jn + /z

â4 DVGALCUL

29. Les dérivations dans ce §. II sont, comme on voit, toujours accompagnées des divisions par les produits convenables des nombres 1 , 2 , 3 , 4 » etc. Ces dérivations , les divisions y comprises , s'effectuent de la manière la plus aisée et sans que les coëfflciens numériques causent aucun embarras : nous en nommerons les résultats des dérivées divisées.

Si c'est sur une dernière lettre qu'il faut faire une dérivation , cette lettre est Ou simple ou élevée à une puissance. Soit généralement k"* la puissance de la dernière lettre; on a pour la dérivée divisée d-x*" ==dk'". A = 7"x'"—^â; et si m = 1 , on a d.x = A« Ainsi ,

1 .® ce Pour prendre la dérivée divisée d'une lettre simple , on n'a qu'à écrire » la lettre suivante; « ce qui résulte d'ailleurs de la remarque faite n.® ijy.

2.* « Pour prendre la dérivée divisée d'une puissance , on multipliera par 5) l'exposant de la puissance, lequel deviendra un coefficient numérique; on 55 changera une seule lettre dans la suivante, ce qui diminuera l'exposant » d'une unité. «

Si c'est sur une avant - dernière lettre qu'il faut faire une dérivation, cette lettre est ou élevée à une puissance , ou sous le signe de fonction.

Soit le terme ... X Ak"*. A^ , où h est un coefficient numérique ; la dérivée par

rapport à k est ... A -^— — a', où l'on a divisé par p-+-i (n.°24), parce que

l'exposant ^ de A compte le nombre des dérivations que k" avoit déjà subies :

or , d.h'" = D)c'".A = myj^-^ A ; donc la dérivée sera ... X — ; — k"'-'A^"+"^ Donc,

** 3.® ce Pour prendre la dérivée divisée d'une avant-dernière lettre jc élevée à

>3 une puissance, on multipliera par l'exposant de cette puissance , on diminuera

53 ensuite ce même exposant d'une unité, de laquelle on augmentera l'exposant

53 de la lettre suivante , et on divisera par ce dernier exposant ainsi augmenté. »

Si l'avant-dernière lettre est affectée du signe de fonction, le terme sera de

cette forme — r-î— -• A"*, et la dérivée divisée sera -^— — /B"* "^ ^ ; ainsi ,

4.° « On fera une dérivation sur la fonction comme si -dx étoit = 1 , on « augmentera l'exposant de la lettre suivante /3 d'une unité, et on divisera par n cet exposant augmenté.

33 En général , toutes les fois qu'il se forme une nouvelle puissance plus élevée 33 d'un degré , on divise par l'exposant de cette nouvelle puissance ; et toutes 33 les fois qu'une puissance s'abaisse d'un degré , on multiplie par l'exposant 33 non diminué, » D'après

DESliERlVA-TlONS. ftS

D'après cela, les dérivées suivantes de ■ — - se déduisent facilement du

développement réduit de celte quantité (n." 27), et l'on a sur le champ

^^ = 4/33. ;c -+- 6/3^ (27., -H 2 j.5 -H 2SV -+- t') -h' 4/3 {3y2.^ -4- 3y (qJ^.^ -f- 2g^)

►f- 3(^2.^ H- 3 Jg^ }4- iy^.yj -H 67^ (q J'^-H g^) ^ 4^3 J'^g -+- K

On peut remarquer que toutes les fois qu*on arrive à un terme susceptible des deux dérivations , on les fait de suite et avant que de passer au termô suivant.

. 3o. En rassemblant les observations que nous venons de faire , on parvient à cette règle très-simple , pour former les dérivées divisées et développées :

RÈGLE

Pour faire les dérivations qui servent à déduire le développement de

-■ ■—— — r de celui de — — ; après avoir disposé les lettres suivant leur

ordre de succession ,

1.** On ne fera varier, dans chaque terme ^ que la dernière lettre ou sa puissance , en suivant les règles des différentiations, et en mettant simplement |8 pour D.a, <y pour T>.(h, S pour D.y, etc., sans autre coefficient que l'unité»

2.° On fera de plus ^varier l'avant -dernière lettre, sa puissance ou sa fonction^ si elle se trouve être la lettre qui., dans l'ordre alphabétique, précède immédiatement la dernière du terme; et comme la puissance de la dernière lettre augmenta alors d'une unité ^ on divisera par l'exposant ainsi augmenté.

