l'exposant r remplace le

signe (p de la fonction , et que y = D. €" doit être considéré comme un premier terme de polynôme; on aura donc, par le théorème du n.° 20, ce premier développement ;

H- etc. -4- -: -T'D. 7«~i H 'y".

En particulier, on a

D K s i> É R J y JL T I O N s. if

et la dérivée est

d'où l'on conclud que la règle tjue nous avons donnée dans le numéro précédent s'applique encore aux dérivations des quantités où entre Ç. Il en est de même de celles où y entre , qu'on développera de la même manière , pour

avoir un second développement de , dans lequel entrera la lettre d ;

laquelle lettre sera considérée à son tour comme un premier terme de polynôme , conformément au n.® 21 ; et ainsi de suite.

Nous nommons en général premier développement celui dans lequel entre une lettre de plus que dans l'expression proposée , cette lettre étant mêlée avec les signes d ; développement second , celui dans lequel entrent deux lettres de plus ; développement troisième , celui qui renferme trois lettres de plus; etc.

26. Le développement des quantités , ^ , etc. , s arrête naturellement après qu'il est parvenu au terme dont le second facteur n'est plus affecté du signe dérivatif d. Ainsi le développement de — '—„ a pour dernier

terme -. y^ , celui de ~ — a pour dernier terme '- — J^. Le

second facteur du dernier terme est , dans ce cas , une puissance d'une seule

lettre , dont l'exposant compte le nombre des dérivations qu'on a faites sur la

puissance ou la fonction de la lettre précédente , et ce dernier terme est le

seul qui puisse donner un terme nouveau dans la dérivée.

Mais il y a des cas où le développement s'arrête plus tôt ; c'est ce qui

arrive toujours quand l'indice ou exposant n du signe dérivatif est plus grand

D7. g'3 que l'exposant r de la lettre sous le signe , comme dans — '■ — ; alors le déve

loppement s'arrête après le terme dans le premier facteur duquel l'exposant de la lettre sous le signe d non ponctué est égal à l'indice de ce signe; car

il est visible que les quantités de cette forme , — sont égales

^ ^ 1. 2 ... m 1 2 ...tn ° -

à l'unité, et leurs dérivées, comme : r, r ^ ? etc.,

l8 DUCÀlUCUIi

jjm -f- I t^m

— — - — - , etc. , toutes égales à zéro. Ainsi le premier développement

de — '■ n'a que trois termes , parce qu'il s'arrête après celui dont le premier

D3g'3 facteur est =■ = i ; ces termes sont

Lorsqu'il arrive que le dernier terme d'un premier développement a son

premier facteur de la forme , c'est - à - dire , égal à l'unité , alors ce

dernier terme ne donnera pas de terme nouveau dans la dérivée , parce que les dérivées de l'unité sont égales à zéro ; de là il résulte qu'en calculant des premiers développemens , dès qu'un développement s'est arrêté dans une des dérivées, toutes les dérivées suivantes ne contiendront plus que le même nombre de termes de premier développement, les premiers facteurs demeurant les mêmes dans toutes les dérivées. Ainsi l'on a

D^.C^ D7. y Dsg'S D^. y2 r,3 ^"5 jyh.Jh

etc. ; ce qui fait voir que la 2.^ partie de la régie n.° 24 i^e trouve pas d'application dans ces cas , les dérivations qu'elle prescrit n'étant pas possibles.

27. Donnons actuellement les développemens successifs en «y, J, s, etc. de deux dérivées immédiates , dans la vue d'examiner comment le développement complet et réduit de la dernière dérivée découle de celui de la précédente.

Nous avons calculé chacun de ces développemens en suivant la voie indiquée dans le n.» 26, et , pour faciliter les comparaisons , nous les avons placés sur des colonnes correspondantes dans les deux tableaux suivans (I) et (II).

( J^oyez les tableaux ^ pages 20 e^ 21 ).

De cette manière, chaque colonne de (II) présente la dérivée de la colonne correspondante <ie (I), exprimée par les mêmes lettres.

Oîi remarque que dans ces tableaux on a fait d4. y d5. ^ d2. £ -

DESDÉRIVA-TIONS. ^9^-

il est aisé de se convaincre de l'exactitude de ces transformations , et en général de celles-ci •

^ = = = etc. ,

car, si on regarde successivement y , J", g, ^, etc. comme des premiers termes de polynômes , on a ( n.** 7 )

l.Q.3. 4î/ = D'^.y, 12.3 j; = d3. (J, l.Q>; = D^g, lyf = B.^.

On peut encore s'en convaincre par l'application immédiate de la formule du n.° 2,5 , car elle donne

L = D'y. X = D y. D J. = D y. D d. D g. D. C = D y. D d. Dg. D ^. »j ,

et puisque les expressions Dy , dJ", Dg, d^ sont toutes égales à l'unité, on a 771 = 77^:3=177 ="-^=''-

Après avoir considéré les deux tableaux comme formés indépendamment l'un de l'autre, examinons de quelle manière chaque colonne du second dérive de la colonne correspondante du premier.

En s'arrétant d'abord aux premiers développemens , en y , on voit que la première colonne de (II) se déduit de la première colonne de (I) , si l'on fait simplement une dérivation sur les seconds facteurs en y , sans rien changer aux premiers facteurs en C, lesquels demeurent les mêmes dans la dérivée et ne donnent point de terme nouveau , parce que ici se rencontre le cas dont il a été fait mention à la fin du n.° 26.