Cette règle est d'une pratique extrêmement aisée : elle ne fait jamais calculer qu'une seule fois les produits composés des mêmes lettres ; elle donne les coëfficiens numériques sans la moindre peine : de sorte qu'avec son aide on déduit les uns des autres les termes de la série déjà tout réduits, et avec tant de facilité qu'il n'en coûte que la peine de les écrire.

3i. On peut appliquer cette règle aux exemples déjà calculés ,n.°'i2, i4> i6j

mais donnons- en encore d'autres, afin de mieux znontrer la marche facile

et rapide du calcul.

Développer la puissance quelconque 771 d'un polynôme quelconque , (« -H /3^ -4- y^"^ -h S^^ -+- a.^4 ■+- ioc^ -+- j^x^ -H etc. )« , en une série de cette forme

A ^ Bx -i- Çx^ ■+- Dx^ -H Ex^ H- Fx^ -4- Gx^ -H etc.

Nous avons A z= oc^) de là on déduit successivement B , C^ D déjà tout réduits , ainsi qu'il suit ;

B = mar-'.(l, "

. m.m-i - m.in'-\. m- Q - ^-

£) = mocT' — Kà H «"*— 2. Q/3y H ^ ««-^.iS^,

E = mec'"-". s -H ocT-^i^ih^ -+- 7^) -H 5 — ««-^.S/^^y

3 TTÎ. 772-1 , - ft, 771.771— l. m — 1 "/o.«„^ o o «v

F= m«'«-ï.^H -«'"-«(q/Bs h- 27J) -H j- a'"-^ (3^3'^ -H ^^y»)

771. 771-1. 171-^. ITl-^'i , 771.771- \. 771 -^,77l'-3. ni -/^ , ^.

^ 771.771-1 , /, 3 ^^ 771.771—1.771-1 •z,„na

G = TTîûj^-ï.^H -«'«-2(2)3^4- Qyg -+- J^2) ^ «'»-5(3/39g

-+-3/3 2y(î^-y3)H-pii!^««~4.(4/33j^6/3v)-+- ^::^^«— 5.3/3^.

1. ... 6 çtc. On peut continuer avec la même facilité autant qu'on voudra.

Si le procédé pouvoit encore avoir besoin d'explication après ce qui en a été dit précédemment , nous en donnerions l'indication suivante.

Qu'on soit parvenu à D , par exemple , et qu'on veuille en déduire E : le premier terme 7710C"— »^ donne , en changeant la dernière lettre <^ en g , 7710c"'— ^aj et comme ^ n'est pas précédé de y dans ce terme de D , mais bien de « , je

passe au terme suivant —^ — — «*«-*«. 2/3y. J'y change d'abord la dernière lettre

yen ^; j'ai — «'" — 2. 2/3J, et, comme dans le terme, y est précédé

de /3 , qui est la lettre qui précède y immédiatement dans l'ordre alphabétique ,

il laut aussi changer /3 en y, et j ai de plus «'"""^y^ , en divisant

par Q , parce qu'il se forme une nouvelle puissance 7^. Le troisième terme

jn.in—\.jn-Q. ^^^ , , . . , , ,

ot^~~^^^ y contenant deux lettres voisines, donne aussi deux

r Ifl flé^riv*5p - savoir —

termes pour la ilénvée , savoir — oc'^ — ^.ô (zt^y en misant varier /3 ,

Tn.7}l—\.7n-1.m-3 r*. r ■ . -r , ■ 1 ' ,

et ;? «'"■"4/34 en taisant varier «. La reunion des quantités

que nous venons de former , compose la valeur de JS.

ExEMPIiSlI.