Passant aux secondes colonnes, qui contiennent les développemens en Jdes quantités en y des premières colonnes , il est visible que la deuxième colonne de C II ) se déduit de la colonne correspondante de ( I ) , en faisant une dérivation uniquement sur les derniers facteurs en J, sans rien changer aux facteurs en y et C', à l'exception cependant des facteurs en y, suivis d'un facteur en S non affecté du signe dérivatif d , et dans lesquels l'exposant de y est plus grand que l'indice de i) , lesquels facteurs donnent chacun un terme nouveau dans la colonne dérivée en (II), conformément à la 2.^ partie de la règle n." 24.

On fera des observations semblables sur les colonnes suivantes.

On remarquera aussi que les termes qui dans (II ) proviennent d'une dérivation relative à la 2.^ partie de la règle n.° 24, ne sont pas susceptibles de développement ultérieur , et se retrouvent les mêmes dans les colonnes suivantes de (II). La raison en est que leurs derniers facteurs sont dégagés du signe dérivatif.

Tableau (I),

Dével.* j.", en «y. Développem.* q.*^, en S- Développement 3.*, en g.

Dg'A.

Dg'4-

D^gA D3.72 I 02^4 1 1.2

Dy2. D. s

Dv4.(î

Tableau (II) ,

Dével.'i.«'^,eny. Développem.* 2.^, en J*. Développement 3.®, en g.

dC4.

Dy,2

DVg 1. 2

Développement de

»ES D:éRIVÀTIONS.

Développement 4.®, en ^.

Développement 5.^, en >y.

Développ.* réduit.

•dJ^.j

\ D 7^. g Al '

ec'^

.By^J

Développement de

Développement 4.^, en ^.

Développement 5.'^, en yj.

Df4.

( bC^.b.

Développ.* réduit.

Dy2. ^

'rx3*

Dy3.^

ÔeyA

Dy4.

(*) On a omis le développement sixième , qui ne diffère du cinquième que dans le premier terme.

a2 DUCALCUL

28. Il est essentiel de s'arrêter aux développemens réduits , placés dans les *^" dernières colonnes , et dans lesquels , les dérivations ayant été effectuées , les signes d ne se trouvent plus nulle part.

On conclura d'abord de l'inspection des colonnes précédentes et des observations que l'on a déjà faites , que ce pour déduire le développement réduit ^ » de la dérivée (II) de celui de (I), on n'a jamais de dérivations à faire que w sur les dernières lettres de tous les termes de (I) et sur les avant- dernières w de quelques-uns de ces ternies , et qu'on ne touche pas aux autres lettres. »

Ainsi , en ne faisant varier que les dernières lettres , l'expression suivante 4^^->7 H- ^^■'{'iy-i ■+■ 'ils) -4- 4C(3y2.e -H '^y.l') -H 47^J, laquelle est le développement réduit de (I), donne pour la dérivée les termes suivans

Les seuls termes de l'expression précédente dans lesquels il faille de plus faire varier les avant-dernières lettres , sont

SQ^.ale -^ iC.3yJ^~ -h iy^J; ils donnent, par cette autre^ dérivation , les termes

6f-.— -H 4f--3- -H^— , lesquels , étant ajoutés à ceux que nous venons d'obtenir , forment la dérivée 4^3.^ 4- e^^Qy.yj -+- Q^^ -4- g^) H- 4^(3y2.^ -H Sy.Q^s -\-ê^) -+- iy^.e -H ôy^Ji , de qui est, comme l'on voit, le développement réduit de (IIj.

Les dérivations jjue l'on fait sur les dernières lettres de chaque terme , ^ remplissent l'objet de la première partie de la règle n.*' 24 ; celles que l'on fait sur les avant - dernières , et qui donnent des termes nouveaux dans la dérivée , satisfont à la seconde partie de la même règle.

Il est toujours facile de reconnoitre dans les développemens réduits les termes sur lesquels il faut faire deux dérivations , et qui donnent des termes nouveaux dans la dérivée.

ce Le caractère auquel on reconholt ces termes , consiste en ce que, les lettres

; » étant disposées suivant leur ordre naturel, la dernière lettre du terme, ou sa

3> puissance , est précédée de la lettre immédiatement précédente dans l'ordre

)3 des lettres , ou d'une puissance ou d'une fonction de cette même lettre. »

DESDléRIVATlONS. a5

Ce caractère est exclusif, et il n'y a que les termes qui le portent qui soient susceptibles de deux dérivations.

En effet, supposons qu'on soit parvenu au développement en a, et qu'on

ait le terme ... X A*, où le dernier facteur a* n'est pas affecté du

i.<i...rn *■

signe D ( n.° 26 ) , et où ^^ a subi le plus de dérivations , car il n'y a que ce

terme qui puisse donner un terme nouveau dans la dérivée ( n.° 24 ) ; il

résulte des n.*'^ 21 et 26 que dans ce cas l'exposant ^ de A doit être égal à

l'indice m de d"» ; le terme dont il s'agit , aura donc nécessairement cette forme

... X A". Actuellement , on ne peut faire à l'égard de r que ces

trois suppositions : ou r est y>- m, ou r = m , ou /- <^7n.

1.° Si r ■> m ; soit r == 7?^ -4- /î, le terme . . . . x A* devient

ji^ym + n 11

... X A'" , et à cause de

D^yW + n \m'\-ri){rn •\-n'\) . , , {n-\'\^ (m + 1 ) (w + 2)... (7??^ + /z)

on a . . . X — • A'" = ... X ^^ ^—1-^ — 3-^^ î^ — ±-J- k«. A'",

'1.2... m 1. Q ... Ai

où l'on voit A*" précédée de k", k étant la lettre qui, dans l'ordre naturel, précède A immédiatement. Aussi dans ce cas le terme est -il susceptible de deux dérivations , puisqu'il a les conditions exigées par la seconde partie de la règle n.* 24 , et par le n.® 26.